Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
Для этого по знаменателю передаточной функции записывается характеристическое уравнение замкнутой системы
2s4 + 5s3 + 10s2 + 6s + 1 = 0.
Поскольку максимальная степень характеристического
уравнения замкнутой системы равна n = 4, то матрица Гурвица
будет иметь размер 4х4.
Коэффициенты характеристического уравнения равны:
а0 = 2, а1 = 5, а2 = 10, а3 = 6, а4 = 1.
Определитель Гурвица имеет вид
0065
01102
=D
0650
11020
Диагональные определители будут равны:
Δ1 = 5 > 0;
65
æ
ç
Δ
=
2
ç
è
æ
ç
Δ
=
ç
3
ç
è
ö
÷
÷
102
ø
065
ö
÷
1102
÷
÷
650
ø
;
03862105
>=×-×=
)0520166105(
-××+××+××=
;0209)6621550100(
>=××+××+××-
Δ4 = 1. Δ3 = 1.209 > 0.
Поскольку все определители положительны и a0> 0, то
АСР устойчива.
При исследовании устойчивости с помощью критерия Лье-
нара-Шипара (Lienard, Chipard, 1914) нужно, прежде всего, проверить необходимое условие устойчивости. Если необходимое
условие устойчивости выполняется, то для определения устойчивости, нет необходимости вычислять все определители Гурвица.
141
Определение критерия. При выполнении необходимого ус-
ловия устойчивости (ао > 0, а1 > 0, ...... , ап > 0) для устойчивости
системы управления необходимо и достаточно, чтобы все ее определители Гурвица с четными индексами или все ее определители Гурвица с нечетными индексами были положительными:
Δ2 > 0, Δ4 > 0, Δ6 > 0 ... или Δ3 > 0, Δ5 > 0, Δ7 > 0 ...
Для формулировки критерия Рауса (E. J. Routh, англий-
ский математик) составляется таблица Рауса следующим образом: в первой строке выписываются коэффициенты характеристического полинома с четными индексами, а во второй строке коэффициенты с нечетными индексами в порядке их возрастания
(табл. 6).
Таблица 6
Таблица Рауса содержит п + 1 строку. Элементы после-
дующих строк вычисляются по формулам:
Число столбцов по мере роста номера строки убывает.
Элементы второго и последующих столбцов следует вычислять
по мере надобности при вычислении элементов первого столбца.
При этом вычисление можно прекратить, как только какой-либо
элемент первого столбца принимает нулевое или отрицательное
значение.
Определение критерия. Для того чтобы система была ус-
тойчива, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого
столбца таблицы Рауса при ао > 0 были положительны: Ck1 > 0, k
= 1, 2,..., п + 1.
142
Практическое использование критерия Рауса рассмотрено в
C
r
r
примере 10.
Пример 10.
Характеристическое уравнение замкнутой системы регули-
рования без запаздывания имеет вид:
2345
02777710331649700383
=+×++×+×+× ,s,sss,s, .
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по
критерию Рауса. Составим таблицу Рауса (табл.7).
Таблица 7
СтолбцыСтро-ка
i
а0= 80.03 а2= 16 а4= 1033.7
1
a1= 70.49 a3= 1 а5= 777.2
2
C13= а2- r3∙a3= 14.86
3
C14= а3- r4∙С23= -699.1 C24= а5- r4∙С33= 777.2 C34= 0
4
C15= С23- r5∙С24= 132.3 C25= 0 C35= 0 r5=С13/С14= - 0.02
5
1 2 3
= а4- r 3∙a5= 147.7 C33= 0
23
Коэффициент
=80.03/70.49=1. 14
3=а0/а1
=70.49/14.86 = - 4.74
4=а1/С13
R
Замкнутая система автоматического управления будет не-
устойчива, т. к. коэффициенты первого столбца таблицы Рауса
имеют разные знаки: а0 > 0, a1 > 0, C13 > 0, C14< 0, C15 > 0.
14.1.3. Частотные критерии устойчивости
Алгебраические критерий достаточно просты для исследования устойчивости динамических систем, имеющих характеристические уравнения невысокого порядка. Однако для уравнений
высших порядков их применение становится затруднительным, а
если в системе имеются запаздывающие звенья
s
×-
t
e)s(W)s(W
×=
с
, то и вовсе невозможно, так как в этом случае
характеристическое уравнение становится трансцендентным.
В подобных случаях оказывается более удобным исследовать устойчивость систем, применяя частотные критерии, обладающие большей наглядностью в силу простой геометрической
интерпретации. К этим критериям относятся критерий Михайло-
143
ва, позволяющий оценивать устойчивость как разомкнутых, так и
(
)
www
+
=
замкнутых систем, а также критерий Найквиста. Последний используется для исследования устойчивости замкнутых систем по
частотным характеристикам разомкнутых систем.
Критерий А. В. Михайлова (советский учёный, 1938)
предполагает построение годографа функции Михайлова на комплексной плоскости. Функция Михайлова D(jw) получается из
характеристического уравнения путем подстановки вместо
s®jw :
nn
-
1
www
10
ajajajD +++=
...)()()(
.
n
Данное выражение является комплексным и может быть
представлено в виде
)()(
jImRejD
.
Определение критерия. Для устойчивой АСР необходимо и
достаточно, чтобы годограф Михайлова (рис. 96), начинаясь при
w
= 0 на положительной вещественной полуоси, обходил после-
довательно в положительном направлении (против часовой
стрелки) при возрастанииw от 0 до ¥ n квадрантов, где n - сте-
пень характеристического полинома.
Im
0
Граница уст.
Рис. 96. Годограф Михайлова
Re
Неуст.
Если годограф Михайлова проходит через начало коорди-
нат, то система находится на границе устойчивости.
Если годограф Михайлова проходит через начало коорди-
нат, то система находится на границе устойчивости.
144
Практическое использование критерия Михайлова рас-
смотрено в примере 11.
Пример 11.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет
вид
2s4 + 1,5s3 + 10s2 + 6s + 1 = 0.
Подставим в характеристическое уравнение вместо s®j
D(jw)= 2(jw)4+1,5(jw)3+10(jw)2+6(jw)+1=2
4
w
-1,5j
3
w
-10
Выделим действительную и мнимую части:
Re(w) = 2
w
2
-10
w
+1; Im(w) = -1,5
w
3
+6w.
4
Построим годограф Михайлова, изменяя частотуw = 0 ... ¥
(рис. 97).
5
2
w
+6jw+1.
w
Im w()
15 10 5 0 5 10
5
10
Re w()
Рис. 97. Годограф Михайлова для устойчивой системы
Система устойчива, т. к. годограф Михайлова начинается
на положительной оси абсцисс, последовательно пересекает оси
координат с увеличением частоты, проходя при этом четыре
квадранта и оставаясь в четвертом квадранте комплексной плоскости, что соответствует записанному характеристическому
уравнению четвертого порядка для замкнутой системы автоматического регулирования.
145
Частотный критерий Найквиста (H. Nyquist, американский
инженер, 1932) разработан специально для анализа устойчивости
динамических систем, имеющих обратные связи (т.е. для замкнутых систем) и изначально был предложен для усилителей с обратной связью.
Критерий аналогичен критерию Михайлова и позволяет по
АФЧХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой
системы, полученной охватом разомкнутой системы единичной
отрицательной обратной связью.
Критерий Найквиста доказывается с помощью двукратного
применения критерия Михайлова: один раз - к разомкнутой системе (устойчивой или неустойчивой), другой раз - к замкнутой
системе (только к устойчивой), потому этот критерий часто называют критерием Найквиста - Михайлова.
Порядок применения критерия Найквиста.
1. Определяется передаточная функция разомкнутой систе-
мы.
2. Определяется число m правых корней характеристиче-
ского уравнения разомкнутой системы.
3. Определяется частотная передаточная функция подста-
новкой s = jwв передаточную функцию
Wрс(jw) = Re(w) +j Im(w).
4. На комплексной плоскости по Re(w) и Im(w) строится
АФЧХ разомкнутой системы в диапазоне частот от 0 до ¥.
5. По характеру АФЧХ и количеству правых корней харак-
теристического уравнения разомкнутой системы делается вывод
об устойчивости замкнутой системы.
Формулировки критерия.
1. Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой
необходимо и достаточно, чтобы при измененииw от 0 до +¥ го-
дограф АФЧХ разомкнутой системы Wрс(jw), поворачиваясь во-
круг начала координат против часовой стрелки, охватил точку (-1,
j0) m/2 раз, где m - число правых корней разомкнутой системы.
Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая сис-
тема находится на границе устойчивости.
146
2. В случае, когда характеристическое уравнение разомкну-
той системы не имеет правых корней (т. е. m = 0), то согласно
критерию, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ
разомкнутой системы Wрс(jw) не охватывает точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (рис. 98).
Im
Уст.
-1
Рис. 98. Оценка устойчивости по критерию Найквиста (для m=0)
0
Re
Неуст.
3. В случае если разомкнутая система астатическая и ее характеристическое уравнение не имеет правых корней, но имеет ν
нулевых, замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой окружности с центром в
начале координат, радиусом больше единицы, начинающейся на
положительной действительной полуоси и проходящей по часовой стрелке ν четвертей до пересечения с АФЧХ, не охватывает
точку с координатами (-1; j0).
Практическое использование критерия Найквиста рассмот-
рено в примерах 12-14.
Пример 12.
Для неустойчивой разомкнутой системы оценить устойчивость замкнутой системы, полученной охватом разомкнутой единичной отрицательной обратной связью. Передаточная функция
разомкнутой системы
=
)s(W
рс
( )( )
K
.
1211 -+
sTsT
Характеристическое уравнение разомкнутой системы
147
()(
)
=-+
sTsT
()(
)
=+-
+
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
w
--×
имеет один отрицательный, один положительный корень:
s1=-1/T1, s2=1/T2.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
или
при К>1 и T2>T1 будет иметь только левые корни, и замкнутая
система будет устойчивой, а при К>1 и T2<T1 система будет
неустойчивой, т. к. не все корни будут левыми.
Построим АФЧХ разомкнутой системы
=
w
)j(W
рс
в начале координат.
( )( )
)(Re
w
jW
= ;
)(Im
w
jW
= .
Для K=2 АФЧХ начинается в точке (-2, j0) и заканчивается
01211
01211
KsTsT ,
2
K
1211 -+
ww
jTjT
( )
( )
2
2
;
TTK
2
2
011221
=+--+×× KsTTsTT ,
2
121
w
+××-×
( )
TTTT
-++××
)12
TTK
( )
TTTT
-++××
0.5
2
2
12121
ww
2
2
12121
ww
ImW w()
Рис. 99. АФЧХ разомкнутой системы при T1=2, T2=4
Как видно из рис. 99 при Т2>T1 конец вектора АФЧХ ра-
зомкнутой системы прорисовывает кривую (годограф), охватывающую точку ( -1, j0) против часовой стрелки 1/2 раза. Следовательно, замкнутая система устойчива.
148
2 1.5 1 0.5 0 0.5
0.5
ReW w()
Для случая Т2<T1 (рис.100) годограф АФЧХ разомкнутой
+
10310
2
системы обходит точку (- 1,j0 ) по часовой стрелке, следовательно,
замкнутая система неустойчива.
0.5
ImW w()
Рис. 100. АФЧХ разомкнутой системы при T1=4, T2=2
2 1.5 1 0.5 0 0.5
0.5
ReW w()
Практическое применение дано в примере 13.
Пример 13.
Дана передаточная функция разомкнутой системы
16
)(
=
sW .
рс
s
2
1610
++
ss
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по
критерию Найквиста.
Характеристическое уравнение разомкнутой системы
10s2 + 6s + 1 = 0.
Корни характеристического уравнения:
104366
×-±-
= , где .1-=j
2,1
×
=
js±-
s1= - 0,3 + 0,1j , s2= - 0,3 - 0,1j.
Корни характеристического уравнения левые, т. е. имеют
отрицательные вещественные части, правых корней нет.
Определим комплексную частотную характеристику путем
подстановки в передаточную функцию s=j
w
149
1)(6
+
w
116100
+
+
w
w
)(
=
w
jW
рс
[ ]
=
[ ][ ]
j
2
ww
jj
[ ]
=
1)(6)(10
++
2
--×+
)(6)101(1)(6
www
jj
22
--+-
32
60126
-+
ww
j
=
)(6)101()(6)101(
wwww
jj
ww
.
24
116100
++
Выделим действительную и мнимую части:
2
126
+
Re(w) =
Im(w) =
w
ww
60
-
w
;
24
116100
++
3
.
24
Построим АФЧХ разомкнутой системы, изменяяwот 0 до
100 (рис. 101).
Замкнутая система устойчива, так как амплитудно-фазовая
характеристика Wрс,(jω) разомкнутой системы не охватывает точку
с координатами (-1; j0) при m= 0.
0.5
Im w()
0.5 0 0.5 1 1.5
0.5
1
Re w()
Рис. 101. АФЧХ разомкнутой системы
Пример 14.
Дана передаточная функция разомкнутой системы
s
16
)s(W
= .
рс
( )
+
2
sss
1610
++
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по
критерию Найквиста.
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]