Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
Характеристическое уравнение разомкнутой системы
(
)
116100
+
+
w
w
(10s2 + 6s + 1)s = 0.
Корни характеристического уравнения:
s1= - 0,3 + 0,1j , s2= - 0,3 - 0,1j, s3=0.
Два корня характеристического уравнения левые и один -
нулевой, правых корней нет.
Запишем комплексную частотную характеристику
32
60
601261
ww
-+-
24
w
.
116100
www
++
2
.
24
1)(6
w
+
)(
w
=
jW
рс
Выделим действительную и мнимую части:
ReW(jw) =-
( )
Построим АФЧХ разомкнутой системы, изменяяwот 0 до
100 , и дополним дугой окружности радиусом 1,5, проходящей по
часовой стрелке одну четверть и до пересечения с годографом
АФЧХ.
j
2
w
ww
jj
2
126
+
24
www
116100
++
w
j
1)(6)(10
++
; ImW (jw) =
j
=×
( )
-
Рис. 102. АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой
Как видно из рис. 102, заштрихованная область не накрыва-
ет точку (-1,j0) и замкнутая система будет устойчивой.
151
Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не АФЧХ, а логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.
Если АФЧХ охватывает точку (-1, j0), то она пересекает отрезок (-∞,-1) вещественной оси. Точку пересечения АФЧХ с указанным отрезком называют положительным переходом, если пересечение происходит при возрастании частоты сверху вниз
(т. е. в положительном направлении), и отрицательным перехо-
дом, если пересечение происходит снизу вверх (рис. 103, а). Если
АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке (-∞, - 1), то говорят о 1/2-переходе.
Рис. 103. Положительные и отрицательные переходы:
а - АФЧХ, б - ЛАЧХ и ЛФЧХ
Определение критерия Найквиста для ЛЧХ. Для того что-
бы замкнутая система управления была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами была равна m/2 (m - число правых корней
характеристического уравнения разомкнутой системы).
При пересечении АФЧХ отрезка (-∞, - 1) (рис. 103, б) амплитудная частотная функция А(ω) > 1 и соответственно, L(ω) > 0,
фазовая частотная функция φ(ω) = ±(2k + 1)π (k = 0,1, 2...). По-
этому на логарифмических частотных характеристиках (ЛЧХ)
положительным переходам соответствуют точки пересечения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) прямой φ(ω) = ±(2k + 1)π (k = 0,1, 2...) снизу вверх (в сторону воз-
растания φ(ω)), отрицательным переходам - сверху вниз при час-
152
тотах, когда L(ω) > 0 (рис. 103, б). Поэтому на основании критерия Найквиста получаем следующий критерий устойчивости.
Логарифмический частотный критерий устойчивости.
Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы разность между положительными и отрицательными переходами ЛФЧХ прямой φ(ω) =±(2k + 1)π (k = 0,1,
2... ) при частотах, когда L(ω) > 0 (логарифмическая амплитудная
частотная характеристика положительна), была равна
m/2 (m - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).
Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая будет устойчивой, когда ЛФЧХ на частоте перехода ЛАЧХ в отрицательную область (на частоте среза ЛАЧХ) будет больше – π.
14.2. Определение области устойчивости
Структура системы определяется составом элементов
звеньев и связями между ними. Поэтому изменить структуру системы - это значит изменить состав ее элементов или связи между
ними.
При заданной структуре какие-либо параметры могут быть
нефиксированными, т. е. их можно изменять. Такие параметры
называют варьируемыми. При наличии варьируемых параметров
возникает проблема определения области устойчивости.
Областью устойчивости в пространстве параметров называют множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.
Если существует область устойчивости в пространстве параметров, т. е. существуют такие значения варьируемых параметров, при которых система устойчива, то она называется структурно устойчивой или структурно устойчивой относительно заданных варьируемых параметров. В противном случае, т.е. если
нет таких значений варьируемых параметров, при которых система устойчива, она называется структурно неустойчивой или
структурно неустойчивой относительно заданных варьируемых
параметров.
153
Область устойчивости можно определить с помощью алгебраических критериев устойчивости. Разработан специальный
метод определения области устойчивости, названный методом
D-разбиения.
Метод D-разбиения
Если имеются варьируемые параметры, то корни характеристического уравнения зависят от этих параметров, и пространство параметров можно разбить на области, которым соответствует фиксированное количество левых корней. Область, которой
соответствует k левых корней характеристического уравнения,
обозначим D(k). В общем случае все пространство параметров
можно разбить на области D(0), D(1), … D(n). Область D(n) явля-
ется областью устойчивости, так как при значениях параметров
из этой области п корней (т. е. все корни) являются левыми.
В частном случае какие-либо области могут отсутствовать.
Если система структурно неустойчива, то будет отсутствовать
область устойчивости D(n).
Разбиение пространства параметров на все возможные области D(k) называется D-разбиением.
Кривая, разделяющая области D(k) с различными индексами k, называется кривой D-разбиения. Так как во время движения
в пространстве параметров при пересечении кривой D-разбиения
происходит переход из области D(k') с числом левых корней
к = к' в область D(к") с числом левых корней к = к", то часть ле-
вых корней становятся правыми (к' > к") или часть правых кор-
ней становятся левыми (к' < к"). Но так как переход корней на
комплексной плоскости из одной полуплоскости в другую происходит только через мнимую ось (включающую и бесконечно удаленную точку), то уравнение кривой D-разбиения получается из
характеристического уравнения Q(s) = 0 при подстановке в него
s = jω
Q(jω) = 0.
Применение метода D-разбиения (Ю.И. Неймарк совет-
ский и российский математик, 1948) включает следующие три
операции:
154
1) D-разбиение пространства параметров;
mmm
¢+=
2) определение среди областей D(k) области, имеющей
наибольший индекс. Эта область называется областью - претендентом, так как только эта область может быть областью устойчивости;
3) проверка, является ли область-претендент областью устойчивости. Для этого фиксируется какая-либо точка внутри области-претендента и при значении варьируемых параметров, соответствующих фиксированной точке, проверяется устойчивость
системы. Если система устойчива, область-претендент является
областью устойчивости.
Если заранее известно, что система структурно устойчива,
то указанную проверку устойчивости можно не выполнять.
Порядок D-разбиения и выделения области-претендента зависит от числа варьируемых параметров. Поэтому возможны
случаи одного и двух варьируемых параметров, которые рассматриваются ниже.
Выделение области устойчивости на плоскости
одного параметра
Параметры системы могут принимать только действительные значения, и пространство параметров в случае одного варьируемого параметра представляет собой прямую, а область устойчивости - интервал. Однако при выделении интервала устойчивости методом D-разбиения, предполагая, что параметр принимает
комплексные значения, сначала находят область устойчивости
на комплексной плоскости. Затем, выделяя вещественную часть,
находят интервал устойчивости.
Пусть варьируемый параметр μ входит линейно в характеристическое уравнение
N(s) + μR(s) = 0,
где N(s), R(s) - полиномы от s; μ - вещественный параметр.
Для получения уравнения кривой D-разбиения сделаем
подстановку s = jω в характеристическое уравнение и разрешим
его относительно параметра μ, обозначив его комплексный ана-
лог через
j ,
155
)(
w
wmw
m
=¢=
m
jN
)(
w
jR
+== или ),(),(
),()(
ww
jvu
vu
Здесь u(ω) является четной, a v(ω) нечетной функцией от ω.
Поэтому для построения кривой D-разбиения вместо изменения
ω от -∞ до +∞, достаточно построить кривую D-разбиения при
изменении ω от 0 до ∞, а затем для получения участка кривой,
соответствующего отрицательным ω, зеркально отобразить ее относительно вещественной оси.
Для выделения области-претендента кривую D-разбиения
штрихуют слева при движении по ней в сторону возрастания ω
(рис. 104).
Рис. 104. Выделение области устойчивости на плоскости
одного параметра
При пересечении кривой со штрихованной стороны на не
штрихованную один левый корень становится правым, а при пересечении с обратной стороны один правый корень становится
левым. Поэтому если, например, область 1 (рис. 104) принять за
область D(r), то область 2 будет областью D(r + 1) и область 3 -
областью D(r - 1). Следовательно, областью-претендентом на ус-
тойчивость будет область 2.
Практическое применение метода для нахождения области
устойчивости показано в примере 15.
156
Пример 15.
mmm
¢+=
m
m
¢
m
¢
Определить область устойчивости для системы с характеристическим уравнением
m
.0123=++×+ sss
Сделаем постановку s = jω и, разрешив уравнение относительно комплексного параметра
m
= .
w
1
,
2
j , получим:
¢
wm
+-=
1
w
Произведем расчеты при характерных значениях ω
(табл. 8). На основе этих данных построим D-кривую, нанесем на
нее штриховку и произведем индексацию областей (рис. 105).
Областью-претендентом является область D(r + 2).
Таблица 8
ω 0 0<ω<1 1 1<ω<∞ ∞
∞ >0 1 >0 0
∞ >0 0 <0 -∞
Рис. 105. Определение области устойчивости
Система приm = 2 и
= 0 (точка внутри этой области) ус-
тойчива. Следовательно, область D(r + 2) является областью ус-
тойчивости на комплексной плоскости, и множеством значений
параметраm, при котором система устойчива, является полуин-
тервалm> 1.
157
Выделение области устойчивости на плоскости двух
параметров
Пусть характеристическое уравнение имеет вид
μQ(s) + ηR(s) +N(s) = 0,
где Q(s), R(s), N(s) - полиномы от s ; η, μ - вещественные парамет-
ры. Подставим s = jω и обозначив через Q1(ω), R1(ω) и N1(ω) ве-
щественные части полиномов, а через Q2(ω), R2(ω) и N2(ω) мни-
мые части, получим:
μ[Q1(ω)+ jQ2(ω)] + η[R1(ω)+ jR2(ω)] +[N1(ω)+ jN2(ω)] = 0.
Приравняем отдельно вещественную и мнимую части нулю:
μQ1(ω)+ ηR1(ω) +N1(ω) = 0,
μQ2(ω) + η R2(ω) + N2(ω) = 0.
Запишем решение этой системы
D
=
D
D
21
,,
=
hm
D
где
)()(
ww
-
D
=
1
-
RN
11
)()(
ww
RN
22
+-=
),()()()(
wwww
RNRN
1221
)()(
ww
RQ
D
D
=
2
11
)()(
ww
RQ
22
)()(
ww
NQ
-
11
)()(
ww
NQ
-
22
-==
+-=
),()()()(
wwww
RQRQ
1221
).()()()(
wwww
NQNQ
1221
Части Q1(ω), R1(ω) и N1(ω) являются четными функциями, а
Q2(ω), R2(ω) и N2(ω) - нечетными функциями, поэтому Δ, Δ1, Δ
тоже являются нечетными функциями.
Функции μ, η как отношения нечетных функций будут четными функциями. Поэтому кривую D-разбиения, построенную с
158
2
помощью этих функций, надо обходить дважды: при изменении
ω от -∞ до 0 в одном направлении и при изменении ω от 0 до ∞ в
обратном направлении.
При построении кривой D-разбиения возможны три случая:
1) Δ ≠ 0. В этом случае каждому значению ω соответствует
по одному значению μ, η и, изменяя ω, можно по точкам построить кривую D-разбиения;
2) Δ = 0, Δ1 ≠ 0, Δ2 ≠ 0. Частоте, удовлетворяющей этому
условию, не соответствуют никакие значения параметров, и такую частоту можно не рассматривать;
3) Δ = Δ1 = Δ2 = 0. В этом случае уравнения определяют
прямую, которая называется особой.
Если коэффициент при старшей степени и свободный член
характеристического уравнения зависят от параметров, то, приравняв их нулю, получим особые прямые, отвечающие ω=∞ и
ω=0 соответственно.
Штриховка на кривую D-разбиения наносится следующим
образом. При движении в сторону возрастания ω штриховка наносится слева при Δ > 0 и справа при Δ < 0. И так как кривую
D-разбиения надо проходить дважды при изменении ω от -∞ до ∞
(в одном направлении при отрицательных ω и в обратном направлении при положительных ω), а знак функции Δ в силу ее
нечетности при изменении направления движения меняется, на
нее наносится двойная штриховка. На особые прямые, соответствующие ω = ± ∞ и ω = 0, наносится одинарная штриховка. На
прямые, соответствующие ненулевой конечной частоте ω
(0 < ωк < ∞), при переходе через которую знак Δ меняется, наносится двойная штриховка. Штриховки на особые прямые наносятся так, чтобы вблизи точки сопряжения особой прямой и кривой (там, где Δ меняет знак) штрихованные стороны были направлены друг к другу (рис. 106, а-в).
Особые прямые, соответствующие конечной частоте, при
переходе которой определитель Δ не меняет знака, не штрихуются (рис. 106, г). Такие особые прямые можно исключить из рассмотрения.
При переходе через границу с двумя штриховками два левых корня становятся правыми, если переход осуществляется
против штриховки, и два правых корня становятся левыми, если
переход осуществляется в сторону штриховки.
159
к
Рис. 106. Штриховка особых прямых: а - ω = 0; б - ω = ± ∞; в - ω = ωк;
г - ω = ω
к
Практическое использование метода для выделения области устойчивости системы по двум параметрам показано в
примере 16.
Пример 16.
Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид
234
.ssss 0
=+×+++
hm
Необходимо определить область устойчивости на плоскости параметров μ и η.
Сделаем постановку s = jω в исходном уравнении
234
.jj 0
=+×+--
hwmwww
Приравняв вещественную и мнимую части нулю, запишем
систему уравнений:
324
.00,00
=-×+×=-++×
whmwwwhm
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]