§ 4.6. Показательная функция

По определению a1 := a и при натуральных n > 2

an := a a a :

| {z }

n

Пусть теперь число x имеет вид 1=n, где n 2 N.

Рассмотрим при фиксированном натуральном n функцию u = vn, когда v 2 [0; +1). Эта функция строго возрастает и

непрерывна, область её значений [0; +1). Значит, согласно тео- p

ремам предыдущего параграфа обратная функция v = n u = u1=n непрерывна на полуоси [0; +1).

В школьном курсе существование арифметического корня n- ой степени из положительного числа считалось само собой разумеющимся. Сейчас это доказано.

Так степень ax определена для чисел x вида 1=n. Если x = p=q, где p и q – натуральные числа, то по определению полагают

ap=q := (ap)1=q:

Здесь можно было взять и (a1=q)p, но равенство (ap)1=q = (a1=q)p нуждается в обосновании.

По определению, если x = 0, то a0 := 1, а если x = p=q, где p и q – натуральные числа, то a p=q := 1=ap=q.

Таким образом, степень ax определена при всех рациональных x. При этом имеют место следующие свойства (буквы r обозначают произвольные рациональные числа):

ar > 0;

ar1+r2 = ar1 ar2 ;

(ar1 )r2 = ar1 r2 ;

(ab)r = ar br; a > 0; b > 0;

если a > 1, то на множестве рациональных чисел ar строго возрастает, т. е. ar1 < ar2 , если r1 < r2, (в частности, ar > 1 при a > 1 и r > 0) и limr!+1 ar = +1, limr! 1 ar = 0;

если a < 1, то ar строго убывает на множестве рациональных чисел.

Мы не приводим обоснование этих свойств, так как оно аккуратно проведено в школьном курсе, где не было доказано только существование арифметического корня n-й степени из положительного числа.

Нам понадобится ещё следующее утверждение о степенях с рациональными показателями.

Лемма 4.6.1 (Неравенство Я. Бернулли). Если a > 1 и h 2

(0; 1] – рациональное число, то

Доказательство. Так как a > 1, левое неравенство (4.6.1) очевидно. Докажем правое. Пусть сначала h = 1=n, где n – натуральное число. Тогда a1=n = 1 + , где > 0 в силу строгого возрастания ar на множестве рациональных чисел. Поэтому согласно неравенству Бернулли (2.6.1)

a = (1 + )n > 1 + n:

Поскольку = a1=n 1, отсюда следует, что

Таким образом, при h = 1=n получено неравенство (4.6.1) даже без множителя 2 в правой части.

Пусть теперь h – произвольное рациональное число из (0; 1). Возьмём натуральное n такое, что 1=(n+1) < h 6 1=n. С помощью неравенства (4.6.2) находим

ah 1 6 a1=n 1 6 a n 1 = n +n 1 na + 11 < n +n 1(a 1)h 6 2(a 1)h:

Лемма доказана.

Будем по-прежнему считать a > 1. Для рациональных x в силу возрастания функции ar, r 2 Q, имеем

Примем формулу (4.6.3) в качестве определения ax для иррациональных x при a > 1. Теперь степень ax при a > 1 определена для всех действительных значений x.

Функция y = ax, x 2 R, называется показательной. Установим свойства показательной функции при a > 1, в частности, докажем её непрерывность.

ax1 < ax2 .

Для доказательства берём рациональные числа и такие, что x1 < < < x2. В силу возрастания функции ax для рациональных показателей получаем

Теперь, чтобы доказать непрерывность ax в точке x0, полагаем для " > 0

"

:= 4ax0 (a 1):

Тогда при jx x0j < согласно (4.6.4) имеем

jax ax0 j < 4amin(x;x0)(a 1)jx x0j <

< 4amin(x;x0)(a 1) " 6 ":

4ax0 (a 1)

Это доказывает непрерывность функции ax в точке x0.

50: Основное свойство степени: ax+y = ax ay для любых чисел x и y.

Выберем последовательности рациональных чисел f ng и f ng, для которых n ! x и n ! y при n ! 1. Тогда n + n ! x + y и в силу основного свойства степени для рациональных показателей

a n+ n = a n a n :

Пользуясь непрерывностью показательной функции, переходим в этом равенстве к пределу при n ! 1 и получаем нужное утверждение.

Прежде чем говорить о других свойствах показательной функции при a > 1, определим её при a < 1.

Если 0 < a < 1, то 1=a > 1 и положим

Тогда свойства 10 50 показательной функции при a > 1 переносятся на случай 0 < a < 1, но теперь функция ax строго убывает.

Продолжим изучение свойств показательной функции ax. Теперь основание степени a – любое положительное число.

60: Для произвольных чисел x и y справедливо равенство

(ax)y = axy:

Для рациональных и равенство (a ) = a известно. Пусть последовательность рациональных чисел f ng сходится к y. Перейдём в равенстве (a ) n = a n к пределу при n ! 1.

Тогда получим

(a )y = a y

для произвольного числа y и любого рационального .

Возьмём теперь последовательность рациональных чисел f ng, сходящуюся к x. Тогда (a n )y = a n y. Пользуясь непрерывностью показательной функции и теоремой 4.1.1 о непрерывности сложной функции, переходим в этом равенстве к пределу при n ! 1 и получаем свойство 60 в полном объеме.

70: (ab)x = ax bx для произвольных положительных a и b и любого x.

Для доказательства берём последовательность рациональных чисел f ng, сходящуюся к x, и переходим к пределу в равенстве

(ab) n = a n b n .

Таким образом, степень ax, a > 0, определена при всех x 2 R и показательная функция ax обладает всеми свойствами, известными из школьного курса для рациональных x. Кроме того, показательная функция непрерывна на всей оси.

На рисунке изображены графики функции ax при a > 1, a < 1, а также при a = 1.