Наряду с функциями, непрерывными на промежутке, рассматривают кусочно непрерывные функции.

Определение. Функция называется кусочно непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках промежутка, за исключением конечного множества точек, которые являются её точками разрыва первого рода.

Другими словами, промежуток, на котором функция кусочно непрерывна, можно разбить на конечное число интервалов, на которых функция непрерывна, а в концах этих интервалов имеет конечные односторонние пределы.

Отметим, что теорема 4.3.1 верна и для функций, кусочно непрерывных на отрезке, а в теоремах 4.3.2 и 4.3.3 заменить непрерывность функции на кусочную непрерывность нельзя.

§ 4.4. Равномерная непрерывность функций

Если функция f непрерывна на промежутке [a; b], то для каждой точки x0 2 [a; b] и произвольного положительного " существует такое положительное число , что при всех x из области определения функции f таких, что jx x0j < , имеем jf(x) f(x0)j < ".

При этом для каждой точки промежутка при одном и том же " имеем, вообще говоря, своё . Таким образом, зависит не только от ", но и от x0. Если же можно выбрать зависящим только от ", говорят о равномерной непрерывности функции.

Определение. Функцию f, заданную на промежутке [a; b], называют равномерно непрерывной на этом промежутке, если для каждого " > 0 существует (") > 0 такое, что для любых точек x0 и x00 из [a; b], удовлетворяющих условию jx0 x00j < , справедливо

неравенство

jf(x0) f(x00)j < ":

Промежуток, о котором говорится в этом определении, может быть отрезком, интервалом или полуотрезком, в том числе и неограниченным.

Теорема 4.4.1 (Теорема Кантора). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Предположим противное: пусть функция f(x) на отрезке [a; b] непрерывна, но не является равномерно

непрерывной. Тогда 9 "0 > 0 такое, что 8 > 0 найдутся такие

Теорема доказана.

Отметим, что функции, непрерывные на интервале, подобным свойством не обладают.

Для характеризации равномерной непрерывности функции удобно использовать её модуль непрерывности.

Определение. Пусть функция f ограничена на некотором промежутке. Модулем непрерывности f называется функция

где точная верхняя грань берётся по всем точкам x0 и x00 из указанного промежутка таким, что jx0 x00j 6 .

Модуль непрерывности !(f; ) определён при , для которых

в рассматриваемом промежутке имеются точки x0 и x00, для которых jx0 x00j 6 .

В обозначении !(f; ) символ f можно опустить, если ясно, о модуле непрерывности какой функции идет речь.

Очевидны следующие свойства модуля непрерывности:

10: !( ) > 0 и !(0) = 0;

20: !( ) убывает при убывании .

Поэтому, в частности, предел !(+0) существует и !(+0) > 0.

Теорема 4.4.2. Пусть !( ) является модулем непрерывности функции f . Тогда для любых положительных 1 и 2 справедлива оценка

В частности, !(n ) 6 n !( ) для каждого натурального числа n.

Доказательство. Пусть x0 и x00 – произвольные точки про-

межутка, на котором рассматривается функция f, и jx0 x00j 61 + 2. Возьмём между x0 и x00 точку t, для которой jx0 tj 6 1 и jt x00j 6 2. Тогда

jf(x0) f(x00)j 6 jf(x0) f(t)j + jf(t) f(x00)j 6 !( 1) + !( 2):

Так как здесь правая часть не зависит от точек x0 и x00, выражение в левой части можно заменить на точную верхнюю грань его значений, взятую по всем рассматриваемым x0 и x00, а это даёт оценку (4.4.1).

Неравенство !(n ) 6 n !( ), n 2 N, легко устанавливается по индукции.

Теорема доказана.

Свойство, выраженное неравенством (4.4.1), называют полуаддитивностью функции !( ).

Теорема 4.4.3. Для модуля непрерывности !( ) при любом положительном справедлива оценка

Доказательство. Для натуральных согласно теореме 4.4.2

!( ) 6 !( ).

Если [ ] – наибольшее целое число, меньшее или равное , то [ ] 6 < [ ] + 1. Для произвольного > 0 в силу возрастания модуля непрерывности имеем

!( ) 6 !(([ ] + 1) ) 6 ([ ] + 1) !( ) 6 ( + 1) !( ):

Теорема доказана.

Теорема 4.4.4. Условие !(f; +0) = 0 необходимо и достаточно для равномерной непрерывности функции f .

Доказательство. Если !(f; +0) = 0, то для каждого " > 0 существует > 0 такое, что !(f; ) < ". Значит, для любых то-

чек x0, x00, принадлежащих области определения функции f, из jx0 x00j < следует jf(x0) f(x00)j < ". А это означает равномер-

ную непрерывность функции f и достаточность доказана. Докажем необходимость. Пусть функция f равномерно непре-

рывна. Тогда для каждого " > 0 существует > 0 такое, что

для любых точек x0, x00 из области определения f, для которых jx0 x00j 6 , имеем

jf(x0) f(x00)j < "=2:

Так как правая часть в этом неравенстве не зависит от x0 и x00,

выражение в левой части можно заменить на его точную верхнюю грань по всем x0 и x00, для которых jx0 x00j 6 . Значит, !( ) 6

"=2 < ", что приводит к равенству !(f; +0) = 0. Теорема доказана.

§ 4.5. Непрерывность обратной функции

Пусть на множестве D задана функция f и E – образ D при отображении, осуществляемом функцией f, т. е. E – множество всех чисел y = f(x), когда x пробегает множество D.

По значению y 2 E указать x не всегда можно, так как для y 2 E может быть, вообще говоря, много точек x 2 D таких, что y = f(x).

Прежде, чем двигаться дальше, познакомимся с терминологией, относящейся к данному кругу вопросов. Будем говорить не о функциях, а о произвольных отображениях множеств.

Пусть X и Y – произвольные множества. Если задано отображение (функция) f : X ! Y , то говорят, что f является отображением множества X “во” множество Y . При этом не каждый элемент из Y обязательно является образом какого-либо элемента множества X. Если же Y представляет собой множество значений отображения f, то это отображение называют отображением X “на” множество Y .

Отображение “на” называют также сюръективным.

Если отображение f : X ! Y является отображением на и каждый элемент множества Y является образом только одного элемента множества X, т. е. из f(x1) = f(x2) следует x1 = x2, то говорят, что отображение f обратимо или инъективно.

Обратимость отображения означает, что это отображение взаимно однозначно. Мы уже говорили, что взаимно однозначные отображения называют биективными или биекциями.

Далее будем рассматривать числовые функции числового аргумента.

Если функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества D на E, то на E можно задать функцию, поставив в соответствие каждому y 2 E то единственное число x 2 D, для которого y = f(x). Такую функцию называют функцией, обратной f, и обозначают x = f 1(y).

С этим обозначением связано неудобство, поскольку так иногда записывают число 1=f(y), хотя в этом случае точнее было бы писать f(y) 1.

Если функция f на D строго монотонна (т. е. строго возрастает или строго убывает), то отображение f : D ! E обратимо. В этом случае обратная функция также строго монотонна, причём она является строго возрастающей, если функция f возрастала, и строго убывающей, если f убывала.

Теорема 4.5.1. Пусть функция f на отрезке [a; b] строго возрастает и непрерывна, c := f(a) и d := f(b). Тогда обратная функция x = f 1(y) строго возрастает и непрерывна на отрезке

[c; d].

Доказательство. О строгом возрастании обратной функции было уже сказано. В соответствии со следствием 4.3.4 множество значений непрерывной функции f(x) целиком заполняет отрезок [c; d]. Остаётся доказать только непрерывность обратной функции на [c; d].

Зафиксируем точку y0 2 (c; d) и докажем непрерывность функции f 1(y) в этой точке. Пусть x0 – та точка интервала (a; b), в которой f(x0) = y0. Возьмём произвольное положительное число " такое, что "-окрестность точки x0 принадлежит интервалу (a; b). Тогда точки y1 := f(x0 ") и y2 := f(x0 + ") попадают в интервал (c; d).

В силу строгого возрастания функция f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие интервала (x0 "; x0 + ") на оси OX и интервала (y1; y2) на оси OY .

Возьмём положительное число такое, что -окрестность точки y0 принадлежит (y1; y2). Тогда вся -окрестность точки y0 при отображении x = f 1(y) попадёт в "-окрестность точки x0. А это означает непрерывность функции f 1 в точке y0.

При доказательстве односторонней непрерывности функции f 1(y) в концах отрезка c и d рассуждения аналогичны. Нужно только брать соответствующие односторонние окрестности.

Теорема доказана.