Равенства (5.1.12) и (5.1.13) имеют место при всех x. Производные тангенса и котангенса находим, применяя фор-

мулу производной частного:

Равенства (5.1.14) и (5.1.15) справедливы при всех x из области определения тангенса и, соответственно, котангенса.

Для вычисления производных других элементарных функций нужны свойства производных, которые будут установлены позднее.

В определении производной предел (5.1.1) считают конечным. Иногда рассматривают также случаи, когда этот предел равен +1 или 1. Тогда говорят о соответствующей бесконечной производной.

Как и для пределов функций, будем считать, что производная конечна, если не сказано, что она может быть бесконечной.

§ 5.2. Дифференциал функции

Определение. Пусть функция y = f определена в окрестности точки x. Если приращение f в этой точке можно представить в виде

y = f = f(x + x) f(x) = A x + o( x); x ! 0; (5.2.1)

где A – некоторое число, функцию f называют дифференцируемой в точке x.

Иногда приращение y нужно рассматривать и при x = 0. Тогда считают, что при x = 0 слагаемое o( x) в формуле (5.2.1) равно нулю.

Теорема 5.2.1. Функция y = f дифференцируема в точке x0 в том и только том случае, когда f имеет в этой точке производную. Если f дифференцируема, то

Доказательство. При доказательстве теоремы 5.1.1 мы видели, что из существования производной функции f в точке x0 следует оценка (5.1.2), которую согласно (5.1.3) можно записать в виде (5.2.2). Отсюда следует достаточность в теореме 5.2.1.

Чтобы доказать необходимость, разделим обе части (5.2.1) на x:

Эта оценка показывает, что функция f имеет в точке x производную, равную A, т. е. из (5.2.1) следует (5.2.2).

Теорема доказана.

Таким образом, равносильны утверждения, что функция имеет в точке производную и что функция дифференцируема в этой точке. Вычисление производной называют дифференцированием функции.

Определение. Функцию, производная которой непрерывна в точке или на промежутке, называют непрерывно дифференцируемой, соответственно, в точке или на промежутке.

Говорят также о кусочно непрерывно дифференцируемых функциях.

Если для приращения функции f справедливо представление (5.2.1), то слагаемое A x называют линейной частью приращения f.

Определение. Если функция f дифференцируема в точке x, то линейную часть приращения f называют дифференциалом функции f в этой точке и обозначают df или df(x).

Таким образом, df(x) := f0(x) x.

В общем случае dy 6= y, так как в (5.2.2) приращение y имеет ещё слагаемое o( x).

Наряду с дифференциалом функции вводят дифференциал независимой переменной, полагая его по определению равным приращению. Тогда вместо x пишут dx.

Используя дифференциал независимой переменной дифференциал функции dy можно записать так:

Следовательно, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Выражение dy=dx рассматривают также как другое обозначение производной.

Для дифференциалов справедливы следующие формулы:

Вкаждом из этих равенств предполагается, что функции u

иv дифференцируемы в некоторой точке, утверждается существование в этой точке дифференциалов функций, полученных с помощью арифметических действий над u и v, и даются выражения этих дифференциалов.

Равенства (5.2.5)–(5.2.7) доказываются однотипно. Например, (5.2.6) получаем с помощью (5.2.3) и теоремы 5.1.2:

d(u v) = (u v)0dx = u0 vdx + u v0dx = v du + u dv:

Выясним свойства графика функции, соответствующие существование производной.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0. Будем придавать аргументу f в точке x0 малые приращения x, чтобы точки x0 + x не выходили из области определения функции.

Отметим на графике функции f точки A(x0; f(x0)) и B(x0 + x; f(x0 + x)) и проведём через эти точки прямую AB.

Эту прямую называют секущей. Пусть – угол, который прямая AB образует с осью абсцисс OX. Угол считаем положительным, если прямая AB правее точки пересечения с осью OX лежит выше оси, в противном случае считаем отрицательным. Если прямая AB параллельна оси OX, полагаем = 0.

A

α

x

α

Так как y = f(x0 + x) f(x0), то

В силу непрерывности функции f в точке x0 точка B приx ! 0 приближается к точке A. При этом значение угла зависит от x.

Равенство (5.2.8) показывает, что существование производной f0(x0) равносильно существованию предела tg при x ! 0. Так как на интервале ( =2; =2) тангенс является непрерывной строго монотонной функцией, существование предела tg равносильно существованию предельного значения угла , обозначим его0. Значит, при x ! 0 секущая AB занимает предельное положение, соответствующее углу наклона 0. Прямую, являющуюся предельным положением секущей, называют касательной к графику функции f(x) в точке x0. При этом

tg 0 = f0(x0)

и касательная не параллельна оси OY , её называют наклонной. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.2.2. Для существования наклонной касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0; f(x0)) необходимо и достаточно существование производной f0(x0). При этом тангенс угла наклона касательной равен значению производной.

В этой теореме можно иметь в виду и односторонние производные.

Уравнение касательной, обозначим её L, к графику функции y = f(x) в точке (x0; f(x0)) имеет вид

y f(x0) = f0(x0)(x x0):

Расстояние точки M(x; f(x)), принадлежащей графику функции f, до касательной L равно

p

В силу существования производной f0(x0) имеем

(M; L) = o(x x0); x ! x0:

Пусть теперь L1 – произвольная невертикальная прямая, проходящая через точку (x0; f(x0)), и

y = f(x0) + k(x x0)

– её уравнение.

Покажем, что если для точек M графика функции y = f(x) справедлива оценка