Математический институт им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
Лекционные курсы НОЦ
Выпуск 11
Издание выходит с 2006 года
С. А. Теляковский
Курс лекций по математическому анализу
Семестр I
Издание 2-е, доработанное
Москва
2009
УДК 517 ББК (В)22.16
Л43
Редакционный совет:
С. И. Адян, Д. В. Аносов, О. В. Бесов, И. В. Волович,
А. М. Зубков, А. Д. Изаак (ответственный секретарь),
В. В. Козлов, С. П. Новиков,
В. П. Павлов (заместитель главного редактора),
А. Н. Паршин, Ю. В. Прохоров, А. Г. Сергеев, А. А. Славнов, Д. В. Трещев (главный редактор), Е. М. Чирка
Л43 Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009. Вып. 11: Курс лекций по математическому анализу. Семестр I / Теляковский С. А. – 212 с.
ISBN 5-98419-030-3
Серия “Лекционные курсы НОЦ” – рецензируемое продолжающееся издание Математического института им. В. А. Стеклова РАН. В серии “Лекционные курсы НОЦ” публикуются материалы специальных курсов, прочитанных в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук в рамках программы Научно-образовательный центр МИАН.
Настоящая брошюра содержит “Курс лекций по математическому анализу” С. А. Теляковского, читавшийся студентам первого курса механико-математического факультета МГУ в 1996–2006 годах.
ISBN 5-98419-030-3 |
c |
Математический институт |
|
|
им. В. А. Стеклова РАН, 2009 |
|
c |
|
Теляковский С. А., 2009 |
Оглавление |
|
Введение |
5 |
Глава 1. Действительные числа |
7 |
§ 1.1. Бесконечные десятичные дроби . . . . . . . . . . . |
7 |
§ 1.2. Сравнение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
§ 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани числового |
|
множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
§ 1.4. Сложение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
§ 1.5. Умножение чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
§ 1.6. Непрерывность множества действительных чисел . |
34 |
§ 1.7. Последовательности вложенных отрезков . . . . . |
35 |
§ 1.8. Дедекиндовы сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . |
39 |
§ 1.9. Об аксиоматическом определении действительных |
|
чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
§ 1.10. Счётные и несчётные множества . . . . . . . . . . |
42 |
Глава 2. Предел последовательности |
50 |
§ 2.1. Определение предела последовательности . . . . . |
50 |
§ 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами . . |
52 |
§ 2.3. Арифметические свойства пределов . . . . . . . . . |
54 |
§ 2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие последова- |
|
тельности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
56 |
§ 2.5. Предел монотонной последовательности . . . . . . |
58 |
§ 2.6. Число e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
61 |
§ 2.7. Частичные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
62 |
§ 2.8. Верхний и нижний пределы последовательности . |
65 |
§ 2.9. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
68 |
Глава 3. Предел функции |
72 |
§ 3.1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
§ 3.2. Определение предела функции . . . . . . . . . . . . |
74 |
§ 3.3. Свойства предела функции . . . . . . . . . . . . . . |
78 |
§ 3.4. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
82 |
§ 3.5. Предел сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
§ 3.6. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . |
84 |
§ 3.7. Сравнение функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
86 |
3
4 |
Оглавление |
|
Глава 4. Непрерывные функции |
90 |
|
|
§ 4.1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . |
90 |
|
§ 4.2. Классификация точек разрыва . . . . . . . . . . . . |
92 |
|
§ 4.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . |
94 |
|
§ 4.4. Равномерная непрерывность функций . . . . . . . |
98 |
|
§ 4.5. Непрерывность обратной функции . . . . . . . . . |
101 |
|
§ 4.6. Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . |
104 |
|
§ 4.7. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . |
109 |
|
§ 4.8. Примеры вычисления пределов . . . . . . . . . . . |
114 |
Глава 5. Производные и дифференциалы |
118 |
|
|
§ 5.1. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
118 |
|
§ 5.2. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . |
125 |
|
§ 5.3. Производная обратной функции . . . . . . . . . . . |
130 |
|
§ 5.4. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . |
133 |
|
§ 5.5. Производные и дифференциалы высших порядков |
137 |
Глава 6. Свойства дифференцируемых функций |
145 |
|
|
§ 6.1. Локальные экстремумы функции . . . . . . . . . . |
145 |
|
§ 6.2. Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
148 |
|
§ 6.3. Раскрытие неопределённостей . . . . . . . . . . . . |
156 |
|
§ 6.4. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
163 |
|
§ 6.5. Формула Тейлора для элементарных функций . . . |
170 |
|
§ 6.6. Исследование функций с помощью старших произ- |
|
|
водных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
177 |
|
§ 6.7. Функции, выпуклые на промежутке . . . . . . . . . |
181 |
|
§ 6.8. Некоторые классические неравенства . . . . . . . . |
188 |
Глава 7. Кривые в трёхмерном пространстве |
196 |
|
|
§ 7.1. Векторнозначные функции . . . . . . . . . . . . . . |
196 |
|
§ 7.2. Определение кривой. Длина кривой . . . . . . . . . |
200 |
|
§ 7.3. Гладкие кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
203 |
Краткие сведения об ученых, упоминаемых в тексте |
209 |
|
Введение
Более 15 лет автор читал лекции по математическому анализу в МФТИ. Тогда при разработке курса за основу был взят учебник С. М. Никольского “Курс математического анализа”. Разумеется, использовались и другие источники. В первую очередь “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Г. М. Фихтенгольца и “Курс математического анализа” Л. Д. Кудрявцева.
В 1996–2006 г.г. автор читал курс математического анализа на механико-математическом факультете МГУ. Значительное по сравнению с курсом на физтехе увеличение числа лекционных часов, изменение программы и её акцентов привели к существенным изменениям содержания курса. Большую помощь при этой переработке оказал Т. П. Лукашенко, ознакомивший автора с записями своих лекций.
Настоящий курс написан на основе лекций, читавшихся автором в МГУ.
Для сокращения записи используются следующие обозначения.
8 – “для каждого”, “для любого”, “для всех” (это перевернутая начальная буква английского All),
9 – “существует”, “найдётся” (это перевернутая начальная буква английского Exist),
: – “такой, что”, “такие, что”, := – “обозначим”.
В математике часто используются термины “достаточное условие”, “необходимое условие”. При этом слова достаточность и необходимость имеют обычный смысл: если из утверждения A следует утверждение B, то условие A называют достаточным, для того чтобы имело место B, а B необходимым для выполнения A.
К сожалению, в разговорной речи, особенно в последнее время, слово достаточно часто употребляется также вместо слова очень. В результате возникают такие нелепые высказывания как: “При аварии пострадало достаточно много людей” или “Фотоаппарат работает достаточно плохо”. Обе эти фразы автор не придумал специально, а действительно слышал их.
Два замечания о содержания курса.
5
6 |
Оглавление |
Впервом семестре рассматриваются только действительные числа. Комплексные числа упоминаются всего один раз, да и то вскользь в седьмой главе. Мы исходим из того, что в университетах комплексные числа вводятся в читаемом одновременно курсе высшей алгебры.
Подробнее, чем обычно в курсах анализа, говорится о выпуклых функциях.
В2002–2004 годы в издательстве Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ вышли выпуски курса, содержащие последовательно материал I, II, III
иIV семестров.
Настоящий выпуск представляет собой второе издание курса лекций I семестра. При подготовке второго издания материал был дополнен и заново отредактирован.
При работе над вторым изданием автор воспользовался большим количеством полезных замечаний и конструктивных предложений по улучшению текста, которые он получил от О. В. Бесова, Л. А. Леонтьевой и Д. С. Теляковского. Автор приносит им свою глубокую благодарность.
Автор считает своим приятным долгом поблагодарить также лиц, высказавших свои замечания по первому изданию или по ходу чтения лекций. Это – Е. А. Волков, В. И. Гаврилов, А. И. Галочкин, Е. П. Долженко, А. В. Домрина, Е. В. Майков, И. Х. Сабитов, А. М. Седлецкий, Т. Х. Яковлева.
Автор глубоко благодарен своим слушателям – студентам, вопросы и замечания которых подсказывали, какие моменты рассуждения следует привести более подробно или уточнить.
Декабрь 2008 г. |
С. А. Теляковский |