Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
Рис. 126. Асимптотическая ЛАХ желаемой системы
Рис. 127. Зависимость L1 от перерегулирования
201
5. Строят желаемую ЛАХ Lск(ω) во всей частотной области.
+
+
+
При этом для обеспечения построения используются типовые передаточные функции, приведенные в табл. 10. Там же приведены
отрицательные наклоны асимптот соответствующих логарифмических амплитудных характеристик.
Таблица 10
Тип
ЛАХ
1
2
3
4
Передаточная функция Отрицательные
наклоны асимптот в дБ/дек
)1(
sTk
)(
=
sW
1
)(
=
sW
2
)(
=
sW
3
)(
=
sW
4
2
)1)(1(
++
sTsTs
31
)1(
sTk
22
)1)(1(
++
sTsTs
31
)1(
sTk
2
+
sTk
2
2
)1)(1(
++
sTsTs
31
2
)1(
2
)1)(1(
++
sTsTs
31
20-40-20-40
20-60-20-40
20-40-20-60
20-60-20-60
Передаточные функции и ЛАХ всех четырех типов, приведенных в табл. 10, полностью определяются заданием четырех
параметров: k , T1, T2 и T3. Последние три параметра определяют
сопрягающие частоты ωi= 1/Ti, i =1 ,2 ,3. ЛАХ полностью определяется заданием следующих четырех величин: коэффициента
усиления в децибелах LAпри частоте ω=ω1(рис. 126), частоты
среза ωc, и двух относительных сопрягающих частот ωн /ωcи
ω
. При построении желаемой ЛАХ Lск(ω) ее низкочастотные и
в/ωc
высокочастотные участки следует располагать как можно ближе
к ЛАХ нескорректированной системы Lс(ω). Это позволяет упростить реализацию корректирующего устройства. При этом в низкочастотной области совпадение Lс(ω) и Lск(ω) обычно достигается подбором коэффициента усиления желаемой системы, а в
высокочастотной – соответствующим выбором желаемой ЛАХ.
При формировании желаемой ЛАХ можно также увеличивать запасы по модулю L1 и L2, если это способствует совпадению
асимптот Lс(ω) и Lск(ω). Это обусловлено тем, что увеличение L
и L2приводит к уменьшению P
202
и
P а следовательно, коле-
max
min
1
бательность переходного процесса уменьшается, и условие
+
+
*
σ
≤σ
max
выдерживается.
max
6. После сформирования ЛАХ скорректированной системы
Lск(ω) необходимо проверить, выдерживается ли требуемое значение запаса устойчивости по фазе, которое определяется по кривой Φ(σ
), приведенной на рис. 127. Для этого необходимо под-
max
считать фазовый сдвиг в двух крайних точках среднечастотного
участка, т.е. при ω =ωн и ω =ωв, определенных для найденной
желаемой передаточной функции разомкнутой системы. Так, например, для ω =ωни при передаточной функции типа 1 (табл. 10)
этот сдвиг равен
φ
= -90о− arctgωнT1 + arctgωнT2 − arctgωнT3.
н
Аналогично вычисляется сдвиг фаз φвпри ω =ωв. Если требуемый запас по фазе Φ* не выдержан, т. е. Φi = (180 +φi)≤ Φ*,
i=н,в, необходимо расширить среднечастотный участок желаемой
ЛАХ и произвести повторный расчет.
Чтобы окончательно убедиться в приемлемости полученной ЛАХ, можно, определив соответствующую передаточную
функцию, построить переходный процесс в системе и проверить
справедливость неравенств σ
max
≤σ
*
max
, tр ≤ t
*
.
р
После окончательного сформирования желаемой ЛАХ, вычитают из нее ординаты нескорректированной ЛАХ. Полученная
разностная ЛАХ соответствует передаточной функции последовательного корректирующего звена. Например, при Lс(ω) и Lск(ω)
представленных на рис. 128, ЛАХ корректирующего звена
Lк(ω)=Lск(ω)-Lс(ω) и соответствует передаточной функции вида
)1)(1(
sTsT
)(
=
sW
k
32
,
)1)(1(
++
sTsT
41
где Ti = 1/ωi, i =1, 2, 3, 4 - постоянные времени, определяемые со-
прягающей частотой ωc.
203
,
BuAxx+=
&
Cx,y=
Рис. 128. Асимптотические ЛАХ корректирующего звена, исходной
и скорректированной систем
Последовательное корректирующее звено с данной передаточной функцией может быть заменено эквивалентным параллельным звеном или звеном с обратной связью.
16.6. Синтез модальных регуляторов
Этот метод синтеза замкнутых систем используется при
описании систем в пространстве состояний, т. е. с помощью
уравнений
где x, y, u - векторы координат состояния системы, выходов объ-
екта и управлений; A, B, C – матрицы коэффициентов.
Если все переменные x(t) состояния известны, возникает
ts
возможность управления каждой составляющей
i
переходного
e
процесса замкнутой системы, где si- i-й корень характеристиче-
ского уравнения замкнутой системы. Эти составляющие называются модами, а способ управления, основанный на размещении
204
корней характеристического уравнения определенным образом, –
CxyBxAx=×+×=
&
(
)
модальным управлением.
Переменные состояния могут быть измерены с помощью
соответствующих средств измерения. Тогда регулятор, использующий обратные связи по переменным состояния, называется
регулятором состояния. При этом качество переходного процесса определяется расположением корней siна комплексной плоскости, которое, в свою очередь зависит, от коэффициентов передачи цепей обратной связи. Если часть переменных состояния
не может быть измерена, тогда строится так называемый наблю-
датель состояния (модель объекта управления), который воспроизводит не поддающиеся измерению переменные состояния.
Наблюдатель, выходными координатами которого являются все
переменные состояния объекта управления как воспроизведенные, так и измеренные, совместно с регулятором состояния образует модальный регулятор.
Система модального управления приведена на рис. 129, где
регулятор состояния (РС) и наблюдатель состояния (НС), включенные в замкнутый контур, образуют модальный регулятор.
Приведение системы в любое заданное состояние означает
принципиальную возможность управляемости, а возможность
определения состояния системы по результатам измерений - наблюдаемости.
Рассмотрим полностью управляемый объект с одним
управляющим воздействием u (скалярное управление), уравнения
состояния и выходов которого имеют вид
,u
где x - вектор координат состояния (xi, i=1,2…n); А, С - матрицы
коэффициентов системы; u - управление; B - вектор коэффициентов управления; у – вектор выходов объекта. Полагаем, что все
переменные состояния х
использованы при построении регулятора состояния. Система в
этом случае называется системой с полной информацией о состоянии.
,
t (i=1,2…n) могут быть измерены и
i
205
[
]
&
Рис.129. Система модального управления: ОУ – объект управления;
КBA×-
НС – наблюдатель состояния; РС – регулятор состояния;
хз - задание
Линейный закон управления, реализованный с помощью
обратной связи по всем переменным состояния, имеет вид
,xК ×-=Тu
где K - вектор коэффициентов передачи обратной связи; Т - при-
знак транспонирования.
Тогда замкнутая система описывается следующими уравнениями состояния:
.ТxKBAx ××-=
Проектирование регулятора состояния заключается в таком
выборе матрицы коэффициентов передачи К, чтобы были полу-
чены желаемые динамические свойства системы.
Метод синтеза регулятора состояния состоит в достижении
желаемого расположения на комплексной плоскости корней характеристического уравнения системы, т.е. собственных значе-
ний матрицы замкнутой системы
Решать задачу синтеза модального регулятора можно так
же, как и в рассмотренных выше корневых методах, т. е. записать
характеристический полином замкнутой системы через выбран-
ные корни и через определитель матрицы
где I – единичная матрица, затем, сопоставляя коэффициенты при
одинаковых степенях s, составить систему уравнений относи-
тельно коэффициентов ki, i=1..n, и решить ее.
Т
.
s KBAI ×+-×
Т
,
206
Большее распространение имеет метод, использующий
BAxx+=
&
[
]
BxAx+
=
&
[
]
матричные преобразования. Этот метод состоит из следующих
этапов.
1. При известном математическом описании объекта управ-
ления составляют уравнение состояния .u
2. Вычисляют матрицу управляемости объекта и проверяют
совпадение ранга этой матрицы с размерностью системы
1n2 -
= .
BAB,...,AAB,B,U
Согласно Р. Калману при R = n система полностью управляема, при 0 < R< n – не полностью управляема, а при R= 0 –
неуправляема (n соответствует количеству дифференциальных
уравнений в системе).
3. Определяют характеристический многочлен матрицы А
по формуле
1
n
А
AI .
n
-
1
n
-
...)(det)( asаsаsssD
++++=-×=
01
4. Если пара матриц A и B полностью управляема, то она
записывается в так называемой канонической форме Луенбергера
é
ê
*
ê
=
A и
ê
...
...
ê
ë
0010
ù
ú
0100
ú
ú
....
ú
----
a...aaa
-1210
n
û
0
ù
é
ú
ê
0
*
ú
ê
=
B .
ú
ê
...
ú
ê
1
û
ë
Элементы последней строки матрицы А* равны коэффициентам характеристического полинома матрицы А, взятыми со
знаком минус. Матрицу А* называют также матрицей
Фробениуса.
Измененным матрицам А и В соответствует новое уравнение состояния объекта
.u****
5. По матрицам А* и В* составляют новую матрицу управ-
ляемости
1n2 -
=
******** BA,...,BA,BA,BU
и находят матрицу перехода от исходного уравнения к преобразованному в каноническую форму
207
.U*UT1-=
ITТ1=
&
BxAx+
=
&
xТx
&
&
=
*,Txx=
*
ТAT
A-=
*
ТBB=
*
К
Переход от исходного уравнения к преобразованному осуществляется умножением слева каждого слагаемого исходного
уравнения на матрицу Т, а также умножением матрицы А справа
-
на
Сопоставляя последнее уравнение с
, т.е.
1+=-
.
uТBTxТATxТ
,
u****
можно записать соотношения между исходными матрицами, а
также векторами и преобразованными:
,
1
,
.
Линейное преобразование дифференциального уравнения
не изменяет корней характеристического уравнения.
6. По выбранным корням характеристического уравнения
записывают характеристический полином замкнутой системы в
форме Безу
n
( )
-=
Õ
i
ss)s(D
=
iж
1
и, раскрывая скобки, сводят подобные члены
1
ж
n
n
-
1
n
-
bsb...sbs)s(D
++++=
01
7. Вычисляют компоненты канонического вектора обрат-
ной связи
)(sD
p
*
как разность коэффициентов полиномов )(sD
*
i
ii
n,...i,abк
1=-= .
ж
8. С помощью матрицы преобразования Т преобразуют ко-
эффициенты вектора К* из канонического базиса, в котором они
определены, в естественный базис, в котором записаны исходные
уравнения состояния, т.е. определяют вектор К = К*Т·Т .
Коэффициенты этого вектора кiи являются коэффициентами передачи обратной связи, при которых обеспечивается желаемое поведение системы, соответствующее характеристическому
полиному )(sD
.
ж
и
208
Таким образом, в соответствии с теорией модального
BAxx+=
&
=
управления для всякого полностью управляемого объекта, описываемого дифференциальным уравнением u,
всегда
можно найти линейное управление
такое, что корни
хКТ=u
(моды) характеристического уравнения замкнутой системы
Т
ssD KBAI
0)(det)( =×+-×=
имеют наперед заданные значения s1, s2... sn.
Применение рассмотренного метода синтеза для условий
задачи из примера 21 показано в примере 22.
Пример 22.
Для объекта с передаточной функцией
)(++=
sWo
Ko
)12)(11(
sTsT
и исполнительного механизма с передаточной функцией
sKиsWи /)(
,
при Ко=2, Т1=10, Т2=20, Ки=0,5 определить коэффициенты модального регулятора, обеспечивающие в замкнутой системе регулирования время регулирования не больше 30 с при q=0,05 и
величину перерегулирования не больше 20 %.
Синтезируем модальную систему в соответствии с приведенным алгоритмом.
1. Объект управления с исполнительным механизмом можно
представить в виде последовательного соединения интегрирующего звена и двух апериодических первого порядка (рис. 130).
Рис. 130. Схема объекта управления
Обозначив выходы звеньев как х1, х2, х3 и переходя от пере-
даточных функций к дифференциальным уравнениям, запишем
систему уравнений Коши для переменных состояния.
Для интегрирующего звена
209
×
=
'
(
)
×=+
T
T
111
(
)
=
+
T
T
212
СхBAxx=+=
&
или )t(uKи)t(x
1
Для второго звена
Ko
=
)(
sW
1
Kи
)s(Wи
s
×=
2
+
11
sT
1
)s(X
1
®==
)s(U
1
)s(UKи)s(sX
,
.
)(
sX
®=
)(
sX
)s(XKo)s(XsT1211
,
или
'
Ko
)t(x
)t(x
.
)t(x
×-×=
212
Аналогично для третьего звена
2
'
)t(x
+
sT
12
1
)t(x
1
=
)s(W
3
2
×-×= .
)s(X
®=
12
)s(X
)t(x
323
Выход объекта y(t)=x3(t).
В матричной форме систему уравнений можно записать
как:
уu,
,
где
é
ê
ê
Ko
A ,
ê
ê
ê
0
ê
ë
1
-=
1
1
TT
1
2
ù
ú
000
ú
0
ú
ú
1
ú
ú
û
1
TT
x
ù
é
1
ú
ê
=
x
x ,
2
ú
ê
ú
ê
x
3
û
ë
Kи
ù
é
ú
ê
=00
B ,
ú
ê
ú
ê
û
ë
é
ê
=
C .
ê
ê
ë
)s(X)s(XsT
,
23
000
ù
ú
000
ú
ú
100
û
000
é
В численном выражении
210
ê
ê
ê
ë
,,A ,
ù
ú
01020
B .
ú
ú
--=0500500
,,
û
é
ê
=00
ê
ê
ë
50,
ù
ú
ú
ú
û
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]