Аналогично, если c – частичный предел последовательности fxnyng, то c=a – частичный предел последовательности fyng.

Итак, частичные пределы последовательности fxnyng являются частичными пределами последовательности fyng, умноженными на a.

Значит, так же связаны и точные верхние грани множеств частичных пределов, т. е. справедливо равенство (2.8.2).

Теорема доказана.

§ 2.9. Критерий Коши

Словом “критерий” обычно называют необходимые и достаточные условия. В этом параграфе будет установлен критерий существования у последовательности конечного предела.

Рассмотрим последовательность fxng, сходящуюся к числу a. Сравним члены последовательности fxng с большими индексами.

В силу сходимости последовательности для каждого " > 0 существует такое N, что при всех n > N справедливо неравенство jxn aj < "=2. Поэтому, если n > N и m > N, то

Определение. Говорят, что последовательность fxng удовлетворяет условию Коши (является фундаментальной, является последовательностью Коши), если для каждого " > 0 существует такое N = N("), что при всех n и m, превосходящих N, справедливо неравенство

jxn xmj < ":

Таким образом, мы доказали, что условие Коши является необходимым для сходимости последовательности к конечному пределу. Покажем, что это условие является также и достаточным.

Теорема 2.9.1 (Критерий Коши). Условие Коши необходимо и достаточно для сходимости последовательности к конечному пределу.

Доказательство. Сначала установим, что последовательности fxng, удовлетворяющие условию Коши, ограничены.

Для " = 1 найдём натуральное N такое, что при всех n; m > N справедлива оценка jxn xmj < 1. Положив m = N + 1, имеем

Ограниченная последовательность fxng согласно теореме Больцано–Вейерштрасса имеет конечный частичный предел. Обозначим его a и покажем, что a является пределом всей последовательности fxng.

Пусть fxnk g – подпоследовательность, для которой limk xnk = a. Зададим произвольное " > 0 и найдём N1 такое, что jxn xmj < "=2 для всех n; m > N1, и N2 такое, что ja xnk j < "=2 для всех nk > N2. Оценим разность xn a при n > N := max(N1; N2).

Если nk > N, то при всех n > N имеем

jxn aj 6 jxn xnk j + jxnk aj < "=2 + "=2 = ":

Таким образом, последовательность fxng сходится к a. Теорема доказана.

Приведём примеры на применение критерия Коши. Но сначала введём следующее обозначение.

Сумму n слагаемых a1 +a2 + +an коротко записывают так:

n

X

ak: (2.9.1)

k=1

Это общепринятое удобное обозначение было предложено Ж. Фурье. Читают символ (2.9.1) “сумма ak по k от 1 до n”.

Не имеет значения, как обозначен “индекс суммирования”: в (2.9.1) он обозначен k, но можно писать

обозначают сумму am + am+1 + + an. В частности, при m = n такая сумма равна an. Если m > n, то считают, что

n

X

ak = 0;

k=m

т. е. что в этом случае сумма не имеет ни одного слагаемого.

Пример 1. Докажем расходимость последовательности

n

X k1 ; n = 1; 2; : : : :

k=1

Чтобы воспользоваться критерием Коши, оценим сумму

Значит, какое бы положительное N мы ни взяли, для каждого n > N получим

2n

X k1 > 12:

k=n

Таким образом, последовательность (2.9.2) расходится. Поскольку эта последовательность возрастающая, то

n

lim X 1 = +1:

n!1 k k=1

Пример 2. Докажем сходимость последовательности

k=1

Оценим при n > m > 1 сумму

n

X 1

k2 : (2.9.3)

k=m

Поэтому, выбрав для произвольного " > 0 натуральное число N так, чтобы выполнялось неравенство 1=N < ", получим, что при всех n > m > N

n

X 1 1 1

k2 < m 1 6 N < ":

k=m

Значит, последовательность (2.9.2) сходится.

На этом примере хорошо видно, что для доказательства сходимости последовательностей удобнее пользоваться критерием Коши, чем определением предела. Дело в том, что предел последовательности (2.9.2), как мы увидим в главе 19, равен 2=6. Трудно догадаться, что это так, но даже если заранее это знать, установить сходимость к нулю разности

намного труднее, чем оценить сумму (2.9.3).