где u(x) > 0. Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то

ln u(x) v(x) 0 = v(x) ln u(x) 0 = v0(x) ln u(x) + v(x) u0(x): u(x)

Вместе с тем,

ln u(x)v(x) 0 = u(x)v(x) 0 : u(x)v(x) ;

значит,

u(x)v(x) 0 = u(x)v(x) v0(x) ln u(x) + v(x)u0(x) : u(x)

§ 5.5. Производные и дифференциалы высших порядков

Если производная f0(x) существует во всех точках из некоторой окрестности точки x0, можно ставить вопрос о существовании в точке x0 производной функции f0(x).

Если функция f0(x) имеет производную в точке x0, эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) в точке x0 и обозначают f00(x0).

Производная третьего порядка f000(x) вводится как первая производная производной второго порядка f00(x) и т. д.

Определение. Производной порядка n, n = 2; 3; : : : , функции f(x) называется первая производная производной порядка n 1. Значение производной порядка n в точке x0 обозначают f(n)(x0).

Таким образом, по определению

f(n)(x) := f(n 1)(x) 0:

Функция может иметь производную первого порядка, но не иметь производной второго порядка. Например, если y = xjxj, то y0 = 2jxj. Значит, функция xjxj не имеет производной второго порядка в нуле.

Можно указать функции, имеющие в точке производную порядка n > 1, у которых в этой точке нет производной порядка n + 1.

138 Гл. 5. Производные и дифференциалы

Основные элементарные функции имеют производные любого порядка в своей естественной области определения. Например,

О производных степенной функции отметим, что если положительное число a не целое, то функция xa имеет в нуле производные справа до порядка [a] включительно, но не имеет конечной производной порядка [a] + 1.

Если в некоторой точке или в каждой точке некоторого промежутка функция имеет производную второго порядка, функцию называют дважды дифференцируемой соответственно в точке или на промежутке. Если при этом производная второго порядка непрерывна, то говорят, что функция дважды непрерывно дифференцируема.

Аналогично определяются трижды дифференцируемые, трижды непрерывно дифференцируемые функции и т. д.

Функции, имеющие производные любого порядка, называют

бесконечно дифференцируемыми соответственно в точке или на промежутке. Заметим, что бесконечно дифференцируемая в точке функция является бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки.

Если функции u(x) и v(x) имеют в некоторой точке производные порядка n, то сумма и разность этих функций имеют в указанной точке производные порядка n и справедливы равен-

ства

u(x) v(x) (n) = u(n)(x) v(n)(x):

Рассуждения по индукции показывают, что в этом случае существует производная порядка n произведения u(x) v(x).

Выразим производные высших порядков произведения функций через производные самих этих функций.

которые называют биномиальными коэффициентами, так как эти числа участвуют в формуле бинома Ньютона, о чём будет

сказано позднее. Для биномиальных коэффициентов наряду с Cnk используется обозначение

n

k

:

Число Cnk называют числом сочетаний из n по k, так как оно показывает, сколько различных подмножеств из k элементов имеет множество из n элементов. Но это комбинаторное свойство биномиальных коэффициентов не будет сейчас нужно.

Теорема 5.5.1 (Формула Лейбница). Если функции u(x) и v(x) имеют в точке x0 производные порядка n, n = 1; 2; : : : , то в этой точке существует производная порядка n произведения u(x) v(x) и справедливо равенство

где производная нулевого порядка функции обозначает саму эту функцию.

Доказательство. Для краткости не будем писать аргументы у производных.

Докажем формулу Лейбница по индукции. При n = 1 формула (5.5.2) имеет вид

1

X

(u v)0 = C1k u(k) v(1 k) = u v0 + u0 v;

k=0

т. е. это – выражение первой производной произведения двух функций.

Теперь, пользуясь равенством (5.5.2) для n = m, m = 1; 2; : : : , докажем его при n = m + 1.

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков.

Если x – независимая переменная и функция y = f(x) дифференцируема, то dy = f0(x) dx. Таким образом, дифференциал dy зависит от x и от dx.

Поставим вопрос, является ли дифференциал dy как функция от x дифференцируемой функцией?

Чтобы выяснить это, придадим аргументу x приращение dx и рассмотрим приращение дифференциала dy:

f0(x + dx) dx f0(x) dx = f0(x + dx) f0(x) dx:

Если существует вторая производная f00(x), то

f0(x + dx) f0(x) = f00(x) dx + o(dx); dx ! 0:

Таким образом, линейная часть приращения произведения f0(x) dx, когда x получает приращение dx, равна f00(x) dx dx = f00(x) (dx)2.

Квадрат дифференциала независимой переменной (dx)2 принято обозначать dx2, т. е. dx считается единым символом, который возводится в квадрат.

Поэтому, полагая по определению d2y := d(dy), получаем

Так как дифференцируемость функции равносильна существованию производной, то существование второго дифференциала d2y равносильно существованию второй производной f00(x).

Поскольку дифференциал независимой переменной dx от x не зависит, то d(dx) = d2x = 0.

Далее, для n > 2 полагаем

dny := d (dn 1y)

и с помощью аналогичных рассуждений находим, что

где dxn обозначает n-ю степень дифференциала dx. Таким образом,

142 Гл. 5. Производные и дифференциалы

т. е. производная порядка n функции равна отношению дифференциала порядка n этой функции к n-й степени дифференциала независимой переменной.

Напомним, что формулы (5.5.3)–(5.5.5) относятся к случаю, когда x является независимой переменной.

Рассмотрим дифференциалы сложной функции.

Сначала найдём выражение дифференциала первого порядка. Пусть y = (x) = '(f(x)), где функции y = '(u) и u = f(x) имеют

производные первого порядка. Тогда dy = 0(x) dx, а согласно (5.4.1) 0(x) = '0(u)f0(x).

Поэтому

dy = '0(u)f0(x) dx:

С другой стороны, f0(x) dx = du, значит, dy = '0(u) du. Таким образом, для первого дифференциала dy сложной фун-

Эти формулы выглядят одинаково, но их принципиальная разница состоит в том, что dx в (5.5.6) является дифференциалом независимой переменной, а du в (5.5.7) является дифференциалом зависимой переменной.

Свойство первого дифференциала иметь одинаковое выражение через дифференциалы независимой и зависимой переменной называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков сложной функции.

Пусть по-прежнему y = '(u), u = f(x), где x – независимая переменная, и (x) := '(f(x)).

Согласно (5.5.7) и (5.2.6) имеем

d2y = d '0(u) du = d('0(u)) du + '0(u) d(du) =

= '00(u) du du + '0(u) d2u = '00(u) du2 + '0(u) d2u:

Итак,

Здесь d2u = f00(x) dx2.

Сравнение формул (5.5.8) и (5.5.3) показывает, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности – его представление зависит от того, выражен он через дифференциалы независимой переменной или через дифференциалы зависимой переменной.

Найдём ещё выражение третьего дифференциала через дифференциалы зависимой переменной. Имеем

d3y = d(d2y) = d '00(u) du2 + '0(u) d2u =

='000(u) du du2 + '00(u) d(du2)+

+'00(u) du d2u + '0(u) d(d2u) =

='000(u) du3 + '00(u) 2 du d2u + '00(u) du d2u + '0(u) d3u =

Запоминать формулы (5.5.8) и (5.5.9) нет необходимости, рекомендуется выводить их заново каждый раз, когда они нужны.

Рассмотрим теперь производные функций, заданных параметрически.

Простейший пример параметрического задания функции даёт параметрическое уравнение прямой на плоскости

где t 2 (1; +1). Если a 6= 0, то t = (x b)=a и, подставив это значение t во второе уравнение (5.5.10), получим

y = ac (x b) + d:

Таким образом, исключив из (5.5.10) параметр t, мы нашли явное выражение y через x.

Сложнее обстоит дело с параметрическим уравнением эллипса

a; b > 0, t 2 (1; +1). Исключив в уравнении (5.5.11) параметр t, получим

x 2 + y 2 = 1: a b

Отсюда

Поскольку для каждого x знак перед корнем можно брать произвольно, формула (5.5.12) задаёт бесконечно много функций y аргумента x. Если потребовать непрерывность функций на [ a; a], таких функций будет две.

Понятно, что в общем случае, когда на некотором промежутке изменения параметра t заданы функции

исключить из (5.5.13) параметр t и получить явное выражение y через x далеко не всегда возможно и совсем не просто.

Покажем, что при некоторых естественных условиях на функции (5.5.13) можно найти параметрическое представление производной yx0 через производные функций x(t) и y(t).

Если в некоторой окрестности точки t0 функция x(t) строго монотонна, то как было сказано в § 4.5, в некоторой окрестности точки x0 := x(t0) существует функция t = t(x), обратная x(t), и формулы (5.5.13) параметрически задают функцию y(x) := y(t(x)).

Предположим, что в точке t0 существуют производные x0t, yt0

Мы получили yx0 как функцию от t, функции x(t) и yx0 (t) задают параметрически производную yx0 .

Если функция yt0=x0t имеет производную по t (так будет во всяком случае, когда существуют вторые производные x00t t(t) и yt00t(t)), то вторую производную yxx00 можно найти так:

Подобным образом можно находить производные функции y(x) и более высокого порядка.

Запоминать формулу (5.5.15) не нужно. Рекомендуется каждый раз выводить её заново. К тому же, если дробь в правой части равенства (5.5.14) удастся упростить, вторую производную yxx00 (t) получим с помощью более простых вычислений, чем из формулы (5.5.15).