Аналогично доказывается, что если fxng – бесконечно малая последовательность и xn 6= 0 при всех n, то f1=xng – бесконечно большая последовательность.

Если fang и fbng – бесконечно малые последовательности, то бесконечно малыми являются и последовательности fan + bng и fan bng. Это следует из свойств пределов сходящихся последовательностей.

Если последовательность fang бесконечно малая, а последовательность fbng ограниченная, то последовательность fan bng бесконечно малая. Действительно, по условию существует такое число L, что jbnj < L при всех n. Поэтому jan bnj 6 L janj, отсюда высказанное утверждение легко выводится. Заметим, что его нельзя получить из свойств пределов сходящихся последовательностей, так как сходимость последовательности fbng не предполагается.

Для обозначения ограниченности последовательности fbng пишут

bn = O(1); 8 n:

Символ O(1) читается “O-большое от единицы”.

§ 2.5. Предел монотонной последовательности

Определение. Последовательность fxng называется возрастающей, если xn 6 xn+1 при всех n.

Последовательность fxng называется убывающей, если xn > xn+1 при всех n.

Таким образом, возрастание и убывание последовательности не обязательно являются строгими. Если же xn < xn+1, соответственно, xn > xn+1 для всех n, то будем говорить о строгом возрастании и строгом убывании последовательности.

Определение. Последовательность fxng называется монотонной, если она возрастает или убывает.

Последовательность fxng называется строго монотонной, если она строго возрастает или строго убывает.

Теорема 2.5.1. Пусть последовательность fxng возрастает. Тогда

10 . если последовательность fxng ограничена сверху числом B, то она сходится и limn xn 6 B;

20 . если последовательность fxng не ограничена сверху, то limn xn = +1.

Доказательство. 10. Так как xn 6 B при всех n, то существует точная верхняя грань M := supn xn и M 6 B. Покажем, что M является пределом последовательности fxng.

Поскольку M – точная верхняя грань, то xn 6 M при всех n и для каждого " > 0 существует член последовательности xp такой, что xp > M ". Но тогда для всех n > p имеем M " < xp 6 xn. Таким образом, при всех n > p выполняются неравенства M " < xn 6 M. Значит, M = limn xn.

20. Если последовательность fxng не является ограниченной сверху, то для любого L существует число q такое, что xq > L. В силу возрастания последовательности отсюда следует, что при всех n > q выполняются неравенства xn > xq > L, а это и означает, что limn xn = +1.

Теорема доказана.

Справедлива и аналогичная теорема о пределе убывающей последовательности.

Отметим, что теорема о существовании предела монотонной последовательности наряду с теоремами о точной верхней грани и о вложенных отрезках также могла бы служить формулировкой свойства полноты множества действительных чисел.

Рассмотрим два примера.

Пусть сначала 0 < q < 1. Тогда fqng – убывающая ограниченная снизу последовательность. Значит, она имеет предел, обозначим его a.

Последовательность fqn+1g имеет этот же предел: limn qn+1 = a и по теореме о пределе произведения последовательностей

lim qn+1 = lim(qn q) = (lim qn) q = aq:

Таким образом, a = aq, отсюда a = 0, поскольку q 6= 1, и мы доказали, что limn qn = 0 для положительных q.

Для отрицательных q пользуемся тем, что jqnj = jqjn.

Любопытно отметить, что при вычислении предела (2.5.1) было использовано заранее установленное существование этого предела.

С помощью равенства (2.5.1) легко обосновать формулу суммы членов бесконечной геометрической прогрессии.

Для суммы n первых членов геометрической прогрессии b; bq; bq2; : : : при q 6= 1 справедливо равенство

Пример 2. Покажем, что для произвольного числа a

где, напомним, n! := 1 2 : : : n. Поскольку

то как и в примере 1, достаточно рассмотреть только положительные a.

Пусть a > 0 и m – натуральное число такое, что m + 1 > a. Для n > m имеем

что приводит к (2.5.2).

§ 2.6. Число e

Нам будет нужна следующая оценка, которую называют неравенством Я. Бернулли.

Лемма 2.6.1. Если m > 2 – натуральное число, x > 1 и x 6= 0, то справедливо неравенство

Доказательство. При m = 2 доказательство элементарно:

(1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x:

Дальнейшие рассуждения проведём методом математической индукции.

Предположим, что для показателя m неравенство (2.6.1) уже установлено, и докажем его для показателя m + 1. Имеем

(1 + x)m+1 = (1 + x)m(1 + x) >

>(1 + mx)(1 + x) = 1 + (m + 1)x + mx2 >

>1 + (m + 1)x:

Лемма доказана.

Теорема 2.6.2. Последовательность чисел

сходится.

Доказательство. Докажем сходимость последовательности fyng, где

Отсюда, сославшись на теорему о пределе частного, получим сходимость последовательности fxng и равенство обоих пределов.

Последовательность fyng ограничена снизу числом 1. Покажем, что числа yn монотонно убывают. Для этого рассмотрим