Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
Переходный процесс в АСР с И-регулятором самый инерционный. Это обусловлено инерционностью И-звена. Отклонение
регулируемой величины в АСР с И-регулятором самое большое.
Однако по сравнению с П- регулятором И-регулятор имеет достоинство в том, что он будет работать пока отклонение не станет
равным нулю.
ПИ-регулятор сочетает в себе достоинства П- и Ирегуляторов. Отклонения в АСР с этим регулятором среднее между П- и И-регуляторами.
ПИД-регулятор отличается высоким качеством работы. Отклонения в АСР с ПИД-регулятором снижаются примерно на
80 % по сравнению с И- регуляторами. Однако недостатком этого
регулятора является его высокая чувствительность к высокочастотным помехам.
Требования к показателям качества устанавливаются непосредственно исходя из технологических параметров. Чаще всего
накладываются требования на точность, время регулирования и
степень затухания колебательных процессов.
Однако, изменяя настройки таким образом, чтобы увеличить, например, степень затухания, мы можем прийти к слишком
большому времени регулирования, что нецелесообразно. И наоборот, стремясь уменьшить время регулирования, мы получаем
более колебательные процессы с большим значением степени колебательности.
ЗависимостьYот tp нелинейная и в общем случае имеет
вид, изображенный на рис. 91.
Рис. 91. Зависимость обратной величины степени
затухания от времени регулирования
131
Для значительного числа промышленных объектов управления отсутствуют достаточно точные математические модели,
описывающие их статические и динамические характеристики. В
то же время проведение экспериментов по снятию этих характеристик с объектов весьма дорого и трудоемко. В этом случае может использоваться экспериментальный метод настройки регулятора.
Экспериментальный метод настройки регуляторов не требуют знания математической модели объекта. Однако предполагается, что система смонтирована и может быть запущена в работу, а также существует возможность изменения настроек регулятора. Таким образом, можно проводить некоторые эксперименты
по анализу влияния изменения настроек на динамику системы. В
конечном итоге гарантируется получение хороших настроек для
данной системы регулирования.
14. Анализ устойчивости систем управления
(ПК-19)
Требования, предъявляемые к системе управления, зависят,
прежде всего, от решаемой задачи. Так, в задаче стабилизации
наиболее важны свойства установившегося режима. Для следящих систем, в первую очередь, нужно обеспечить высокое качество переходных процессов при изменении задающего сигнала.
В целом можно выделить четыре основных требования:
- устойчивость – система должна оставаться устойчивой
на всех режимах, не должна идти «вразнос»;
- качество переходных процессов – при смене заданного
значения система должна переходить в нужное состояние по возможности быстро и плавно;
- точность – в установившемся режиме система должна
поддерживать заданное значение выхода системы, причем, ошибка (разница между заданным и фактическим значением) не должна превышать допустимую;
132
- робастность – система должна сохранять устойчивость
и приемлемое качество даже в том случае, если динамика объекта
и свойства внешних возмущений немного отличаются от тех, что
использовались при проектировании.
14.1. Устойчивость систем автоматического управления
Под устойчивостью понимается способность динамиче-
ских систем возвращаться в исходное установившееся состояние
после снятия внешних воздействий (возмущений) или переходить
в другое равновесное состояние.
Устойчивость является внутренним свойством динамической системы и не зависит от вида и точки внесения возмущения.
Устойчивость не является абсолютным свойством системы и зависит от её параметров. Изменяя параметры, можно вывести систему из устойчивого состояния и наоборот.
Если у системы в результате внешнего воздействия возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется
неустойчивой.
Понятие устойчивость наглядно иллюстрирует рис. 92, на
котором представлена физическая система «шар – поверхность».
Рис. 92. Иллюстрация понятия «устойчивость»
Шарик на рис. 92 находится в устойчивом положении А, и
если его немного сдвинуть с места, он обратно скатится в ямку.
Если шарик сильно отклонить от равновесия, он может перевалить через горку и устойчивость нарушится. В положениях Б и В
шарик также находится в положении равновесия, но оно неустойчиво, так как при малейшем сдвиге в сторону шарик скатывается с вершины. В положениях Г и Д равновесие шарика ней-
133
у
у
1
t
gtу
ttу
g
абг
212
в
тральное, при небольшом воздействии он перейдет в новом положение. При этом говорят, что система находится на границе
устойчивости.
Как видно из рис. 92, положение равновесия может быть
устойчиво при малых отклонениях (система устойчива «в малом») и неустойчиво при больших («в большом»). Когда система
возвращается в состояние равновесия при любых начальных отклонениях, ее называют устойчивой в целом, т.е. в малом и
большом.
Об устойчивости системы можно судить и по видам пере-
ходных процессов (рис. 93).
Практически все системы управления являются нелинейными, а линейные системы управления следует рассматривать
как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем.
(t)
(t)
g
0
(t)
0
Рис. 93. Примеры переходных процессов: а – устойчивые колебательные процессы: 1 - по управлению, 2 – по возмущению; б – автоколебательный процесс ( система на границе устойчивости); в – устойчивые апериодические сходящиеся процессы; г – неустойчивые процессы:
1 – апериодический расходящийся, 2 – колебательный расходящийся
0
(t)
0
Линеаризация производится относительно заданного номи-
нального (равновесного) режима y(t), называемого в теории ус-
134
тойчивости невозмущенным движением. Невозмущенное движение y(t) нелинейной системы называется асимптотически устой-
чивым, если существует некоторая окрестность вокруг невозму-
щенного движения такая, что любое возмущенное движение y(t),
начинающееся в момент tоокончания действия возмущения в
этой окрестности, в дальнейшем не выходит из этой окрестности
и y(t) → yо(t) при t → ∞.
Возникает вопрос: можно ли судить об асимптотической
устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы на
основании исследования устойчивости ее линеаризованной модели? Впервые этот вопрос был поставлен и решен A.M. Ляпуновым в 1892 г. в его диссертационной работе.
Задачу об устойчивости поставил впервые Ж. Л. Лагранж.
Последующие исследователи В. Кельвин и Н. Е. Жуковский,
решали задачу устойчивости примитивно, в первом приближении. Первое приближение вопроса не решает, так как движение,
устойчивое в первом приближении, может быть в действительности неустойчивым.
Для решения задач устойчивости А. М. Ляпунов предложил оригинальный, весьма важный метод. Содержание своего
метода А. М. Ляпунов раскрыл в своих общих теоремах об устойчивости и неустойчивости. Пользуясь этим методом, он
строго выяснил, когда вопрос об устойчивости разрешается первым приближением и когда нет.
Работу "Общая задача об устойчивости движения"
А. М. Ляпунов защитил в качестве докторской диссертации
(1892). До настоящего времени она является основным классическим трудом по теории устойчивости систем.
Система называется устойчивой по Ляпунову в положении
равновесия x*, если при начальном отклонении от положения
равновесия x* не более, чем на δ, траектория движения отклоня-
ется от x* не более, чем на ε , причем для каждого ε можно найти
соответствующее ему δ(ε) :
**
0
ed
.0всехпри)(
><-Þ<- txtxxx
135
Фактически это означает, что чем меньше начальное отклонение, тем меньше траектория движения отклоняется от положения равновесия.
Если кроме того вектор состояния стремится к положению
равновесия, то есть
*
,при0)(
¥®®- txtx
то система называется асимптотически устойчивой в положении
равновесия x*.
Положение равновесия неустойчиво, если для него не выполняется условие устойчивости Ляпунова. Это значит, что существует такое ε > 0 , что траектория x(t) выходит за границы об-
ласти
e
<-*)( xtx при сколь угодно малом отклонении начально-
го состояния x0от положения равновесия x*.
В общих теоремах Ляпунов доказал условия устойчивости
«в малом» и для нелинейных систем с гладкими нелинейностями,
которые могут быть линеаризованы путем разложения в ряд Тейлора.
Теорема 1. Если характеристическое уравнение линеаризо-
ванной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет устойчивой. Малые
нелинейные члены не могут нарушить устойчивость системы.
Теорема 2. Если характеристическое уравнение линеари-
зованной системы имеет хотя бы один корень с положительной
вещественной частью, то реальная система также будет неустойчивой. Малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой.
Теорема 3. При наличии нулевых или чисто мнимых кор-
ней, поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. Малые нелинейные члены могут коренным образом изменить характер переходного процесса.
Поэтому в этом случае по линеаризованной модели нельзя
судить об устойчивости невозмущенного движения нелинейной
системы.
136
Геометрическая трактовка условия устойчивости по Ляпунову: если при возмущениях, не выведших точку Во за сферу λ,
возмущенное движение будет таково, что точка В1 не выйдет за
границу сферы А, то оно устойчиво (рис. 94).
Корневой критерий является необходимым и достаточным
условием устойчивости отдельных звеньев, разомкнутых и замкнутых систем. Проблема заключается в нахождении корней уравнений высоких порядков. В этих случаях используются алгебраические или частотные критерии устойчивости.
х
2
В
1
х
3
Рис. 94. Геометрическая трактовка
условия устойчивости по Ляпунову
λ
х
В
о
А
1
Алгебраические критерии позволяют оценивать устойчивость замкнутых систем без запаздывания по коэффициентам характеристического уравнения любого порядка. Оценка устойчивости системам с запаздыванием производится с помощью частотных критериев.
14.1.1. Корневой критерий
Корневой критерий позволяет определить устойчивость
системы по корням характеристического уравнения. Характеристическое уравнение можно получить путем приравнивания знаменателя передаточной функции объекта или системы к нулю
137
nn
1
-
10
.a...sasa
0
=+++
n
Корни характеристического уравнения siмогут быть как
действительные, так и комплексные. Их можно разместить на
комплексной плоскости (рис. 95).
Корни характеристического уравнения могут быть:
- действительными: положительными, отрицательными
(2,6) или нулевыми (3);
- комплексными: с положительными (корень 1), отрица-
тельными (4) и нулевыми (5) действительными частями. В последнем случае корни (5) являются чисто мнимыми.
4
Im
6
2
4
Рис. 95. Варианты расположение корней характеристического
уравнения на комплексной плоскости
5
3
1
0
5
Re
По кратности корни бывают одиночные и повторяющиеся.
Корневой критерий формулируется следующим образом.
Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического
уравнения лежат в левой полуплоскости (имеют отрицательные
вещественные части). Если хотя бы один корень находится на
мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят,
что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы
один корень находится в правой полуплоскости, то не зависимо
от числа корней в левой система является неустойчивой.
Чтобы корни характеристического уравнения имели отри-
цательные вещественные части, необходимо чтобы все его коэффициенты аi были положительны. Однако это условие является
138
достаточным только для систем, описываемых ДУ 1 -го и 2-го по-
+
рядков. При n > 2 этого условия недостаточно.
Практическое использование корневого критерия рассмот-
рено в примере 8.
Пример 8.
Пусть передаточная функция системы имеет вид
43
)(
=
sW .
s
23
25,125,22
+++
sss
Её характеристическое уравнение
s3 + 2s2 + 2,25s + 1,25 = 0.
Корни уравнения: s1 = -1; s2 = -0,5 + j; s3 = -0,5 - j.
Так как все действительные корни и действительные части
комплексных корней отрицательны, система устойчива.
14.1.2. Алгебраические критерии устойчивости
Под алгебраическими критериями устойчивости понимают
условия, сформулированные для коэффициентов характеристического уравнения, при выполнении которых линейная система устойчива, а при невыполнении - неустойчива.
Наибольшее распространение среди алгебраических критериев устойчивости получил критерий Гурвица (немецкий математик Адольф Гурвиц, 1859 - 19 19 ). К алгебраическим критериям относят также критерии Рауса (1877), Льенара—Шипара (1914) и др.
В основе критерия Гурвица лежит анализ коэффициентов
характеристического уравнения динамической системы. Из коэффициентов характеристического уравнения
a0 s n + a1 s
n-1
+ ... + a
s + an = 0 ,
n-1
составляется матрица Гурвица, по диагонали которой от верхнего
левого угла записываются по порядку все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а1. Затем каждый столбец
матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали
индексы коэффициентов увеличивались, а вниз уменьшались
139
>
=
K
K
Δ
=
aaa
531
aaa
420
aa
31
K
K
0
0
00
LLLLL
000
a
n
Определение критерия. Для устойчивости системы необ-
ходимо и достаточно чтобы главный определитель и все n диагональные миноры, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов, были положительными при a0 > 0.
Матрицы для расчета диагональных миноров получают из
исходной путем последовательного включения столбцов и строк
;0Δ
a
11
aa
31
2
>=
aa
20
д. т.и0Δ
Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то сис-
тема будет находиться на границе устойчивости.
Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива, не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.
Вычисление диагональных миноров невысоких порядков
(
Δ,...,Δ ) не представляет значительного труда, и устойчивость
51
конкретной системы может быть легко определена вручную
(пример 9).
Пример 9.
Дана передаточная функция замкнутой системы
23
)(
=
sW .
зс
1692
+++
sss
234
161052
++++
ssss
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по
критерию Гурвица.
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]