Глава 4. Непрерывные функции

точке x0, если f определена в некоторой окрестности этой точки и для любой сходящейся к x0 последовательности точек fxng, n = 1; 2; : : : , из области определения f, справедливо равенство limn!1 f(xn) = f(x0). Это равенство можно записать так:

lim f(xn) = f( lim xn):

n!1 n!1

Заметим, что когда говорят, что функция f непрерывна в точке, нет необходимости добавлять, что f определена в некоторой окрестности этой точки, поскольку такое требование входит в определение непрерывности.

При изучении вопросов, связанных с непрерывностью функций, полезны понятия приращения аргумента и приращения функции. Пусть x0 и x – два значения аргумента функции f, положим x := x x0. Тогда x = x0 + x и говорят, что точка x получена из x0 за счёт приращения аргумента x. Разность значений функции

f := f(x0 + x) f(x0)

называют приращением функции f в точке x0, когда аргумент получил приращение x. При этом x может быть как положительным, так и отрицательным.

Непрерывность функции f в точке x0 означает, что f ! 0 при x ! 0.

Следующие свойства непрерывных функций вытекают из свойств предела функции в точке.

Непрерывная в точке функция ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Если функция f непрерывна в точке x0 и f(x0) 6= 0, то существует такая окрестность точки x0, что jf(x)j > jf(x0)j=2 для всех x из этой окрестности. При этом f(x) > f(x0)=2, если f(x0) > 0, и f(x) < f(x0)=2, если f(x0) < 0.

В частности, если функция f непрерывна в точке x0 и f(x0) 6= 0, то f сохраняет знак в некоторой окрестности точки x0.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой точке непрерывны функции f(x) + g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), а если, кроме того, g(x0) 6= 0, то непрерывна и функция f(x)=g(x).

Отсюда получаем непрерывность многочленов на всей оси. В самом деле, непрерывность функций f(x) = C (т. е. функций,

принимающих одно и то же значение C при всех значениях аргумента) и f(x) = x очевидна. Далее по индукции, легко убедиться, что для каждого натурального n функция f(x) = xn

непрерывна. Так получаем непрерывность любого многочлена anxn + an 1xn 1 + + a1x + a0.

Рациональная дробь, т. е. отношение двух многочленов, непрерывна во всех точках, в которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Из теоремы 3.5.2 о пределе сложной функции вытекает следующее утверждение о непрерывности сложной функции.

Теорема 4.1.1. Если функция f(x) непрерывна в точке x0 , а функция '(y) непрерывна в точке y0 := f(x0), то сложная функция '(f(x)) непрерывна в точке x0 .

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают одностороннюю непрерывность.

Определение. Функция f называется непрерывной справа в точке x0, если f(x0 + 0) = f(x0). Функция f называется непрерывной слева в точке x0, если f(x0 0) = f(x0).

Непрерывность функции в точке равносильна её непрерывности в этой точке и справа и слева.

Отметим, что приведенные выше свойства функций, непрерывных в точке, распространяются на функции, непрерывные справа или слева.

§ 4.2. Классификация точек разрыва

Точки, в которых функция не является непрерывной, называют точками разрыва функции.

Чтобы можно было говорить о пределе функции в точке разрыва, будем далее считать, что функция определена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Если x0 является точкой разрыва функции f и существуют конечные пределы f(x0 + 0) и f(x0 0), то x0 называют точкой разрыва первого рода.

Если f имеет в точке x0 разрыв первого рода и f(x0 + 0) = f(x0 0), то либо f не определена в точке x0, либо f определена в этой точке, но f(x0) 6= f(x0 + 0). Положив f(x0) := f(x0 +

0), т. е. доопределив или переопределив f в точке x0, получим непрерывную функцию. Такие разрывы называют устранимыми.

Разрыв первого рода называют неустранимым, если f(x0 + 0) 6= f(x0 0). В этом случае нельзя получить непрерывную функцию, доопределив или переопределив f в точке x0.

На рисунке показаны неустранимые разрывы первого рода.

Если функция f имеет в точке x0 неустранимый разрыв первого рода, то существует > 0, такое, что при отображении, осуществляемом функцией f, образ -окрестности точки x0 содержит не все точки интервала на оси OY с концами в точках f(x0 0) и f(x0 + 0).

Если функция f задана в односторонней окрестности точки x0 и соответствующий односторонний предел f в этой точке существует, но не равен f(x0), то x0 также называют точкой разрыва первого рода функции f.

Если функция f(x) монотонна на некотором промежутке, то согласно теореме 3.6.2 в каждой внутренней точке x0 этого промежутка существуют пределы f(x0 0) и f(x0 + 0). Значит, все точки разрыва монотонной функции являются точками разрыва первого рода.

Если множество точек разрыва монотонной функции бесконечно, то оно обязательно счётно. В самом деле, каждой точке разрыва x0 поставим в соответствие какое-либо рациональное число, заключённое между f(x0 0) и f(x0 + 0). Тогда получим взаимно однозначное соответствие точек разрыва и некоторого множества рациональных чисел, а каждое бесконечное подмножество рациональных чисел счётно.

Таким образом, справедливо следующее предложение.

Теорема 4.2.1. Монотонная функция может иметь точки разрыва только первого рода и множество её точек разрыва не более чем счётно.