Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
отдельных параметров на статические и динамические характе-
M
F
E/E
ристики объекта.
Однако ряд коэффициентов уравнений аналитических моделей может существенно отличаться от истинных в силу недостаточной изученности или сложности их теоретического определения.
Получение математической модели простого объекта
управления - теплообменника аналитическим методом рассмотрено в примере 1.
Пример 1.
Система регулирования температуры в теплообменнике T О
представлена на рис. 23.
F
Ti
ТО
Н
ТY
С
ТС
ТE
ТТ
Рис. 23. Система регулирования температуры в теплообменнике:
ТЕ - датчик температуры; ТТ- преобразователь для дистанцион-
ной передачи сигнала; ТС - регулятор; TY - усилитель сигнала;
М - двигатель мешалки; ТО - теплообменник; Н - нагреватель;
С – смеситель
Жидкость с температурой T вытекает из теплообменника с
некоторой скоростью и замещается жидкостью с температурой Ti,
41
причем Ti,< T. Температура жидкости в ТО повышается с помо-
dt
××=
××=
R
R
dt
-
++=
+
щью электрического нагревателя H. Смеситель С обеспечивает
равномерное распределение температуры по всему объему бака.
В соответствии с законом сохранения энергии, количество
тепла, поступающего в бак с жидкостью, должно равняться количеству тепла, уходящему из бака, плюс количество тепла, накопленного жидкостью в баке:
,qqqqq
solie
где qe- тепловой поток от электрического нагревателя; qi- тепловой поток втекающей жидкости; ql- тепловой поток жидкости в
баке; qo- тепловой поток вытекающей жидкости; qs- тепловой
поток через стенки бака.
Для записи уравнения теплового баланса через расход и
температуры жидкости введем следующие обозначения: V - расход жидкости на входе и на выходе теплообменника; К - удельная теплоемкость жидкости; С - теплоемкость всей жидкости в
теплообменнике; R - сопротивление тепловому потоку через поверхность бака; ТС- температура воздуха снаружи бака. С учетом
этих обозначений тепловые потоки можно описать как
dT
Cql= ;
TKVq
;
ii
TKVq
;
q
oo
s
TT
-
= .
c
Подставляя выражения тепловых потоков в уравнение теплового баланса, получаем конечное уравнение
dT
СTKVq
ie
TKV
TT
c
+××+=××+
.
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, в котором независимыми
входными переменными являются
нагревателя
q - это регулирующее воздействие. Величины T
e
TTq ,, . Выходная величина
сie
и T
i
называются возмущающими воздействиями (это переменные, на
которые мы никак не можем влиять и которые вызывают нежелательную реакцию объекта). Обычно при синтезе системы управления выдвигается требование минимизировать влияние внешних
возмущений.
42
c
Эмпирические модели являются результатом математической обработки экспериментальных данных по идентификации
объекта. Получаемые в процессе идентификации статические и
динамические характеристики реального объекта, являясь внешним проявлением многообразных внутренних процессов, не
вскрывают этой внутренней сущности, а потому являются самыми общими и наименее информативными моделями, хотя и самыми точными. Недостатком таких моделей является также их
высокая стоимость и возможность получения только на действующем оборудовании.
Если возникает необходимость выразить в виде функциональной зависимости связь между входной - х и выходной - у величинами или изменением выходной величины у от времени t,
которые заданы в виде набора точек с координатами (х,у) или
(у,t), можно использовать эмпирический подход, рассматривае-
мый в примере 2.
Пример 2.
Объект управления описывается набором дискретных данных полученных экспериментальным путем, представленных на
рис. 24. Необходимо получить уравнение регрессии, которое с
достаточной степенью точности описывает экспериментальные
точки, т. е. выполнить идентификацию объекта.
Рис. 24. Экспериментальные данные и расчетная кривая
43
Для нахождения такой кривой можно использовать мето-
¶
¶
¶
дом наименьших квадратов (МНК), позволяющий найти зависимость, при которой обращается в минимум выражение:
N
å
1
=
i
э
где
y - экспериментальные значения;
i
2
э
yyS
i
min,)(
®-=
i
y - расчетные значения в
i
точках ti; N- число точек эксперимента.
По виду расположения экспериментальных точек выбирается вид полинома аппроксимации, например, для кривой рис. 24
это будет квадратичная зависимость
2
tCtCCy ++= .
321 iii
Задача заключается в определении коэффициентов С1, С2,
С3, при которых критерий МНК минимален
N
å
=
i
э
i
1
22
®++-=
tCtCCyS
321
ii
.min))((
Известно, что в точке минимума функции её производные
по всем переменным равны нулю:
S
¶
С
S
=
¶
С
S
.0;0;0
=
=
¶
С
321
Продифференцируем критерий S по всем переменным:
ì
¶
S
ï
¶
С
1
ï
ï
¶
S
ï
í
¶
С
2
ï
ï
¶
S
ï
ï
¶
С
3
î
44
N
å
=
i
N
i
N
i
э
i
1
N
э
i
2
i
i
åå
11
==
i
N
э
i
åå
11
==
i
2
;0)(2
=---×-=
tCtCCy
321
ii
2
;
0)(2
=---××-=
tCtCCyt
321
ii
2
.0)(2
=---××-=
tCtCCyt
321
ii
В упрощенном виде получим:
ì
ï
ï
N
ï
ï
í
i
1
ï
N
ï
ï
ï
i
1
î
N
1
i
2
i
i
i
1
N
1
i
1
N
1
i
1
N
2
2
2
i
3
i
i
i
1
N
2
i
1
N
2
i
1
N
э
=×+×+×
3
3
i
3
4
i
;yCtCtCN
i
ååå
===
i
1
N
×=×+×+×
;)ty(CtCtCt
åååå
====
i
1
N
3
åååå
====
i
1
iэi
2
×=×+×+×
.)ty(CtCtCt
iэi
Решив данную систему находим искомые коэффициенты
С1, С2, С
и, подставим их в уравнение регрессии, которое будет
3
описывать экспериментальные точки с определенной точностью.
Полуэмпирические модели базируются на уравнениях аналитической модели, но некоторые её коэффициенты получают из
эксперимента, проводимого на реальном объекте. Такие модели
более точны, но их получение сопряжено с дополнительными материальными затратами.
Оценка адекватности модели
Для определения степени соответствия (совпадения)
свойств полученной математической модели реальному объекту
используется понятие адекватности. Адекватность модели в какой-то мере условное понятие, т. к. полного соответствия модели
реальному объекту быть не может, иначе это была бы не модель,
а сам объект.
Проверка соответствия модели реальной системе осуществляется по оценке адекватности модели. Оценка адекватности
модели реальному объекту рассчитывается по экспериментальным данным и результатам модельных расчетов.
Существует два основных подхода к оценке адекватности.
1. По средним значениям откликов модели и системы. Дан-
ный подход позволяет проверить значимость (качество) уравнения регрессии, определяющего модельную зависимость между
расчетными и экспериментальным данным. Проверка адекватности уравнения регрессии (модели) осуществляется с помощью
45
средней ошибки аппроксимацииe, величина которой не должна
превышать 12-15 % (максимально допустимое значение), т. е.
проверяется гипотеза о близости значений каждой i-й компоненты откликов модели yi известным значениям i-й компоненты от-
кликов реальной системы (объекта)
1
=
e
å
n
i
э
y по формуле
i
n
-
yy
y
i
=
1
э
ii
×
100
,
где n - количество точек (выборка).
2. По дисперсиям отклонений откликов модели от среднего
значения откликов систем. Сравнение дисперсии проводят с помощью критерия F (критерия Фишера), критерия согласия (соот-
ветствия) -
2
c
(используется при больших выборках, n>100), t-
критерия Стьюдента (n<30), критерия Колмогорова - Смирнова,
Кохрена и др.
8.2. Основные способы математического описания
систем автоматического управления
Работу системы автоматического управления можно описать словесно. Словесное описание помогает понять принцип
действия системы, ее назначение, особенности функционирования и т. д. Однако, что самое главное, оно не дает количественных оценок качества регулирования, поэтому не пригодно для
изучения характеристик систем и построения систем автоматизированного управления. Поэтому в ТАУ используются более точные
математические методы описания свойств систем, применяющие:
- статические характеристики;
- динамические характеристики;
- частотные характеристики;
- дифференциальные уравнения;
- передаточные функции.
46
8.2.1. Статические характеристики
=
&&&
&
=
&&&
&
Системы автоматического управления являются динамическими системами, поэтому их качество оценивается по поведению в двух режимах работы: установившемся и неустановившемся (переходном).
Установившийся режим - это режим, при котором расхож-
дение между истинным значением регулируемой величины и ее
заданным значением будет постоянным во времени.
При поступлении на вход системы нового задания она
должна обеспечить с заданной степенью точности новое значение
регулируемой величины в установившемся режиме.
Частным случаем установившегося режима является статический режим. Под статическим режимом системы (зависи-
мость выходной величины от возмущающих и управляющих воздействий) понимается такой режим, при котором все координаты,
определяющие ее состояние, являются постоянными. Отсюда
следует, что в статическом режиме производные по времени по
всем координатам равны нулю.
Уравнение статического режима получается из соответствующего дифференциального уравнения при приравнивании к
нулю всех производных.
В качестве примера рассмотрим СУ, которая описывается
уравнением динамики
0),,,,,(
fxxyyyF
,
где у - выходная переменная; x и f - входные переменные; точки
над переменными обозначают дифференцирование по времени.
Пусть при постоянных входных воздействиях x = x0и f = f
процесс в СУ установится: выходная переменная со временем
принимает постоянное значение у = у°. Тогда производные обращаются в нуль и уравнение 0),,,,,(
fxxyyyF
принимает вид
ooo
0000 =),f,,x,,F(y
.
Данное уравнение описывает статический режим, т. е. про-
цесс в системе при постоянных входных воздействиях, и называется уравнением статики.
0
47
В статическом режиме система управления или её элемен-
у
х
ты описываются статическими характеристиками.
Статической характеристикой элемента (системы) называется зависимость установившихся значений выходной величины (y
величина постоянна во времени y
) от значения величины на входе системы, т. е. выходная
yст
= f(х).
уст
Статическую характеристику (рис. 25) часто изображают
графически в виде кривой - у
уст
Рис. 25. Пример статической характеристики
уст
(х).
Основной задачей управления объектом в статическом режиме является уменьшение или устранение статического отклонения выходной величины от задания, т. е. уменьшение погрешности управления.
В зависимости от вида статических характеристик, описывающих элементы систем управления, выделяют элементы статические и астатические.
Статическим называется элемент, у которого при постоян-
ном входном воздействии с течением времени устанавливается
постоянная выходная величина. Например, при подаче на вход
нагревателя различных значений напряжения он будет нагреваться до соответствующих этим напряжениям значений температуры.
Астатическим называется элемент, у которого при посто-
янном входном воздействии сигнал на выходе непрерывно растет
с постоянной скоростью, ускорением и т. д. (например, обороты
вала электродвигателя).
48
8.2.2. Динамические характеристики
Поведение САУ в реальных условиях представляет собой
сочетание переходного и установившегося режимов. Наиболее
значимым режимом работы объектов, а, следовательно, и систем
управления является динамический режим. В реальном технологическом процессе всегда имеет место наложение детерминированных и случайных составляющих на его координаты или параметры. Так, в процессе обработки происходят изменения характеристик сырья во времени, изменяется тепловой фон окружающей среды, происходят изменения напряжения питания в сети,
давления пара в магистрали при подключениях и отключениях
потребителей и т. д. Поэтому основное внимание при синтезе
систем управления уделяется их работе именно в динамических
режимах.
При изменении на входе системы регулирования задания
система должна перейти от одного установившегося режима к
другому. Такой переход называется переходным процессом.
Переходный процесс характеризует динамические свойства
системы, ее поведение. Он может изображаться графически, в
виде кривой y(t). Например, процесс нагрева сушильного шкафа
до установившегося значения может иметь вид, представленный
на рис. 26.
у,°С
у
уст
0
Рис. 26. Пример переходного процесса
t
49
!
n
Типовые виды входных воздействий
××=
2
Входные воздействия, приложенные к САР, представляют
собой непрерывные функции времени с различными законами
изменения. Воздействие может иметь различную физическую
природу ( электрическую, пневматическую, звуковую, световую и
т. д.), но его математическое описание может быть одинаковым.
Для анализа динамических и статических свойств САУ часто используют типовые входные воздействия, которые представляют
собой либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные
законы изменения управляющих и возмущающих воздействий.
Например, довольно широко в качестве описания входно-
го воздействия используют функцию полиномиального вида
f
n
n
)( t
tf ×=
),(1
t
где n= 0,1,2 …- натуральные числа;
f - постоянные величины; t
n
- время.
При n=1 получается линейное воздействие (воздействие с
постоянной скоростью)
1
).t(tf)t(f 1
При n=2 из выражения получается воздействие с постоян-
ным ускорением
f
2
1
)t(f 1
××=
).t(t
Графическое представление воздействий для n=1,2 пред-
ставлено на рис. 27.
Рис. 27. Типовые полиномиальные воздействия
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]