Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
По данным табл. 1 строится АФЧХ элемента рис. 39. Для
w
построения частотных характеристик удобно использовать математический пакет Mathcad.
Для построения АЧХ и ФЧХ используем формулы:
ImWw()( )
на рис. 40.
2
A w()
1
22
;)(Im)(Re)(
www
+=A
0.5
0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.5
1
1.5
ReWw()( )
wj
=
)Im(
).
(arctg)(
)Re(
w
Рис. 39. АФЧХ
Графики АЧХ и ФЧХ данного элемента САР представлены
0
fw()
1
p-
2
0
0 10 20
w
2
0 10 20
w
Рис. 40. АЧХ и ФЧХ
61
На рис. 41 представлены графики ЛАЧХ, вычисляемой по
т
±
формуле L (w) = 20.lg A(w) , асимптотической ЛАЧХ Lac(w),
имеющей нулевой наклон на частотах, меньших чем 1/Т и проходящей на высоте 20lgK, и наклон -20 дб/дек (децибел на декаду)
на частотах больше 1/Т, а также ЛФЧХ.
10
2 0 2
L w()
Lac w()
2 0 2
10
20
30
40
fw()
p-
2
1
2
log w()
Рис. 41. ЛАЧХ, асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ
log w()
Асимптотическая ЛАЧХ состоит из отрезков прямых, про-
ходящих горизонтально или под наклоном
20 дб/дек, где
m=1, 2... .
8.2.4. Дифференциальные уравнения
Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии и вещества математически можно
описать с помощью дифференциальных уравнений (ДУ). Аппарат
ДУ является также основным математическим аппаратом при
изучении и исследовании систем управления. Решив ДУ, можно
найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на
систему.
Порядком ДУ называют максимальный порядок производной в уравнении. Обычно составляя модель объекта на основании физических законов, чаще всего получаем систему дифференциальных уравнений первого - третьего порядков.
62
dt
При составлении описания различают стационарные объ-
&&&
екты, коэффициенты ДУ которых не изменяются во времени, и
нестационарные объекты, у которых коэффициенты изменяются
с течением времени. Примерами нестационарных объектов могут служить различного рода теплообменники, изменяющие коэффициенты теплоотдачи от стенок в связи с отложениями солей или образованием нагара на стенках; каталитические реакторы, подверженные изменению активности катализаторов в
процессе реакции, и т. д.
ДУ могут быть линейными и системы управления, описываемые такими уравнениями, относятся к классу линейных систем. Коэффициенты линейных ДУ могут быть постоянными либо зависящими от времени, но они не должны зависеть от переменных величин, входящих в уравнение.
Например, если система управления описывается диф-
2
a +=++
0
2
dt
dy
yd
a
dt
0021
(1))()()(
tfctxbtya
ференциальным уравнением второго порядка вида:
и коэффициенты а0, а1, а2 и b0, с0являются постоянными и не зависят от переменных у, yy
, , х и f , то такая система относится к
классу линейных.
Если хотя бы один из этих коэффициентов зависит от переменных, входящих в уравнение, то уравнение, а следовательно,
и система, относятся к классу нелинейных.
Нелинейным будет, например, уравнение
2
a
0
dy
yd
a
2
dt
2
21
dx
.
b)t(xb)t(ya
+=++
10
dt
В общем случае такого типа нелинейное уравнение второго
порядка можно записать в виде
æ
ç
),t(yF 0
ç
è
dy
dt
2
yd
,
dt
),t(x,
2
dt
ö
)t(dx
÷
,
=
÷
ø
где F – нелинейная функция.
63
Операторная форма записи линейных ДУ
dt
dt
dt
Для упрощения записи и преобразования ДУ или систем
ДУ используют оператор дифференцирования р ≡
d
, а произ-
n
fd
и
записывают как pf и pnf. Так, уравнение (1)
n
водные
df
можно записать следующим образом
2
0
0021
(2).)()()()(
tfctxbtyapapa +=++
В общем виде система линейных дифференциальных уравнений, описывающая многомерные (больше одной управляемой
величины) САУ, будет выглядеть:
a11(p)x1(t) + a12(p)x2(t) + ... + a1k(p)xk(t) = f1(t);
a21(p)x1(t) + a22(p)x2(t) + ... + a2k(p)xk(t) = f2(t); (3)
. . .
ak1(p)x1(t) + ak2(p)x2(t) + ... + akk(p)xk(t) = fk(t),
где
x1(t), x2(t), ..., xk(t) - обобщенные координаты системы, кото-
рые включают управляемые величины, промежуточные координаты, ошибки управления, управляющие воздействия на объект;
f1(t), f2(t), ..., fk(t) - внешние координаты: задающие g(t) и
возмущающие fi(t) воздействия;
а
(p) – многочлены от оператора дифференцирования.
ij
Для удобства и формализации решений систему линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
можно представить в одной из пяти стандартных форм:
1) в нормальной форме Коши;
2) в матричной форме;
3) выраженную относительно регулируемой величины y(t);
4) выраженную относительно ошибки e(t);
5) в виде передаточных функций : W(p), Wf(p), We(p)
64
Форма Коши
Для того чтобы было легче исследовать модель, желательно
привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже
есть готовые общие решения. Таким «стандартом» в теории
управления считается система дифференциальных уравнений
первого порядка, которая называется нормальной формой Коши.
Нормальная форма Коши представляет собой запись системы ДУ первого порядка, выраженных относительно первой производной координат САР, например, для трех уравнений:
dx
ì
1
ï
dt
ï
dx
ï
2
í
dt
ï
ï
dx
3
ï
dt
î
+++++=
+++++=
+++++=
)t(fb)t(fb)t(fb)t(xа)t(xа)t(xа
313212111313212111
(4)
)t(fb)t(fb)t(fb)t(xа)t(xа)t(xа
323222121323222121
),t(fb)t(fb)t(fb)t(xа)t(xа)t(xа
333232131333232131
где x1, x2, x3 - собственные координаты системы, включая управляющее воздействие на объект u(t ), внутреннюю и выходную ко-
ординату y(t);
a11, ... , a33, b11,...,b
постоянные коэффициенты системы, т. е.
33 -
суммы и произведения постоянных времени Tj, коэффициентов
усиления Kn;
f1, f2, f3 – внешние воздействия на систему, т. е. сигналы зада-
ния g(t), помехи fj(t).
Форма Коши удобна для расчетов с использование математических пакетов (MathCAD, MATLAB, Mathematica, Maple,
Derive), когда уравнения могут быть решены относительно любой из фазовых координат xi.
Матричная форма записи систем дифференциальных
уравнений
Такая форма используется для упрощения записи и преобразования систем дифференциальных уравнений. Так, система (3)
в матричной форме может быть записана как
65
f(t)
A(p)x(t)
=
,
Bf(t)
Ax(t)
(t)x'+
=
(t)
x'
Cf(t)
Bu(t)
Ax(t)
(t)x'++=
где А(р) – матрица многочленов от оператора дифференцирова-
ния; x(t) и f(t) – векторы-столбцы функций.
Система уравнений Коши (4) в матричной форме имеет
вид:
,
где
- вектор-столбец производных функций хi(t) или про-
изводная от вектора x(t); А и В – матрицы постоянных коэффи-
циентов; f(t) – вектор-столбец внешних воздействий.
Описание систем в пространстве состояний
Описание объектов и систем автоматического управления
«в пространстве состояний» осуществляется в виде системы
дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в
форме Коши и связывающих внутренние координаты со входными воздействиями и выходными координатами. Внутренние координаты называют также переменными состояния или фазовыми координатами. Уравнения, описывающие изменение переменных состояния в зависимости от изменения входных воздействий,
называются уравнениями состояния; уравнения, связывающие
выходные переменные с фазовыми координатами, а иногда и
входными воздействиями, – уравнениями выхода.
В развернутом виде система уравнений, описывающая состояние объекта управления, может быть записана как
dx
dt
n
i
j
m
jij
j
В матричной форме она имеет вид
66
k
....1,
nifcubxa
=++=
jij
ååå
jij
111
j
===
,
&
,Dxy
=
где
x
ù
é
1
ú
ê
x
2
ú
ê
=
ú
ê
×××
ú
ê
x
û
ë
é
ê
ê
=
ê
×××
ê
ê
1
ë
x
ù
é
1
ú
ê
&
x
2
ú
ê
&
,
=
ú
ê
×××
ú
ê
&
x
û
ë
a...a
ù
n
111
ú
a...a
n
221
ú
,
ú
ú
a...a
ú
nnn
û
u
ù
é
1
ú
ê
u
2
ú
ê
,
=
ú
ê
×××
ú
ê
u
û
ë
b...b
é
ê
ê
=
ê
ê
ê
ë
m
111
b...b
221
×××
b...b
nmn
1
f
ù
é
1
ú
ê
f
2
ú
ê
,
fuxx
ù
ú
m
ú
,
ú
ú
ú
û
,
=
ú
ê
×××
ú
ê
f
kmnn
û
ë
c...c
é
ê
ê
=
CBА
ê
ê
ê
ë
ù
k
111
ú
c...c
k
221
ú
.
ú
×××
ú
c...c
ú
nkn
1
û
Вектор x называют вектором координат состояния или фазовых координат. Матрица А - матрица коэффициентов системы;
u - вектор управления переменными состояния (управление), B матрица управления, f - вектор возмущения, C - матрица коэффициентов возмущающих воздействий.
Уравнение состояния дополняют уравнением выходов:
)()( tt
где y – вектор выходов объекта; D – матрица коэффициентов.
Данная форма записи признана стандартом для ряда про-
грамм математического моделирования (VisSim, Simulink, и т. д.),
во многих случаях используется для реализации форм записи ДУ
САР с одним входом и одним выходом. Она может использоваться для построения моделей больших, но не сложных систем, не
поддающихся модуляризации (разбиению на модули), описание
которых оптимально в матричной форме.
Описание в координатах «вход - выход»
Одной из распространенных форм записи ДУ в теории автоматического управления является запись, связывающая выход-
ную координату с входными воздействиями. Система линейных
дифференциальных уравнений для координат состояния может
быть преобразована к одному уравнению путем исключения промежуточных координат.
67
Например, для системы, описываемой ДУ второго порядка,
dt
конечное уравнение будет иметь вид
2
tyd
a +++=++ ,
2
dt
a
2
dt
)()(
tdy
)(
)(
tdx
btya
)(
сtxb
dt
dt
)(
tdf
)(
tfс
010101
где a0, a1 a2,b0, b0, c0, c1, - постоянные коэффициенты, зависящие
от параметров системы.
В общем виде для одного возмущающего и одного задающего воздействий уравнение в операторной форме записывается
как
A(p) y(t) = B(p) х(t) + C(p) f(t),
где у(t) – выход системы; х(t) – входное задающее воздействие;
f(t) - возмущающее воздействие; A(p) = a0pn+ a1p
- характеристический полином уравнения; В(p) = b0pm+ b1p
+ b
p + bm и С(p) = с0pk+ с1p
m-1
k-1
+ ... + с
p + сk – полиномы или
k-1
многочлены от оператора дифференцирования
n-1
+ ... + a
р º , опреде-
p + a
n-1
m-1
d
+ ...
ляющие влияние задания и возмущения на выход объекта. Для
реальных систем m<n и к<n.
Математический аппарат решения линейных ДУ хорошо
развит. К методам решения дифференциальных уравнений или
систем ДУ относится классический метод решения (нахождение
общего решения ДУ и частного), метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной), метод Бернулли, приведение к форме
Коши и др. Это позволяет решать большинство известных практических задач управления химико-технологическими объектами,
модели которых описываются или приводятся к данному классу
уравнений.
Однако в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому даже
если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. Это
легко понять хотя бы потому, что всегда есть предельно допустимое значение входного сигнала – при его превышении объект
может просто выйти из строя или даже разрушиться (линейность
нарушается). Методы исследования нелинейных операторов
n
68
сложны математически, в теории нелинейных систем точные решения известны только для достаточно узкого круга задач. Общих методов решения систем нелинейных дифференциальных
уравнений не существует. Поэтому решают их приближенно, либо с использованием различных численных методов, либо за счет
упрощения модели путем линеаризации нелинейных ДУ.
Линеаризация нелинейных уравнений
Замена нелинейного ДУ приближенным линейным называ-
ется линеаризацией. Считают, что в процессе регулирования от-
клонения всех изменяющихся величин от их установившихся
значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных дифференциальных уравнений приближенными линейными уравнениями. При линеаризации нелинейные функции переменных, входящих в уравнение движения, раскладывают в ряд Тейлора в окрестностях рабочей точки (установившегося значения переменных).
На том основании, что отклонения малы, в разложении оставляют
лишь члены, содержащие отклонения в первых степенях, после
чего из полученных уравнений вычитают уравнения равновесия
(статики) и получают запись линеаризованных уравнений в отклонениях.
Рассмотрим процесс линеаризации на примере сушильного
шкафа. Зависимость температуры Т объекта от подаваемого напряжения U в большинстве случаев нелинейная и имеет вид,
представленный на рис. 42.
Рис. 42. Пример графической линеаризации объекта в точке (U0, T0)
69
Объект в общем виде описывается нелинейной функцией
'
x
''x
'''
x
двух переменных: F(U,T) = 0, или F(х,у) =0 , где x=U, y=T . Разло-
жим данную функцию в окрестности некоторой точки (х0, у0) в
ряд Тейлора по формуле
F
¶
)y,x(F)yy,xx(F)y,x(F
+=D+D+=
0000
x
¶
y,x
00
2
F
¶
1
+
2
!
2
x
¶
x
¶
1
2
+D×
yxF!
¶¶
2
yx
22
F
¶
1
+DD×
2
!
2
y
¶
F
¶
x
+D×
y
¶
2
+D×
y,xy,xy,x
000000
y
+D×
y,x
00
...,y
где
¶
xF¶
¶
и
y,x
yF¶
00
- частные производные от F по х и у при
y,x
00
значениях х=х0, у=у0.
Линейная часть приведенного разложения определяется
лишь первыми тремя членами, остальными слагаемыми можно
пренебречь в силу малости Δx, Δy. Эту процедуру можно интер-
претировать как замену в окрестности точки (х0, у0) рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рис. 42), уравнение
которой определяется по формуле
¶
F
¶
x
,
yx
00
¶
F
+×
x
¶
y
,
yx
00
.0
=×
y
DD
Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращенияDх = х - х
иDу = у - у0.
При наличии в уравнении производных линеаризация ДУ
происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным
F¶¶
F¶¶
(
,
,
F¶¶
и т. д.).
Линеаризация нелинейного ДУ второго порядка рассматри-
вается в примере 4.
0
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]