Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
1.5
1
ImWw()( )
0.5
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.5
ReWw()( )
Рис. 60. АФЧХ форсирующего звена 1-го порядка
60
40
A w()
20
0 10 20
w
2
fw()
1
p
2
0 10 20
Рис. 61. АЧХ и ФЧХ форсирующего звена 1-го порядка
40
30
fw()
w
2
1.5
L w()
2 1 0 1 2
20
10
log w()
p
2
0.5
2 1 0 1 2
Рис.62. ЛАЧХ и ЛФЧХ форсирующего звена 1-го порядка
1
log w()
91
На практике могут быть созданы реальные форсирующие
+
dt
2
T
звенья с передаточной функцией
KW .
1
+
sT
2
1
sT
1
=
9.6. Звено второго порядка
Общее уравнение звена
2
2
T =++
2
dy
yd
T
1
2
dt
).t(Kx)t(y
Передаточная функция имеет вид
)s(W .
K
22
2
1
++=sTsT
1
Чаще используют следующее выражение для передаточной
функции
)s(W
K
,
1222++=TssT
x
где K – коэффициент усиления; T – постоянная времени (в секун-
дах), отражающая инерционность звена: чем она больше, тем
медленнее изменяется выход при изменении входа; ξ – коэффициент демпфирования, определяющий характер переходных процессов и скорость затухания колебаний для колебательных процессов. Как известно, характер переходных процессов определяется корнями характеристического уравнения объекта. Для звена
второго порядка характеристическим уравнением будет уравнение, полученное приравниванием к нулю знаменателя его передаточной функции, т. е.
Корни уравнения равны
92
22
x
s
=
21
,
.
012
=++ TssT
222
442
TTT
-±-
xx
2
T
2
=
)(h
[
]
1
-±-
или
s
=
,
21
xx
.
Как видно, в зависимости от величины ξ изменяется тип
корней, соответственно меняется характер переходного процесса
и меняется название звена.
1. Приx >1 оба корня будут действительными, отрицатель-
ными и различными. Переходная и весовая функции равны:
tsts
21
21
tsts
21
2211
;
)t()KeCeC()t(h
1
×++=
.
)t()esCesC()t(w
1
×+=
Коэффициенты С1и С2 определяются из нулевых начальных условий:
'
,
00
. Как видно, переходная
000 == )(w)(h
функция со временем монотонно сходится к К, весовая функция –
к нулю.
Звено приx >1 называют апериодическим второго порядка.
Зачастую его передаточную функцию представляют в виде
=
)s(W ,
( )( )
K
11
++
sTsT
12
причем, Т1 и Т2 связаны с Т иx следующими зависимостями:
2
;
ТТT =
21
.
TТT
x
221=+
Такое звено может быть представлено как последовательное или параллельное соединение двух апериодических звеньев
первого порядка.
2.x =1. Звено также называют апериодическим второго по-
рядка и его передаточная функция равна
K
)s(W
( )
.
2
1+=Ts
Корни характеристического уравнения будут действительными, отрицательными и одинаковыми, следовательно, переходная функция будет иметь вид
ts
1
21
,
)t(K)tCC(e)t(h
1
×++=
93
[
]
ts
TjT
[
]
[
]
T
T
(
)
[
]
(
)
[
]
122+=s
T
T
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
а весовая
1
21211
.
)t()tCsCCs(e)t(w
1
×++=
3. 0<x<1. Звено называют колебательным. Так как корни
характеристического уравнения комплексно-сопряженные, рав-
1
x
ные
s
x
,221
-
±-=
или
,±=21
, переходный процесс и
ba
js
весовая функция имеют колебательный характер:
t
где
a
t
a
x
a
- действительная часть корней;
-=
bb
21
;
)(1)cossin()(
tKtCtCeth
×++=
,
)(1cos)(sin)()(
ttCCtCCetw
×++-=
bbabba
1221
2
1
x
-
b
=
- мнимая
часть; С1и С2 – постоянные, определяемые из нулевых начальных
условий. Возможны также и другие формы записи переходного
процесса:
t
a
jb
или
)(1sin)( tKtСeth
×++=
t
a
jb
.
)(1соs)( tKtСeth
×++=
В этих случаях из начальных условий определяют константы С и φ.
Как видно из выражений переходных функций, процессы
являются затухающими колебательными, причем, чем больше ξ,
тем быстрее затухают колебания.
4. Приx = 0 звено называют консервативным. Передаточ-
ная функция консервативного звена
K
)s(W .
Корни характеристического уравнения будут чисто мнимыми, т. е.
,
1
js
21
, а переходная и весовая функции, со-
b
j
±=±=
ответственно, равны:
;
)(1)cossin()(
bb
21
bbbb
21
либо
94
jb
, либо
)(1sin)( tKtСth ×++=
tKtCtCth ×++=
;
)(1)sincos()(
ttCtCtw ×-=
.
jb
)(1соs)( tKtСth ×++=
Временные характеристики звена второго порядка для раз-
ных Т и ξ представлены на рис. 63 - 66.
2
ht()
1
0 20 40 60
t
wt()
0.2
0.1
0 20 40 60
t
Рис. 63. Временные характеристики апериодического звена
второго порядка при K = 2, Т = 2, ξ= 2
2
ht()
1
0 3 6 9
t
wt()
0.2
0.1
0 3 6 9
t
Рис. 64. Временные характеристики апериодического звена второго
порядка при K = 2, Т = 2, ξ= 2в начале координат
4
ht()
2
0 10 20 30
wt()
t
1
0.5
0 10 20 30
0.5
Рис. 65. Временные характеристики колебательного звена
при K = 2, Т= 2, ξ= 0,3
t
95
wx
4
1
ht()
2
0 10 20 30
t
Рис. 66. Временные характеристики консервативного звена
wt()
0 10 20 30
1
t
при K = 2, Т= 2, ξ= 0
Частотные характеристики звена второго порядка
Комплексная частотная характеристика:
w
)(
jW
=
K
2
2
)1(
+-
2
или
ww
jTT
1
w
)j(W
=
K
22
+-
.
wxw
Tj)T(
21
Чтобы разделить КЧХ на действительную и мнимую части,
необходимо избавиться от комплексности в знаменателе. Для
этого умножим числитель и знаменатель КЧХ на функцию комплексно-сопряженную знаменателю КЧХ
w
)j(W
=
K
22
+-
×
wxw
Tj)T(
21
22
--
22
--
wxw
Tj)T(
21
.
wxw
Tj)T(
21
Тогда в знаменателе будет разность квадратов элементов, а учитывая, что j2= -1, получим:
22
1
))j(W(Re
w
=
w
))j(W(Im
=
-
2
-
)T(K
w
41
+-
wx
TK
41
+-
;
222222
T)T(
wxw
.
222222
wxw
T)T(
Амплитудная А(w) и фазоваяj(w) характеристики:
96
)(
А
w
=
K
4)1(
+-
222222
TT
wxw
arctg)(;
wj
-=
2
T
.
1
22
T
w
-
Частотные характеристики апериодического и колебательного звеньев для случаев K=2, Т = 2, ξ=2 и ξ=0,3 представлены
на рис. 67 – 70.
ImWa w()
Aa w()
fa w()
p-
0
1
2
1 0 1 2
ReWa w()
ImWk w()
0
2
4
2 0 2 4
ReWk w()
Рис. 67. КЧХ апериодического и колебательного звеньев
2
1
0
0 2 4
w
Ak w()
4
2
0
0 2 4
w
Рис. 68. АЧХ апериодического и колебательного звеньев
0
2
fk w()
p-
0
2
4
0 5 10
w
4
0 5 10
w
Рис. 69. ФЧХ апериодического и колебательного звеньев
97
20
20
La w()
2 1 0 1 2
20
40
log w()
Lk w()
2 1 0 1 2
20
40
log w()
Рис. 70. ЛАЧХ апериодического и колебательного звеньев
Примером колебательного звена является сообщающиеся
сосуды, мембранный пневматический клапан, электродвигатель
постоянного тока, RLС- цепь и т. д.
9.7. Звено запаздывания
Звено чистого запаздывания преобразует сигнал на выходе в
соответствии с уравнением
y(t) = x(t -t),
гдеt- параметр звена, время запаздывания.
Передаточная функция имеет вид: W(s) = e
-τs
.
Выходная величина у(t) в точности повторяет входную ве-
личину х(t) с некоторым запаздываниемt (рис. 71).
h(t)
К
τ
Рис. 71. Выходная характеристика звена запаздывания
Комплексная частотная характеристика
wt
j
-
jejW
-==
)sin()cos()(
wtwtw
.
Амплитудная А(w) и фазоваяj(w) характеристики:
А(ω) = 1;j(ω) = - τω.
98
t
АФЧХ звена чистого запаздывания представлена на рис. 72.
у
1
t1
Рис. 72. АФЧХ звена чистого запаздывания
Примером звена чистого запаздывания является движение
груза по конвейеру (рис. 73), движение жидкости по
трубопроводу.
Рис. 73. Пример звена чистого запаздывания
Транспортер представляет собой непрерывную ленту 1,
приводимую в движение валками 2. На ленту из бункера 4 непрерывно высыпается мелкодисперсный материал 3, который переносится транспортером на другой его конец. Время запаздывания
вычисляется из выражения
t
= L/V.
Другой распространенный пример – вычислительное запаз-
дывание в компьютере. Так называется время, которое необходимо для расчета нового управляющего сигнала после получения
всех исходных данных.
99
9.8. Соединение звеньев
Практически любую сложную динамическую систему
управления в целях упрощения анализа можно представить в виде соединений элементарных звеньев. Определив передаточные
функции каждого элемента, легко получить общую передаточную функцию всей системы. Конечный вид передаточной функции САУ зависит от способа соединения звеньев. Различают следующие способы соединения звеньев в системе:
- последовательное,
- параллельное,
- встречно-параллельное.
Существуют следующие правила структурных преобразований звеньев, в которых считается, что каждый элемент имеет только
9.8.1. Последовательное соединение
Соединение звеньев, представленное на рис. 74, называется
последовательным.
Рис. 74. Последовательное соединение звеньев
Имеем:
X1(s)=X(s)·W1(s);
X2(s)=X1(s)·W2(s);
………….
Y(s)=X
(s)·Wn(s).
n-1
Подставляя в последнее выражение Xn(s), получаем:
Y(s)=X(s)·W1(s)·W2(s)·...·Wn(s) или Wоб(s)=W1(s)·W2(s)·...·Wn(s) .
При последовательном соединении звеньев их передаточ-
n
ные функции перемножаются: )()(
100
об
= .
Õ
sWsW
i
1
i
=
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]