Глава 7. Кривые в трёхмерном пространстве

Определение. Вектор r0 называют пределом векторной функции r(t) в точке t0, если функция r(t) определена в некоторой проколотой окрестности точки t0 и для каждого положительного числа " существует = (") > 0 такое, что для всех точек t из проколотой -окрестности точки t0 выполняется неравенство

jr(t) r0j < ":

Пределы векторных функций записывают как и пределы скалярных функций:

r0 = lim r(t):

t!t0

Если r(t) = (x(t); y(t); z(t)) и r0 = (x0; y0; z0), то

p

jr(t) r0j = (x(t) x0)2 + (y(t) y0)2 + (z(t) z0)2:

Поэтому существование предела lim r(t) = r0 равносильно существованию трёх пределов lim x(t) = x0, lim y(t) = y0, lim z(t) = z0.

Пределы векторных функций обладают многими свойствами пределов скалярных функций и доказательство по существу остаётся таким же.

Так, если функция r(t) имеет предел в точке t0, то в некоторой проколотой окрестности точки t0 функция r(t) ограничена, что означает ограниченность длин векторов r(t).

Перечислим свойства пределов, связанные с действиями над вектор-функциями. Пусть векторные функции r1(t), r2(t), r(t) и скалярная функция f(t) имеют предел при t ! t0. Тогда при t ! t0 существуют следующие пределы и для них выполняются равенства:

lim(r1(t) r2(t)) = lim r1(t) lim r2(t); lim f(t) r(t) = lim f(t) lim r(t);

Эти свойства легко вывести из свойств пределов скалярных функций, рассмотрев компоненты векторов. Но можно провести рассуждения и непосредственно для векторных функций.

Докажем, например, утверждение о переходе к пределу в скалярном произведении. Пусть r1 := limt!t0 r1(t) и r2 := limt!t0 r2(t). Тогда

r1(t); r2(t) r1; r2 = r1(t); r2(t) r2 + r1(t) r1; r2 :

Отсюда в силу ограниченности функции r1(t) в достаточно малой проколотой окрестности точки t0 вытекает равенство пределов.

Определение. Функцию r(t) называют непрерывной в точке t0, если

lim r(t) = r(t0):

t!t0

Непрерывность векторной функции равносильна непрерывности трёх скалярных функций – компонент векторов. А операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число, скалярного и векторного умножения, произведённые над непрерывными вектор-функциями, дают в результате непрерывные функции.

Производная векторной функции r(t) определяется как предел

r0(t) := lim r(t + t) r(t);

t!0 t

если этот предел существует.

Существование производной r0(t) равносильно существованию трёх производных x0(t); y0(t) и z0(t). При этом r0(t) = x0(t); y0(t); z0(t) .

Аналогично даются определения односторонних пределов, односторонней непрерывности и односторонних производных для векторных функций.

Функцию r(t) называют дифференцируемой в точке t0, если для приращения функции r(t) в точке t0 при t ! 0 справедливо представление

r := r(t0 + t) r(t0) = A t + "( t) t;

где A – некоторый вектор и lim t!0 "( t) = 0.

Как и для скалярных функций устанавливается, что дифференцируемость функции r(t) в точке t0 равносильна существованию производной r0(t0) и в этом случае A = r0(t0).

Если функция r(t) имеет производную в точке или на промежутке, говорят, что эта функция дифференцируема соответственно в точке или на промежутке. При этом если производная непрерывна, функцию называют непрерывно дифференцируемой.

Приведём формулу производной сложной функции.

Пусть на промежутке [ ; ] задана дифференцируемая скалярная функция t = ( ), значения которой принадлежат промежутку [a; b], и на [a; b] задана дифференцируемая векторная функция r(t). Тогда сложная функция R( ) := r( ( )) дифференцируема на [ ; ] и справедливо равенство

R0 = r0t 0 :

Доказать это проще всего, рассматривая компоненты векторных функций.

Многие свойства производных скалярных функций легко переносятся на производные векторных функций. Например, из существования производной в точке следует непрерывность функции в этой точке.

Кроме того, выполняются равенства:

Здесь, как и в скалярном случае, предполагается, что существуют производные в правых частях, а утверждается существование производных в левых частях и справедливость равенств.

Вместе с тем, такое важное свойство дифференцируемых скалярных функций, как формула конечных приращений Лагранжа, прямого аналога в векторном случае не имеет.

В самом деле, рассмотрим функцию r(t) := (cos t; sin t), значениями которой являются двумерные векторы.

Тогда r(2 ) r(0) = 0. Но r0(t) = ( sin t; cos t), следовательно, jr0(t)j = 1. Значит, равенство

r(2 ) r(0) = r0( )(2 0):

не может выполняться ни при каком .

Тем не менее, для векторных функций справедливо одно из основных следствий формулы конечных приращений Лагранжа.