Более существенное замечание состоит в следующем. Если в теореме 2.2.3 вместо нестрогих неравенств xn 6 yn предположить выполнение строгих неравенств xn < yn, то для пределов всё равно будет справедливо только нестрогое неравенство lim xn 6 lim yn. Это видно на примере последовательностей xn := 0 и yn := 1=n, для которых xn < yn и lim xn = lim yn = 0. Поэтому при переходе к пределу в неравенствах необходимо соблюдать следующее правило:

Если существуют пределы выражений в левой и правой частях строгого неравенства, то при переходе к пределу в этом неравенстве строгое неравенство нужно заменить на нестрогое.

Теорема 2.2.4. Пусть последовательности fxng и fyng сходятся к одному и тому же пределу и xn 6 yn при всех n. Тогда любая последовательность fzng, для которой xn 6 zn 6 yn при всех n, сходится к тому же пределу.

Доказательство. Обозначим a := lim xn = lim yn. Для каждого " > 0 находим N такое, что при всех n > N выполняются неравенства a " < xn < a + " и a " < yn < a + ". Тогда для таких n

a " < xn 6 zn 6 yn < a + ";

т. е. zn 2 (a "; a + ") и теорема доказана.

Теорема 2.2.5. Если xn ! a, n ! 1, то jxnj ! jaj, n ! 1.

Доказательство основывается на неравенстве

jxnj jaj 6 jxn aj;

вытекающем, как отмечалось в § 1.4, из неравенства треугольника (1.4.3).

§ 2.3. Арифметические свойства пределов

Теорема 2.3.1. Пусть последовательности fxng и fyng сходятся. Тогда

10 . limn!1(xn + yn) = limn!1 xn + limn!1 yn ; 20 . limn!1(xn yn) = limn!1 xn limn!1 yn ;

30 . limn!1(xn yn) = limn!1 xn limn!1 yn ;

Здесь в каждом из случаев 10–40 содержатся два утверждения: во-первых, существование предела в левой части равенства, а вовторых, равенство этого предела выражению из правой части.

Словами эту теорему обычно формулируют так: предел суммы равен сумме пределов; предел разности равен разности пределов; предел произведения равен произведению пределов; предел частного равен частному пределов. В последнем случае, разумеется, имеется в виду, что ни члены последовательности делителей, ни её предел не равны нулю.

Доказательство теоремы. Пусть a := lim xn и b := lim yn.

10, 20. По " > 0 выбираем N так, чтобы при всех n > N выполнялись неравенства

Отсюда следуют утверждения 10 и 20.

В силу сходимости последовательности fyng она ограничена, поэтому можно выбрать число L такое, что jaj < L и jynj < L при всех n. Тогда из (2.3.1) вытекает, что

Теперь задав " > 0, находим N такое, что при n > N выполняются оценки

и утверждение 30 доказано.

40. Начнём также со вспомогательного неравенства:

По условию b 6= 0, значит, согласно теореме 2.2.2 существует число N1 такое, что jynj > jbj=2 для всех n > N1. Последовательность fxng в силу её сходимости ограничена, пусть jxnj < L при всех n.

Поэтому при n > N1 согласно (2.3.3) справедлива оценка

Теперь для произвольного положительного " выбираем N > N1 такое, что при всех n > N имеют место оценки

Тогда из (2.3.4) следует, что для всех n > N

Теорема доказана.

§ 2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если она сходится к нулю.

Обозначение для бесконечно малой последовательности fang:

an = o(1); n ! 1:

Символ o(1) читается “o-малое от единицы”.

Бесконечно малые последовательности называют также исчезающими.

Определение. Последовательность fbng называется бесконечно большой, если для каждого числа L существует такое

N= N(L), что при всех n > N выполняется оценка jbnj > L.

Вэтом случае пишут lim bn = 1 и говорят, что последовательность fbng имеет пределом 1.

Если при этом для всех достаточно больших n имеем bn > 0,

то пишут lim bn = +1, а если bn < 0, – пишут lim bn = 1. Эти определения можно сформулировать иначе.

Определение. Если для каждого числа L существует такое N(L), что при всех n > N выполняется оценка bn > L, то говорят, что последовательность fbng имеет пределом +1 и пишут lim bn = +1.

Если для каждого числа L существует такое N(L), что при всех n > N выполняется оценка bn < L, то говорят, что последовательность fbng имеет пределом 1 и пишут lim bn = 1.

В соответствии со сказанным в § 2.1 последовательности, имеющие бесконечные пределы, следует называть расходящимися. Но нередко от этого правила отступают и называют такие последовательности сходящимися к соответствующему бесконечному пределу. В настоящем курсе, когда говорится о сходимости последовательности, это всегда будет означать, что она имеет конечный предел. В тех случаях, когда последовательность может иметь и бесконечный предел, это будет специально оговариваться.

Заметим, что последовательность может сходиться к 1, но не сходиться при этом ни к +1, ни к 1. Такова, например, последовательность f( 1)nng.

Отметим простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Если fxng – бесконечно большая последовательность, причём xn 6= 0 при всех n, то f1=xng – бесконечно малая последовательность. Действительно, для произвольного " > 0 положим L := 1=". Теперь по L находим N такое, что jxnj > L при всех n > N. Тогда для этих n имеем j1=xnj = 1=jxnj < 1=L = " и наше утверждение доказано.