k=0

Если для f справедлива оценка (6.4.8), то числа k называют

производными функции f порядка k в точке a в смысле Пеано.

§ 6.5. Формула Тейлора для элементарных функций

Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для основных элементарных функций и будем следить за поведением остаточного члена при n ! 1 и фиксированном x.

Для простоты записи и по традиции будем рассматривать формулу Тейлора в нуле.

10: Показательная функция f(x) = ex. Так как f(k)(x) = ex, то f(k)(0) = 1 при всех k. Значит,

k=0

При каждом x имеем e x 6 ejxj. Поэтому для остаточного члена формулы (6.5.1) справедлива оценка

которая согласно (2.5.1) показывает, что для любого x остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю при n ! 1. Следовательно, для каждого x справедливо равенство

k=0

с целыми коэффициентами называют алгебраическими числами. Нетрудно убедиться, что множество алгебраических чисел счётно. Если число не алгебраическое, его называют трансцендентным.

Можно доказать (это доказательство сложно и выходит за рамки курса), что число e не только иррационально, но и трансцендентно. Число также является трансцендентным.

20: Функция sin x. Имеем

sin(k) x = sin x + k2 :

Значит,

sin(k) 0 = sin k2

и в нуле производная порядка k при чётных k равна нулю, а при нечётных k равна попеременно +1 и 1.

Поэтому формула Тейлора порядка 2n + 2, n = 0; 1; 2; : : : , функции sin x имеет вид

а для остаточного члена справедливо представление

Отсюда вытекает оценка

jxj2n+3

R2n+3(x) 6 (2n + 3)!;

из которой следует, что остаточный член для каждого x стремится к нулю при n ! 1 и

30: Функция cos x. Рассуждения аналогичны предыдущим. Так как

cos(k) x = cos x + k2 ;

то

cos(k) 0 = cos k2 :

Поэтому

и для остаточного члена справедлива оценка

jR2n+2(x)j 6 (2n + 2)!:

Значит, остаточный член для каждого x при n ! 1 стремится к нулю и

40: Функции sh x и ch x. Так как sh(k) x = sh x при чётных k и sh(k) x = ch x при нечётных k, то sh(k) 0 = 0 для чётных k и sh(k) 0 = 1 для нечётных k. Поэтому

174Гл. 6. Свойства дифференцируемых функций

Вобоих случаях для каждого фиксированного x остаточный член стремится к нулю при n ! 1.

Поэтому функции sh x и ch x при каждом x можно представить в виде пределов

Заметим, что формулы вида (6.5.6) и (6.5.7) можно вывести и из (6.5.1).

50: Логарифмическая функция ln(1 + x). В отличие от предыдущих примеров здесь функция определена не при всех x, а только для x > 1.

Найдём производные функции f(x) = ln(1 + x). Имеем

Таким образом, Rn+1(x) для этих x стремится к нулю при n ! 1

и

k=1

Равенство (6.5.11) справедливо и при x 2 ( 1; 0), но для отрицательных x остаточный член в форме Лагранжа (6.5.9) даёт возможность сделать такой вывод, только если x 2 [ 1=2; 0). Действительно, в этом случае

и, значит, справедлива оценка (6.5.10).

В главе 16 с помощью других представлений остаточного члена формулы Тейлора будет показано, что Rn+1(x) в (6.5.8) стремится к нулю при n ! 1 для всех x 2 ( 1; 1], а для остальных x это не так.

60: Степенная функция f(x) = (1 + x)m. Пусть сначала m – натуральное число.

А если k > m, то f(k)(x) 0.

Поэтому остаточный член формулы Тейлора порядка n > m равен нулю и

где коэффициенты Cmk уже встречались нам в формуле Лейбница для старших производных произведения двух функций.

Из (6.5.12) легко вывести формулу бинома Ньютона

k=0