Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
случайного процесса t1 и t2, т. е. это мера связи между двумя пе-
>
<
=
[
]
-=+×=
ttt
ременными.
Корреляция позволяет выявить линейную зависимость между двумя величинами. В случае 0),(
ttR
x
знаки х1и х2чаще
21
всего совпадают (оба положительные или оба отрицательные), а
при 0),(
Если 0),(
ttR
21
x
ttR
x
– больше вероятность того, что знаки разные.
, величины х1 и х2называются некоррелирован-
21
ными. Для случайных величин с нормальным распределением некоррелированность одновременно означает независимость.
17.1. Стационарность и эргодичность
случайного процесса
Если все свойства случайного процесса (плотности распределения вероятностей) не зависят от времени, случайный процесс
называется стационарным в узком смысле. Иначе процесс – не-
стационарный, его свойства со временем изменяются.
Все реальные процессы – нестационарные, они когда-то
начались и когда-то закончатся. Однако часто на практике можно
считать, что на интересующем нас интервале времени Δt свойства
случайных процессов не изменяются. Это допущение позволяет
существенно упростить решение многих задач.
Стационарность – это очень сильное допущение. Чтобы доказать его справедливость, нужно знать все плотности распределения в любой момент времени, а они чаще всего неизвестны.
Поэтому в инженерных задачах рассматривают процессы ста-
ционарные в широком смысле, для которых:
1) математическое ожидание mх(t) не зависит от времени;
2) корреляционная функция ),(
ttR
зависит только от то-
21
x
го, насколько моменты t1 и t2 далеки друг от друга, то есть от разности t1 - t2, поэтому ),(
x 21
ttR
часто записывают в виде
21
x
.ttгде,)t(x)t(xM)(R
Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная
усреднением по множеству возможных реализаций, с вероятно-
221
стью, сколь угодно близкой к единице, равна аналогичной характеристике, полученной усреднением за достаточно большой промежуток времени из одной единственной реализации случайного
процесса. Из этого определения следует, что эргодический процесс представляет собой такой процесс, когда среднее по времени
равно среднему по множеству возможных реализаций.
Среднее по времени - это среднее значение функции, определенное для отдельной реализации случайного процесса x(t) на
протяжении достаточно длительного интервала времени Т. Оно
обозначаетсяx и согласно определению
T
tmx
x
1
limили)( .
¥®
T
T
2
T
¥
×=×= dxtxfxdttx
òò
¥--
),()(
Из этого выражения вытекает, что для эргодического процесса среднее значение случайной функции x(t), вычисленное по
одной реализации на интервале [-T,T] при Т → ∞, равно среднему
значению этой же функции, вычисленной по множеству реализаций. Здесь f(x,t) - плотность распределения случайной величины в
сечении, взятом для момента времени t.
Корреляционная функция для эргодического случайного
процесса может быть определена как
T
R )()(
x
1
lim)(
T
ò
¥®
T
2
-
T
+×=
dttxtx
tt
.
Эта функция носит название автокорреляционной и харак-
теризует скорость изменения случайного процесса во времени:
чем медленнее изменяется случайный процесс, тем шире корреляционная функция.
Для двух процессов определяется взаимная корреляционная
функция
T
R )()(
xg
1
lim)(
T
ò
¥®
T
2
-
T
+×=
dttgtx
tt
,
которая характеризует взаимосвязь случайных процессов во времени.
Зачастую для аппроксимации монотонных корреляционных
функций используют выражение
222
ta
t
t
-
=
¹
t
(
)
+
=
ttttt
+++
=
t
-
= eD)(R
,
xx
для колебательных -
ta
-
= eDR
xx
)cos()(
btt
,
где α и β – постоянные величины.
Время корреляции определяется как минимальное время,
при котором достигается устойчивое неравенство
t
xkx
2
, Δ - допустимая погрешность.
D£-
m)(R
Свойства корреляционных функций
1. Корреляционная функция является четной функцией
)(R)(R
.
xx
2. Значение корреляционной функции для
превышать значения )(R
0 , т. е. корреляционная функция, как
x
не будет
0
правило, убывает при увеличении t.
3. Значение корреляционной функции при τ=0 равно сред-
нему квадрату случайного процесса
T
x
lim)0( хmDdttx
T
¥®
2
T
R
1
)(
ò
T
-
222
=+=×=
.
xx
Предел корреляционной функции при возрастающем τ
lim
t
¥®
2
mR =
t
.
xx
4. Корреляционная функция суммы двух случайных про-
цессов )t(G)t(X)t(Y
равна
)(R)(R)(R)(R)(R
.
gxxggxy
17.2. Спектральная плотность случайного процесса
При исследовании случайных процессов в АСУ используют
также особую характеристику стационарного случайного процесса - спектральную плотность.
В ТАУ существуют два взаимно дополняющих подхода исследования систем управления:
223
1) временной – исследование процессов во времени;
w
t
-
=
t
2) частотный – исследование частотных свойств сигналов и
систем с помощью частотных характеристик.
Аналогичная ситуация наблюдается и при рассмотрении
случайных процессов. Основная временная характеристика стационарного процесса – это корреляционная функция, а частотные
свойства описываются спектральной плотностью.
Спектральная плотность – это функция, которая показывает распределение дисперсий (мощности сигнала) по частотам.
Она представляет собой информацию о полезных сигналах,
помехах и возмущениях, которая очень важна для разработчика
систем управления. Система должна быть спроектирована так,
чтобы усиливать сигналы с «полезными» частотами и подавлять
«вредные» частоты, характерные для помех и возмущений.
Спектральная плотность )(
S случайного процесса нахо-
x
дится на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции )(
¥
xx
ò
¥-
R
x
-
wt
j
×=
)()( ,
ttw
deRS
где 1-=j - мнимая единица; ω - угловая частота в рад/с
(ω=2πf, где f - частота в герцах);t - аргумент корреляционной
функции (
tt
).
21
Спектральная плотность для случайного процесса, имею-
ta
щего корреляционную функцию
¥
-
ta
-
xx
¥-
j
t
0
x
¥-
-
= eD)(R
-
)j(
xx
+=×=
, будет равна
0
+-
)j(
òòò
x
0
twatwawt
.deDdeDdeeD)(S
tttw
Интервал интегрирования разбит на две части, чтобы избавиться от операции выделения модуля: в первом интеграле τ отрицательное, во втором - положительное. Выполняя интегрирование, получаем:
0
)(
-
j
eD
x
)(
w
=
S
x
-
j
¥-
eD
x
+
+
¥
)(
twatwa
--
j
=
wawa
j
0
2
2
a
D
x
.
22
wa
+
224
На рис. 135, а показана корреляционная функция, а соот-
w
w
-
=
ветствующая ей спектральная плотность на рис. 135, б.
а б
Рис. 135. Характеристики случайного процесса: а - корреляционная
функция; б - спектральная плотность
Для определения Rx(τ) по известной Sx(ω) пользуются об-
ратным преобразованием Фурье:
¥
1
t
)( .
2
xx
ò
p
¥-
wt
j
×=
ww
deSR
)(
Поскольку корреляционная функция четная, то спектральную плотность можно определить как
¥
() ()
ò ò
¥-
[ ]
¥
¥-
()
×=-×=
cos)(2sincos)()(
xxx
Как видно, спектральная функция является действительной
функцией действительного аргумента .
.
twtttwtwttw
dRdjRS
Свойства спектральных плотностей
1. Ширина спектральной плотности и корреляционной
функции связаны обратной зависимостью: чем шире корреляционная функция (больше время корреляции), тем уже спектральная
плотность, и наоборот.
2. Спектральная функция является четной функцией
)(S)(S
xx
.
3. Значение корреляционной функции при τ=0 может быть
получено через спектральную плотность как
225
~
=
=
w
)0( .
==+=
p
ò
0
()
xxxx
ww
dSxmDR
¥
1
22
17.3. Белый шум
Случайный процесс, в котором отсутствует связь между
предыдущими и последующими значениями получил название
чистый случайный процесс или белый шум.
Белый шум - это случайный процесс, частотные компоненты
которого имеют примерно одинаковую мощность на всех частотах.
Благодаря этому свойству он и получил своё название: считается,
что белый солнечный свет представляет собой равномерную смесь
электромагнитных колебаний различных частот. По аналогии, белым шумом стали именовать любые сигналы, обладающие характерным плоским спектром. Пример белого шума и соответствующий ему спектр мощности представлены на рис. 136.
а б
Рис. 136. Пример белого шума (а) и его рассчитанного спектра
мощности (б)
Белый шум это стационарный процесс, имеющий равномерную спектральную плотность по всем частотам:
SS
x
0
.const)(
В природе и технике «чисто» белый шум (то есть белый
шум, имеющий одинаковую спектральную мощность на всех частотах) не встречается ввиду того, что такой сигнал имел бы бесконечную мощность, однако под категорию белых шумов попадают любые шумы, спектральная плотность которых одинакова
(или слабо отличается) в рассматриваемом диапазоне частот.
226
Примерами такого белого шума являются шум стабилитро-
tdt
=
t
d
=
w
на, через который протекает очень малый ток. Если включить на
полную громкость какой-нибудь электронный усилитель, то мы
услышим мягкое шипение - это тоже белый шум.
Корреляционная функция белого шума )()(
SR
x
, по-
0
этому
где )(
x
- дельта-функция.
¥
ò
¥-
j
-
wt
)()( SdeSS
=××=
ttdw
,
00
При моделировании систем управления обычно используют
белый шум с ограниченной полосой, который имеет равномерный спектр
)( SS
в полосе частот от -ω0 до ω0 и нулевой вне
x
0
этой полосы.
17.4. Прохождение случайного процесса
через линейную систему
Исследование систем управления при случайных возмущениях возможно с использование двух подходов:
1) вероятностного – на основе плотностей распределения
вероятностей;
2) статистического – с помощью усредненных характери-
стик: математического ожидания, дисперсии, корреляционной
функции, спектральной плотности.
Рассмотрим вероятностный подход. Пусть на вход линейной системы с известной передаточной функцией W(s) и импульсной переходной функцией (весовой функцией)
дей-
)t(w
ствует случайный сигнал x(t) с корреляционной функцией Rх(τ)
(рис. 137).
227
t
х
(t)
y(t)
)t(
w
Rx(τ),Sx(ω)
Ry(τ),Sy(ω)
R
x
y
(τ),S
x
y
(ω)
х
y(t)
)t(
w
Rx(τ),Sx(ω)
Ry(τ),Sy(ω)
R
x
y
(τ),S
x
y
(ω)
х
y(t)
)t(
w
Rx(τ),Sx(ω)
Ry(τ),Sy(ω)
R
x
y
(τ),S
x
y
(ω)
х
y(t)
)t(
w
Rx(τ),Sx(ω)
Ry(τ),Sy(ω)
R
x
y
(τ),S
x
y
(ω)
(t)
(t)
(t)
W(s),
W(s),
W(s),
W(s),
Рис. 137. Случайные процессы на входе и выходе системы
При стационарном случайном входе x(t), выход y(t) ли-
нейной стационарной системы (т.е. системы у которой все характеристики не зависят от времени) - тоже стационарный случайный процесс.
Выходной сигнал на основании формулы свертки будет равен
tt
òò
00
-×=×-=
.)()()()()(
dtwxdwtxty
llllll
,
гдеl - независимая переменная интегрирования, являющаяся
временем.
Математическое ожидание выхода равно
t
-×==
d)t(w)(x)]t(y[M)t(m
lll
y
ò
0
,
гдеx - среднее по времени.
Корреляционную функцию )(
R в соответствии с эргоди-
y
ческой теоремой для стационарного случайного процесса можно
определить как
T
где
1
R
- любая выходная реализация случайного процесса.
)(tу
lim)(
y
T
ò
¥®
2
T
-
T
,)()(
+=
dttуtу
tt
сигнала
228
Подставляя в последнее выражение значения выходного
t
×-=
d)(w)t(x)t(y
ò
0
lll
t
t
t
и
ò
0
×-+=+
d)(w)t(x)t(y
hhhtt
,
где η - время, а также изменяя последовательность интегрирования и перехода к пределу, запишем:
T
é
1
t
w
lim)(
T
t T
é
ê
ò òò
ê
00
ë
ò
¥®
2
T
-
T
1
lim)(
2
T
®
¥
T
ê
ê
ë
-
T
R
y
=
tt
òò
00
×-+×-=
ù
)()()()(
=
dtdwtxdwtx
hhhtlllt
ú
ú
û
ù
--+
×
ú
ú
û
.)()()(
ddwdttxtx
lhhlhtl
Поскольку выражение в квадратных скобках является корреляционной функцией входного воздействия для аргумента,
равного разности аргументов, стоящих под интегралом, т. е.
(t+τ-η) –(t-λ)= τ-η+λ, то корреляционная функция для у будет равна
¥ ¥
ò ò
0 0
xy
-+=
.)()()()(
hhlthllt
dRwdwR
Данное выражение является основным интегральным соотношением, позволяющим по известной корреляционной функции
)(
t
R
случайного процесса на входе системы и известной весо-
x
вой функции
случайного процесса на выходе системы.
)(
R
y
системы найти корреляционную функцию
)t(w
Взаимная корреляционная функция
T
1
R
xy
T
1
lim
=
=
2
T
¥®
T
¥
w
0
-
lim)(
T
ò
2
T
¥®
-
T
¥
T
ò
ò
0
T
T
1
òò
2
T
¥®
-
T
¥
ò
0
lim)(
=
+
-=
xxy
)()(
dttуtx
tt
×-+
-+
равна
)(
R
xy
=
)()()(
=
dtdwtxtx
lllt
,)()(
dtdtxtx
lltl
.)()()(
lltlt
dRwR
229
Определим связь между спектральными плотностями
-
t
w
j
w
+
=
входного и выходного случайных процессов. Спектральная
плотность случайного процесса
¥
=
ò
Подставив в это выражение значение
¥
на выходе системы будет
)t(У
wt
j
-
.)()(
ttw
yy
deRS
)(
R
y
и выполнив
необходимые преобразования, получим:
2
),()()(
www
SjWS =
xy
где )(
jW - частотная передаточная функция.
Взаимная спектральная плотность
).()()(
www
SjWjS ×=
xxy
Спектральная плотность стационарного случайного процесса на выходе линейной системы равна спектральной плотности случайного процесса на входе системы, умноженной на квадрат модуля частотной передаточной функции этой системы.
При прохождении через линейную динамическую систему меняются не только характеристики случайного процесса, но
и их функции распределения. Причем установить закон распределения вероятностей выходного сигнала при известных статистических характеристиках входного процесса возможно только
для двух случаев:
1) входной нормально распределенный процесс
после линейного преобразования обеспечивает нормальное распределение выходного процесса
2) входной гармонический сигнал
;
)(ty
tAtx
1
x
со случайной фазойj обеспечивает гармонический выходной
сигнал с измененной амплитудой
,
AjWA ×= )(
w
xy
1
)(tx
)sin()(
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]