Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
К типовым входным воздействиям относятся:
=
f
t10
×
=
- единичная ступенчатая функция;
- импульсное воздействие;
- гармонические воздействия.
Единичной ступенчатой функцией 1(t) или функцией Хе-
висайда называется функция, равная:
£
0при0
ì
=
1
)t(
í
î
t,
>
.0при1
t,
Если n=0, выражение функции полиномиального вида бу-
дет следующим
),(1)(
tftf
0
а при
f =1, )(1)( ttf
0
.
Графическое изображение единичного ступенчатого воз-
действия показано на рис. 28.
Для автоматических систем ступенчатая функция 1(t) является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения,
выключения элементов систем и вызывают переходы от одного
установившегося состояния к другому (изменение задания температуры в теплообменнике, уровня в баке и т. д.).
Рис. 28. Единичное ступенчатое воздействие
Единичное импульсное воздействиеd(t) или дельта-функция
Дирака представляет собой математическую идеализацию им-
51
пульса бесконечно малой длительности, бесконечно большой амплитуды, имеющего конечную площадь, равную единице
.1)(
d
ò
В качестве импульсного типового воздействия используется воздействие следующего вида:
=
)t(
d
Графическое представление импульсного воздействия
представлено на рис. 29.
Рис. 29. Единичное импульсное воздействие
Для автоматических систем является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая
функция. Практически реализовать дельта-функцию Дирака
d(t) сложнее чем функцию 1(t). Однако для теоретического описания
возмущений имеет существенное значение. Подобные воздействия
характерны для момента включения, скачков тока и т. д. (рис. 30).
=dtt
¹
0при0
ì
í
î
t,
=¥
.0при
t,
52
f
0
Δt
Рис. 30. Практическая реализация импульсного воздействия
t
Существует связь между единичной ступенчатой функцией
и дельта – функцией
t
dt)t()t(
ò
¥-
или1
)t(d
1
).t(
dd
==
dt
При математическом описании систем дельта-функциюd(t
можно грубо представить с помощью двух ступенчатых функций
d(t)
» N 1(t) - N 1(t-t) ,
где N - амплитуда функций;t - время, на которое запаздывает
вторая ступенчатая функция, при этом t ® 0 (рис. 31).
f
)
0
τ
Рис. 31. Реализация импульсного воздействия
с помощью двух ступенчатых функций
t
Гармоническое входное воздействие представляет собой
синусоидальное воздействие, подаваемое на вход системы
х(t) = A·sin(ω),
где А – амплитуда колебаний; ω = 1/Т – частота колебаний; Т –
период колебаний; t – время.
Графическое представление гармонического воздействия
приведено на рис. 32.
Если использовать формулу Эйлера, гармонический сигнал
можно записать:
х(t) = А
j
w
где e
= cos(ωt) + j.sin(ωt); 1-=j - мнимая единица.
вх
.ejwt
53
Рис. 32. Гармоническое воздействие
Периодические гармонические сигналы составляют особый
класс воздействий на САР, которые определяют частотные характеристики системы. Примерами гармонических воздействий
являются переменный ток, пульсирующее давление воздуха от
компрессора, вибрации и т. д.
Виды временных характеристик
Графическое изображение переходных процессов объекта
или системы, полученных при типовых воздействиях, называют
динамическими (временными) характеристиками.
В зависимости от вида входного воздействия различают
следующие динамические характеристики:
- переходная;
- импульсная (весовая);
- частотная.
Переходной функцией h(t) - называют функцию, описы-
вающую реакцию объекта на единичное ступенчатое воздействие
1(t) при нулевых начальных условиях, т. е. при х(0) = 0 и у(0) = 0.
График переходной функции, представляющий собой зави-
симость функции h(t) от времени t, называют переходной харак-
теристикой (рис. 33).
54
Рис. 33. Переходная характеристика
dt
В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого
воздействия отлична от единицы или (и) начальные условия не
нулевые, получают разновидность переходной характеристики,
которая называется кривой разгона.
Импульсной или весовой функцией w(t) - называют функ-
цию, описывающую реакцию объекта на единичное импульсное
воздействие δ(t) при нулевых начальных условиях.
График зависимости функции w(t) от времени называют
импульсной или весовой характеристикой (рис. 34).
Рис. 34. Импульсная характеристика
Между переходной и импульсной функциями существует
следующая зависимость:
tdh
).()(tw
=
Частотными характеристиками - называются зависимости амплитуды и фазы выходного сигнала системы в установившемся режиме от частоты входного гармонического воздействия.
55
8.2.3. Частотные характеристики
В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает
необходимость определить реакцию системы на периодические
сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САУ, если на один из
входов подается периодически сигнал гармонической формы.
Решение этой задачи можно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть
получены аналитическим или экспериментальным путем
Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы: х = Авхsin(ωt), то на выходе системы после окончания
переходных процессов будет также синусоидальный сигнал той
же частоты ω, но другой амплитуды А
сдвигаj: у(t) = А
sin(ωt +j) (рис. 35).
вых
и с углом фазового
вых
х(t)
Рис. 35. Прохождение гармонического сигнала через СУ
СУ
При разных значениях ω величины А
у(t)
иj, как правило,
вых
также будут различными. Зависимость отношения амплитуды
выходного сигнала к амплитуде входного от частоты называют
амплитудно-частотной характеристикой, зависимость смеще-
ния фазы выходного сигнала по отношению ко входному от частоты – фазовой частотной.
Различают следующие виды частотных характеристик:
– АФЧХ - амплитудно-фазовая или комплексная частотная
характеристика (КЧХ), называемая в зарубежной литературе диаграммой Найквиста;
- АЧХ - амплитудно-частотная характеристика;
- ФЧХ - фазово-частотная характеристика;
- ЛАЧХ, ЛФЧХ - логарифмические амплитудная и фазо-
вая частотные характеристики.
56
Величину х можно записать в комплексной форме
w
w
www
www
+
=
х(t) = Авх(cos(ωt) + j.sin(ωt)),
где j =
Если использовать формулу Эйлера e
х(t) = А
- мнимая единица.
1-
.ejwt
.
вх
j
a
= cosa + j.sina, то
Выходной сигнал y(t) будет равен:
y(t) = А
вых
.ej(wt+j)
.
В математике АЧХ и ФЧХ называют модулем и аргументом комплексной функции:
)(
wj
j
)()(
ww
eAjW = .
Комплексная частотная характеристика (КЧХ) строится на
комплексной плоскости и представляет собой кривую траектории
конца вектора )(
(
= 0 ÷ ∞), называемую годографом.
jW в рабочем диапазоне изменения частот
На рис. 36 показан годограф (АФЧХ), построенный по трем
точкам для частот
,,
321
Рис. 36. АФЧХ
Комплексная частотная характеристика определяется как
преобразование Фурье весовой функции. Обычно ее получают из
передаточной функции W(s) путём подставки вместо s jω. КЧХ
можно записать в комплексном виде
)()()(
jImRejW
,
57
где Re(ω) - вещественная составляющая; Im(ω) - мнимая состав-
w
w
j
w
ляющая.
Соответственно амплитудно-частотная )(
частотная )(
характеристики связаны с комплексными состав-
А и фазово-
ляющими следующими формулами:
22
;)(Im)(Re)(А
www
+=
)(
arctg)( ,...,kk
wj
Im
Re
=±=
p
)(
w
.10,
На рис. 37 представлены графики АЧХ и ФЧХ, построенные по трем точкам.
Рис. 37. АЧХ и ФЧХ
Кроме рассматриваемых выше частотных характеристик, в
инженерных расчетах часто используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). ЛЧХ называют также диаграммами Боде.
Логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика (ЛАЧХ)
Характеристика, определяющая зависимость взвешенного
десятичного логарифма АЧХ от частоты, называется ЛАЧХ. Более конкретно ЛАЧХ задается формулой L (w) = 20.lg A(w).
Единицей измерения логарифмической характеристики является
децибел (дБ), равный 0,1 бела.
58
Бел представляет собой логарифмическую единицу измере-
±
ния отношения мощностей, соответствующую десятикратному
увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению
мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз и т.д. Децибел – это десятая
часть бела.
При построении графика ЛАЧХ (рис. 38) по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе lgw, причем
изменению частоты в 10 раз соответствует изменение логарифма
частоты на одну декаду. Это означает, что равным величинам от-
резков по осиw соответствуют кратные значения частоты. Для
ЛЧХ кратность равна 10. Зачастую на оси частот указывают также значения частотыw, выраженные в радианах в единицу времени. По оси ординат откладываются значения L(w) в децибелах
в обычном масштабе.
Помимо точных ЛАЧХ при синтезе и анализе САУ широко
используют асимптотические характеристики, состоящие из
отрезков прямых с нулевым наклоном или наклоном, кратным
20 дБ/дек (децибел на декаду).
Логарифмическая фазово-частотная характеристика (ЛФЧХ)
ЛФЧХ представляет логарифмическую характеристику, у
которой ось частотыw проградуирована в логарифмическом
масштабе, аналогично ЛАЧХ, а по оси ординат откладываются
фазыj в градусах или радианах в линейном масштабе. Примеры
ЛЧХ представлены на рис. 38.
Рис. 38. ЛАЧХ и ЛФЧХ
59
На практике логарифмические частотные характеристики
w
-
1
T
w
+
1
T
w
+
w
TKdt
строятся на совмещённой системе координат, когда по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе lgw, а
по оси ординат значения L(w) и фазыj.
Расчет и построение графиков частотных характеристик
представлен в примере 3.
Пример 3.
Построить частотные характеристики элемента САР,
имеющего переходную функцию вида
Т/t-
-= 1
),e(K)t(h
где К = 2; Т = 3.
Весовая функция будет равна
dh
)t(w
==
Т/t-
.e
Определим комплексную частотную характеристику, записав
преобразование Фурье от весовой функции
1
ö
¥ ¥
w
ò ò
0 0
K
tj
-
w
dte)t(w)j(W
==
T
æ
jt
+-
w
÷
ç
T
ø
è
dte
=
.
w
jTK+1
Чтобы избавиться от комплексности в знаменателе, домно-
жим числитель и знаменатель КЧХ на функцию, комплексносопряженную знаменателю
)1(
jTK
ww
jTjT
-+
Получаем: Re(ω) =
и Im(ω) = -
KT
1 T
w
+
=
)1)(1(
1 T
22
= -
KTjK
w
-
22
K
=
22
w
+
6
w
×
91
w
×+
=
1 T
.
2
K
22
w
+
- j
KT
w
.
22
2
2
91
w
×+
Изменяяw от 0 до ¥, вычисляем Re(ω) и Im(ω). Результаты
вычислений представлены в табл. 1.
Таблица 1
ω 0 0,01 0,5 10 ∞
Re(ω) 0 1,99 0,62 0,002 0
Im(ω) 0 -0,06 -0,92 -0,067 0
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]