Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
Рис. 44. АФЧХ пропорционального звена
A w()
3
2
1
1 0 1 2 3 4
1
w
fw()
1 0 1 2 3 4
Рис. 45. АЧХ и ФЧХ пропорционального звена
10
L w()
fw()
2 1 0 1 2 3
5
5
log w()
Рис. 46. ЛАЧХ и ЛФЧХ пропорционального звена
1
1
2
w
81
Примерами пропорциональных звеньев могут являться без-
=
dt
s
t
К
инерционные датчики, клапаны с линеаризованной характеристикой, безинерционные усилители, механические передачи и др.
На рис. 47 представлен рычаг в котором коэффициент пе-
редачи К определяется соотношением длин плеч ./
Рис. 47. Пример пропорционального звена
LLK
21
9.2. Интегрирующее звено
Интегрирующее звено преобразует сигнал в соответствии с
уравнением
tdy
)()(tKx
= .
Передаточная функция WИ(s) =
Решение исходного уравнения дает
K
.
t
=
dt)t(xK)t(y
ò
0
.
Временные характеристики:
h(t) =
t
ò
dttK0)(1 = Kt; )t(Kdt)t(K)t(w
t
d
ò
10×==
.
Выходная величина идеального интегрирующего звена
пропорциональна интегралу входной величины. При подаче на
вход звена 1(t) и δ(t) выходной сигнал будет изменяться как
(рис. 48):
w(t)
0
t
82
h(t)
tg
α=K
0
Рис. 48. Временные характеристики интегрирующего звена
Комплексная частотная характеристика
K
w
jW -==)( ;
j
Re(W(w)) = 0; Im(W(w)) =
jK
ww
K
- .
w
Амплитудная А(w) и фазоваяj(w) характеристики:
K
)(А 90-==
w
)(,
wj
о
.
w
Частотные характеристики интегрирующего звена пред-
ставлены на рис. 49 – 51.
0.5
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
ImWw()( )
20
10
A w()
0
0 5 10
Рис. 50. АЧХ и ФЧХ интегрирующего звена
0.5
1
1.5
ReWw()( )
Рис. 49. АФЧХ интегрирующего звена
0
fw()
1
p-
2
2
0 5 10
w
w
83
dt
dt
L w()
20
2 1 0 1 2
20
fw()
p-
2
2 1 0 1 2
1
40
log w()
Рис. 51. ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена
2
log w()
Это звено астатическое, т. е. не имеет установившегося ре-
жима.
Простейший пример интегрирующего звена – емкость, в
которую набирается вода. Входное воздействие – это поток воды
через кран, выход звена – уровень воды в емкости. При поступлении воды уровень растет, объект «накапливает» (интегрирует)
входное воздействие.
9.3. Дифференцирующее звено
Уравнение идеального дифференцирующего звена
dx
Kty =)( .
Выходная величина дифференцирующего звена пропор-
циональна производной по времени от входного воздействия.
Передаточная функция
W(s) = K·s.
Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала 1(t) в точке t = 0 – это дельта-функция δ(t). Поэтому переход-
ная и весовая функции дифференцирующего звена будут:
h(t) = kδ (t);
td
Ktw)()(d= .
84
Это физически нереализуемые функции, так как дельта-
w
w
=
w
функцию и ее производную, имеющие бесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное
дифференцирующее звено относится к физически нереализуемым
звеньям.
Временные характеристики идеального дифференцирую-
щего звена для K = 2 представлены на рис. 52.
Комплексная частотная характеристика:
jK)j(W
;
Re(W(w)) = 0; Im(W(w)) =
.
K
Амплитудная А(w) и фазоваяj(w) характеристики:
о
.)(;K)(А
90==
wjww
2
1
1
2
t
ht()
2
1
wt()
1 0 1
1 0 1
1
t
Рис. 52. Временные характеристики идеального
дифференцирующего звена
Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена представлены на рис. 53 – 55.
85
1.5
1
ImWw()( )
2 1 0 1 2
Рис. 53. АФЧХ идеального дифференцирующего звена
20
A w()
0
0 5 10
Рис. 54. АЧХ и ФЧХ идеального дифференцирующего звена
L w()
2 1 0 1 2
w
20
20
0.5
0.5
ReWw()( )
fw()
p
2
2
1
0
0 5 10
w
2
fw()
p
2
1
86
40
log w()
2 1 0 1 2
log w()
Рис. 55. ЛАЧХ и ЛФЧХ идеального дифференцирующего звена
В технике не могут использоваться физически нереализуе-
dt
dt
1+Ts
dt
1+Ts
мые звенья. Поэтому большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным
дифференцирующим звеньям, которые описываются уравнением
tdy
T
)()(=+ .
tdx
)(
Kty
Передаточная функция реального дифференцирующего
звена имеет вид
W(s) =
Ks
.
Фактически это последовательное соединение идеального
дифференцирующего и апериодического звеньев.
Примером реально дифференцирующего звена может слу-
жить механический демпфер.
9.4. Апериодическое звено 1-го порядка
Апериодическое или инерционное звено 1-го порядка преобразует сигнал в соответствии с дифференциальным уравнением
dy
T =+ ,
)t(Kx)t(y
где Т - параметр звена, называемый постоянной времени. Посто-
янная времени - размерная величина, она измеряется в секундах и
характеризует инерционность объекта, то есть скорость его реакции на изменение входного сигнала.
Этому звену соответствуют передаточная функция вида
W(s) =
K
.
Рекуррентное выражение для численного решения исходного уравнения
D
t
æ
y .
ç
è
ö
1
-=
÷
T
ø
D
t
+
y
××
xK
11
--
T
nnn
87
Временные характеристики:
w
1
T
w
+
1
T
w
w
+
( ) ; ( ) a rct .
w= jw=-w
А gT
t
K
1
ì
1
-
L)t(h
=
í
î
K
dh
)t(w
dt
T
ü
×
ý
ssT
1
+×
þ
t
-
T
).t(e
1
×==
-
T
);t()e(K
11
×-=
При подаче на вход апериодического звена 1-го порядка
ступенчатого воздействия выходной сигнал представляет собой
экспоненту. Отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной к
кривой, равен постоянной времени Т. Чем больше постоянная
времени Т, тем дольше переходной процесс, т. е. медленнее уста-
навливается на выходе значение h(t) = K.
Графики изменения выходной величины при подаче на вход
звена с K = 2 и Т = 1 единичной ступенчатой функции и дельта-
функции представлены на рис. 56.
2
ht()
1
wt()
0
0 2 4 6
t
Рис. 56. Временные характеристики апериодического звена
Комплексная частотная характеристика или АФЧХ:
w
= ;
Re(W(w)) =
1
+
=
Tj
w
K
22
K
)j(W
Амплитудная А(w) и фазоваяj(w) характеристики:
K
22
1
+w
T
88
K
w
+
j
-
T
11
; Im(W(w)) =
TK
2222
T
w
+
- .
TK
22
Частотные характеристики апериодического звена для
K = 2, Т=1 представлены на рис. 57 – 59.
0.5
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
ImWw()( )
Рис. 57. АФЧХ апериодического звена 1-го порядка
0.5
1
1.5
ReWw()( )
2
A w()
1
0
0 10 20
w
Рис. 58. АЧХ и ФЧХ апериодического звена 1-го порядка
10
2 0 2
L w()
10
20
30
40
log w()
Рис. 59. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена 1-го порядка
fw()
p-
2
fw()
p-
2
0
1
2
0 10 20
w
2 0 2
1
2
log w()
89
Апериодическое звено инерционное, колебания на выходе
+
=
d
+×=
w
w
+
=
w
звена отстают от колебаний на входе.
Примерами апериодического звена являются: гидравлическая система с дросселем на выходе, электрическая печь, теплообменник и т. д.
9.5. Форсирующее звено
Уравнение форсирующего звена 1-го порядка
tdx
)(
dt
ö
÷
ø
æ
+=
)( .
ç
è
ТtxKy
Такое звено может быть получено в результате параллельного соединения усилительного и идеального дифференцирующего звеньев. Оно характеризуется двумя параметрами: коэффициентом передачи K и постоянной времени Т.
Передаточная функция )1(
TsKW .
Временные характеристики:
1
+=
);t(KT)t(K)t(h
).t('KT)t(K)t(w
dd
Комплексная частотная характеристика или АФЧХ:
)1()(
jTKjW
;
Re(W(w)) = К;
Im(W(w)) =
KT
.
Амплитудная А(w) и фазоваяj(w) характеристики:
22
;1)(
ww
TKА
+=
).(arctg)(
wwj
=
T
Частотные характеристики форсирующего звена для K = 2
и Т=1 представлены на рис. 60 – 62.
Форсирующие звенья обычно искусственно вводят в автоматическую систему и включают последовательно с апериодическими звеньями для компенсации их инерционности и ускорения переходных процессов. Такое ускорение называют
форсированием.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]