§ 3.4. Критерий Коши

Определение. Функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 и для каждого " > 0 существует такое число (") > 0, что для любой пары точек x0 и x00 из проколотой -окрестности точки x0 выполняется неравенство

Теорема 3.4.1 (Критерий Коши). Для того чтобы функция f имела в некоторой точке конечный предел, необходимо и достаточно выполнения для f в этой точке условия Коши.

Доказательство. Пусть предел limx!x0 f(x) равен a. Для каждого положительного " существует > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < jx x0j < , справедливо неравенство jf(x) aj < "=2. Взяв произвольные точки x0 и x00 из проколотой -окрестности точки x0, находим

jf(x0) f(x00)j 6 jf(x0) aj + ja f(x00)j < 2" + 2" = ":

Таким образом, необходимость условия Коши установлена. Пусть теперь выполнено условие Коши. По " > 0 находим

такое > 0, что для любых точек x0 и x00 из проколотой - окрестности точки x0 справедливо неравенство (3.4.1).

Рассмотрим произвольную последовательность точек fxng из области определения функции f такую, что xn ! x0 при n ! 1 и xn 6= x0 для всех n. Тогда существует число N, зависящее от, а в конечном счёте зависящее от ", такое, что при всех n > N для точек xn справедливо неравенство jxn x0j < .

Значит, если n и m превосходят N, то jf(xn) f(xm)j < " и для последовательности ff(xn)g выполняется условие Коши. Итак, для любой такой последовательности точек fxng существует конечный предел последовательности ff(xn)g.

Но нужно ещё показать, что для разных последовательностей fxng пределы последовательностей ff(xn)g одинаковы.

Рассмотрим две последовательности указанного вида fxng и ftng.

Пусть limn!1 f(xn) = a и limn!1 f(tn) = b. Составим новую

включая в неё попеременно члены последовательностей fxng и ftng. Все точки последовательности (3.4.2) принадлежат области определения функции f, отличны от x0 и последовательность (3.4.2) сходится к x0. Значит, по уже доказанному последовательность значений функции f в точках (3.4.2) имеет предел. Числа a и b являются частичными пределами этой сходящейся последовательности. Отсюда следует, что a = b.

Теорема доказана.

§ 3.5. Предел сложной функции

Сначала определим термин “сложная функция”.

Определение. Пусть на множестве D задана функция f и E

– множество значений f(x), когда x 2 D. Если на E определена функция ', то при всех x 2 D имеет смысл выражение

' (f(x)):

Так заданную функцию называют сложной функцией.

Сложную функцию называют также функцией от функции, суперпозицией функций или композицией функций.

Выясним, при каких условиях из существования пределов функций f и ' следует, что имеет предел сложная функция '(f).

Теорема 3.5.1. Пусть limx!x0 f(x) = y0 и для x из некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено условие

Пусть, далее, limy!y0 '(y) = z0 . Тогда предел

lim ' f(x)

x!x0

существует и равен z0 .

Доказательство. Отметим, что нужно проверить и то, что функция '(f(x)) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Это будет установлено в ходе доказательства.

Так как предел функции ' в точке y0 равен z0, то для произвольного " > 0 существует число (") > 0 такое, что при всех y, удовлетворяющих условию 0 < jy y0j < , справедлива оценка j'(y) z0j < ".

Далее по находим > 0 такое, что при всех x, для которых 0 < jx x0j < , имеем jf(x) y0j < . Уменьшив в случае необходимости значение , получим, что в проколотой - окрестности точки x0 выполняется условие (3.5.1). Тогда для x из этой -окрестности значения функции f принадлежат проколотой-окрестности точки y0. Значит, при этих x выражение '(f(x)) имеет смысл и

j'(f(x)) z0j < ":

Отсюда следует утверждение теоремы, поскольку выбиралось по , а по ", т. е. в конце концов выбор зависел от ".

Условие (3.5.1) существенно для справедливости теоремы 3.5.1. В самом деле, из существования предела limy!y0 '(y) не следует, что функция '(y) определена в точке y0, а если она и определена, то никаких условий на её значение в этой точке не накладывается.

Поэтому, если условие (3.5.1) не выполнено, то в как угодно малой окрестности точки x0 могут существовать точки x, для которых выражение '(f(x)) или не определено или имеет значения, никак не связанные со значениями ' в проколотой окрестности точки y0.

Вместе с тем, из доказательства теоремы 3.5.1 видно, что от условия (3.5.1) можно отказаться, если функция ' при y = y0 определена и limy!y0 '(y) = '(y0).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.5.2. Если limx!x0 f(x) = y0 и limy!y0 '(y) =

'(y0), то

§ 3.6. Односторонние пределы

Наряду с окрестностями точки, когда точка лежит в некотором интервале, рассматривают промежутки, которые называют односторонними окрестностями точек. Полуинтервалы вида

(c; x0] называют левыми окрестностями точки x0, а полуинтервалы вида [x0; d) – правыми окрестностями точки x0.

С помощью левых и правых окрестностей вводятся односторонние пределы функции. Приведём определение предела функции в точке справа.

Определение. Пусть функция f задана в некоторой правой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0. Число a называют пределом функции f в точке x0 справа, если для каждого " > 0 существует (") > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих условию x0 < x < x0 + , справедлива оценка

Это – определение предела по Коши. Можно дать определение одностороннего предела по Гейне и доказать эквивалентность этих определений. Не будем входить в подробности ввиду очевидности изменений по сравнению с обычными пределами.

Аналогично формулируется определение предела функции в точке слева. Такой предел обозначают f(x0 0).

Правый и левый пределы в точке 0 обозначают f(+0) и f( 0). Вместо f(x0 + 0) и f(x0 0) иногда пишут f(x0+) и f(x0 ).

Заметим, что существование предела limx!x0 f(x) равносильно существованию и равенству односторонних пределов f(x0 + 0)

и f(x0 0).

Определение. Функция f(x) называется возрастающей на промежутке, если для любых точек x1 и x2 промежутка из x1 < x2 следует неравенство f(x1) 6 f(x2). Если для всех таких пар точек выполняется неравенство f(x1) < f(x2), функцию f называют строго возрастающей на этом промежутке.

Аналогично определяют убывающие и строго убывающие на промежутке функции.

Возрастающие и убывающие функции называют монотонными. Строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

Теорема 3.6.1. Пусть функция f возрастает на интервале (a; b). Тогда если значения f на (a; b) ограничены сверху числом B, то предел f(b 0) существует и f(b 0) 6 B. Если f на (a; b) не ограничена сверху, то f(b 0) = +1.

Доказательство. Рассуждения аналогичны доказательству соответствующей теоремы для последовательностей.