§ 6.6. Исследование функций с помощью старших производных

В § 6.2 свойства функций изучались с помощью производных первого порядка. Сейчас будем использовать производные высших порядков.

Сначала рассмотрим вопросы о локальных экстремумах и о монотонности функции в точке.

Теорема 6.6.1. Пусть функция f(x) имеет в точке x0 отличную от нуля производную порядка n > 1, а все её производные меньшего порядка в этой точке равны нулю. Тогда

10: если n чётно, то f имеет в точке x0 строгий локальный экстремум: максимум, если f(n)(x0) < 0, и минимум, если f(n)(x0) > 0;

20: если n нечётно, то f строго монотонна в точке x0 : строго возрастает, если f(n)(x0) > 0, и строго убывает, если f(n)(x0) < 0.

Доказательство. В этом случае формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид

Так как f(n)(x0) 6= 0, то в достаточно малой проколотой окрестности точки x0 знак выражения в правой части оценки (6.6.1) определяется первым слагаемым. Сейчас нас интересует только знак этого выражения при x, близких к x0, поэтому слагаемое o((x x0)n) можно не учитывать.

Если n чётно, то (x x0)n > 0 при всех x 6= x0. Значит, если f(n)(x0) > 0, то f(x) f(x0) > 0 для x из достаточно малой проколотой окрестности точки x0, т. е. f имеет в точке x0 строгий локальный минимум. Если же f(n)(x0) < 0, то f(x) f(x0) < 0 для x из достаточно малой проколотой окрестности точки x0 и f имеет в точке x0 строгий локальный максимум.

Если n нечётно, то (x x0)n > 0 для x > x0 и (x x0)n < 0 для x < x0. Поэтому при f(n)(x0) > 0 для x из достаточно малой проколотой окрестности точки x0 имеем f(x) > f(x0), если x > x0, и f(x) < f(x0), если x < x0. Значит, функция f строго возрастает в точке x0. Аналогично рассматривается случай, когда f(n)(x0) < 0.

Теорема доказана.

При n = 1 теорема 6.6.1 совпадает с теоремой 6.1.1. Новым является случай n > 2.

Согласно теореме 6.6.1, если в некоторой точке у функции есть неравная нулю производная какого-либо порядка, то в этой точке функция или имеет строгий локальный экстремум или является строго монотонной. Остаётся случай, когда функция не имеет в точке отличных от нуля производных, т. е. когда либо все производные до некоторого порядка равны нулю, а производные более высокого порядка не существуют, либо производные любого порядка существуют, но все они равны нулю.

Теорема 6.6.1 даёт достаточные условия существования строгого локального экстремума. Опираясь на эту теорему, можно получить необходимые условия существования нестрогого локального экстремума, частным случаем которых является теорема Ферма 6.1.2.

Теорема 6.6.2. Пусть функция f(x) имеет в точке x0 про-

изводную порядка n > 1, причём все производные меньшего по-

рядка в этой точке равны нулю, т. е. f0(x0) = f00(x0) = = f(n 1)(x0) = 0. Тогда

10: если n чётно, то для того чтобы f имела в точке x0 локальный максимум, необходимо условие f(n)(x0) 6 0, а чтобы f имела локальный минимум, необходимо условие f(n)(x0) > 0;

20: если n нечётно, то для того чтобы f имела в точке x0 локальный экстремум, необходимо условие f(n)(x0) = 0.

Доказательство. Если n чётно и f(n)(x0) > 0, то согласно теореме 6.6.1 f имеет в точке x0 строгий локальный минимум. Значит, локальный максимум возможен только при условии f(n)(x0) 6 0. Аналогично получаем необходимое условие локального минимума.

Если n нечётно и f(n)(x0) 6= 0, то согласно теореме 6.6.1 f строго монотонна в точке x0. Значит, f может иметь локальный экстремум в точке x0 только в случае, когда f(n)(x0) = 0.

Теорема доказана.

Рассмотрим свойства графиков функций, имеющих производные. В § 5.2 было доказано, что существование первой производной функции f(x) в точке x0 равносильно существованию у графика функции f касательной в точке (x0; f(x0)). Для краткости говорят о касательной в точке x0.

Сейчас будем изучать свойства функций, связанные с положением их графика относительно касательной.

Определение. Пусть функция f имеет производную в точке x0. Говорят, что f выпукла в точке x0, если для x из некоторой окрестности точки x0 точки графика функции лежат или выше касательной в точке x0, или на этой касательной (т. е. нет точек ниже касательной).

Если для x из некоторой проколотой окрестности точки x0 точки графика функции лежат выше касательной, функцию называют строго выпуклой в точке x0.

Определение. Пусть функция f имеет производную в точке x0. Говорят, что f вогнута в точке x0, если для x из некоторой окрестности точки x0 точки графика функции лежат или ниже касательной в точке x0, или на этой касательной (т. е. нет точек выше касательной).

Если для x из некоторой проколотой окрестности точки x0 точки графика функции лежат ниже касательной, функцию называют строго вогнутой в точке x0.

Определение. Пусть функция f имеет производную в точке x0. Говорят, что x0 является точкой перегиба функции f, если для x из некоторой проколотой окрестности точки x0 точки графика функции при x < x0 лежат строго по одну сторону касательной в точке x0, а при x > x0 – строго по другую сторону этой касательной.

Точки, в которых производная равна +1 или 1, также называют точками перегиба.

Иногда дают другое определение точек перегиба и требуют, чтобы эта точка с одной стороны от неё была точкой выпуклости, а с другой от неё стороны – точкой вогнутости функции.

180 Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

Теорема 6.6.3. Пусть в точке x0 функция f имеет отлич-

ную от нуля производную порядка n > 2 и, если n > 2, то f00(x0) = = f(n 1)(x0) = 0. Тогда

10: при чётном n функция f в точке x0 строго выпукла, если f(n)(x0) > 0, и строго вогнута, если f(n)(x0) < 0;

20: если n нечётно, то x0 является точкой перегиба функции f .

Доказательство. Уравнение касательной к графику функции в точке x0 имеет вид u(x) = f(x0)+f0(x0)(x x0). Рассмотрим функцию

'(x) := f(x) u(x) = f(x) f(x0) f0(x0)(x x0):

Для '(x) выполняются равенства

'(x0) = '0(x0) = '00(x0) = = '(n 1)(x0) = 0:

В точке x0 производные порядка n функций '(x) и f(x) равны. Поэтому при чётном n согласно теореме 6.6.1 '(x) имеет в точке x0 строгий локальный минимум, если f(n)(x0) > 0, и строгий локальный максимум, если f(n)(x0) < 0. А так как

f(x) = '(x) + f(x0) + f0(x0)(x x0);

функция f(x) в точке x0 строго выпукла, если f(n)(x0) > 0, и строго вогнута, если f(n)(x0) < 0.

Если n нечётно, то функция '(x) строго монотонна в точке x0, поэтому точка x0 является точкой перегиба функции f(x).

Теорема доказана.

Таким образом, в каждой точке, в которой функция имеет отличную от нуля вторую производную, эта функция является строго выпуклой или строго вогнутой и по знаку второй производной можно сказать, какой именно случай имеет место. Если же вторая производная равна нулю, а третья производная отлична от нуля, то такая точка является точкой перегиба.

Разумеется, функция может иметь точки, которые не являются точками выпуклости, вогнутости или точками перегиба. Но в таких точках у функции нет отличных от нуля производных порядка n > 2.