Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
Корректирующие элементы (звенья) могут быть включены
в структуру САУ различными способами. Корректирующее звено
может быть добавлено к неизменяемой части системы последовательно, параллельно и в виде обратной связи.
Последовательная коррекция (рис. 115) заключается во
включении корректирующего звена последовательно с объектом
управления.
Рис. 115. Последовательная коррекция
Пусть передаточная функция скорректированной (желаемой) системы задана и равна Wск(s). Передаточная функция неизменяемой части системы равна Wнч(s). В этом случае корректирующее звено с передаточной функцией Wк(s) включается последовательно с неизменной частью системы, а его передаточная
функция определяется по известным Wнч(s) и Wск(s)
Wск(s) = Wнч(s)·Wк(s).
Откуда получаем передаточную функцию корректирующего звена
Wк(s) = Wск(s) / Wнч(s).
Если корректирующее устройство вводитcя перед неизменяемой частью системы и вносит производную от сигнала рассогласования х(t) = е(t), то происходит увеличение запаса устойчи-
вости и повышение качества переходного процесса. При введении интегрирующего и дифференцирующего звеньев обеспечивается астатизм в сочетании с сохранением устойчивости и качества переходной характеристики.
При параллельной коррекции корректирующее звено включается параллельно с неизменяемой частью системы (рис. 116).
181
Рис. 116. Параллельная коррекция
Передаточная функция скорректированной системы Wск(s)
будет Wск(s) = Wнч(s)+Wк(s).
Откуда получаем
Wк(s) = Wск(s) - Wнч(s).
Параллельное корректирующее устройство при меньшей
технической сложности реализации может обеспечить нужное
преобразование сигнала.
Коррекцию с помощью обратной связи или встречно-
параллельную коррекцию зачастую применяют для обеспечения
устойчивости объекта управления. При использовании корректирующего звена для улучшения динамических свойств системы
его передаточную функцию выбирают таким образом, чтобы выполнялось соотношение:
1)()(
>>×
ww
jWjW .
кнч
В этом случае свойства участка цепи, где включена коррекция, и изменение её параметров не оказывают влияния на
свойства всей системы. Это важное свойство является причиной
широкого применения коррекции в виде обратной связи. Обратная связь здесь обычно является отрицательной.
Корректирующее звено может быть включено как в цепь
обратной связи (рис. 117, а), так и в главную (прямую) цепь последовательно с неизменяемой частью системы (рис. 117, б).
182
Рис. 117. Встречно-параллельная коррекция: а - с помощью обратной
связи; б – последовательно с объектом
При встречно-параллельной коррекции передаточная
функция корректирующего звена будет
Wк(s) = (Wнч(s) - Wск(s))/ (Wнч(s)·Wск(s)).
При включении Wк(s) в прямую цепь и с единичной обрат-
ной связью получаем
Wк(s) = Wск(s)/ (Wнч(s)·(1-Wск(s))).
Использование того или иного вида коррекции в основном
определяется удобством технической реализации, поскольку в
линейных системах их динамические свойства могут быть в
принципе одинаковыми при любых типах корректирующих устройств. Применение встречно-параллельной коррекции показано
в примере 19.
Пример 19.
Необходимо синтезировать линейные ПД- и ПИ-
регуляторы, используя корректирующие звенья.
ПД-регулятор можно реализовать на базе П-регулятора с
передаточной функцией Wп(s) = kу при охвате его отрицательной
обратной связью в виде апериодического звена первого порядка с
передаточной функцией Wa(s)=ka/(Tas+1) (рис.118).
Рис.118. Реализация ПД-регулятора
183
Передаточная функция замкнутой системы запишется
+
+
+
+
в виде
)1(
k
)(
sW
=
с
1
у
k
+
у
a
=
k
a
)1(
sT
+
sTk
a
у
)1(
=
1
sTkk
++
aaу
(
k
у
1
sT
+
a
)
k
++
a
.
T
a
s
k
у
При достаточно большом коэффициенте усиления (kу >> 1),
величинами 1/kуи Ta/kу, можно пренебречь. Тогда
sT
a
)(
sW =+=+=
=
с
1
1
kk
sT
a
k
a
aa
).(
sWskk
ПДДП
Для реализации ПИ-регулятора введем положительную об-
ратную связь. Тогда получим
)1(
k
)(
sW
=
с
1
у
k
-
у
a
=
k
a
)1(
sT
+
sTk
aу
)1(
.
sTkk
+-
aaу
Если kуka= 1, то
sTk
)(
sW =+=+=
с
aу
=
sT
a
)1(
k
k
у
у
sT
a
1
kk
s
).(
sW
ПИИП
Таким образом, система, структурная схема которой представлена на рис. 118, может при определенных значениях параметров динамических звеньев реализовать как ПД-, так и ПИ- законы регулирования.
16.3. Параметрический синтез
систем автоматического управления
При проектировании САУ часто приходится решать задачи
выбора оптимальных параметров изменяемой части системы
(устройства управления), обеспечивающих экстремум принятого
критерия оценки качества процесса управления. Широкое применение в САУ получили ПИ-регуляторы, обеспечивающие во многих случаях удовлетворительное качество работы объекта управления. Типовая структурная схема такой системы представлена
на рис. 119.
184
Рис. 119. Структурная схема САУ
1
=+=+
W(s)k (Ts)
Пусть объект управления описывается колебательным звеном с передаточной функцией Wо(s)
k
)(
=
sW
о
о
22
x
.
12
++
sTsT
oo
Передаточная функция устройства управления Wр(s), реа-
лизующего ПИ-закон регулирования, имеет вид
kk
ppp
pp
Ts Ts
pp
,
где kр, Tр– искомые параметры ПИ-регулятора.
Передаточная функция замкнутой системы по каналу f → e
(возмущающее воздействие - ошибка) будет
)s(W
fe
=
)s(E
==
)s(F
+
1
x
232
)s(W
o
sTk
po
12
=
)s(W)s(W
op
.
kk)kk(sTsTTsTT
++++
popopopop
При этом изображение ошибки по Лапласу при подаче на
вход ступенчатого возмущения f (t)= 1(t) можно записать в стан-
дартном виде:
2
)()()(
sFsWsE
fe
=×=
2
3
3
2
bsbsb
++
01
2
asasasa
+++
01
)(
sB
=
,
)(
sA
где A(s), B(s) – алгебраические полиномы m-й и n-й степени соот-
ветственно (m=2, n=3); ai, bi - коэффициенты полиномов:
185
3
[
]
www
w
-
=
2
po
x
.bb,Tkb
0
===
021
12
012
,kka),kk(Ta,TTa,TTa
=+=+=
popopopop
В качестве критерия оценки качества функционирования
системы можно взять интегральный квадратичный критерий I2..
Учитывая что
¥
2
2
0
и
0 - изображение по Фурье
+¥
1
==
òò
p
2
¥-
2
ww
d)j(Edt)t(eI
,
j/)j(Wj)(W)j(E
ошибки регулирования, получаем для нашего случая
¥
2
dtteI
2
)(
0
+¥
1
==
òò
p
2
¥-
-
ww
jBjB
)()(
w
d
-
jAjA
.
ww
)()(
Подобные интегралы табулированы и для А(jω) третьего
порядка имеем
2
I
=
2
11022
)2(
aaaaaa
-
302130
aabaabbbaab
+-+
322031020
.
)(2
Подставив в полученные выражения значения коэффициентов полиномов aiи bi, окончательно получим
2
Tk
x
I
=
2 рр
[ ]
x
po
)1(2
-+
j
=
kkTkkTk
poopopp
).,(
Tk
Найденная зависимость интегральной оценки I2от изменяемых параметров системы в принципе позволяет исследовать
его на минимум, например, классическим способом: взяв частные
производные от I2по параметрам kри Tри приравняв их нулю.
Решив полученную систему уравнений относительно неизвестных параметров устройства управления, найдем их оптимальные
значения k
*
*
и T
р
, минимизирующие I2.
р
Задача нахождения I2=min практически не имеет однозначного решения. Поэтому для определения конкретных значений
параметров регулятора kри Tр, удовлетворяющих условию минимума интегральной квадратичной ошибки, применяются те или
иные инженерные методы, суть которых состоит в том, что значением одного из параметров регулятора задаются, а затем, ис-
186
следуя зависимость I2как функцию второго параметра определя-
¶
ют его оптимальное значение. В частности, искомые параметры
можно определить, воспользовавшись следующим приемом.
Возьмем частную производную
2
TI¶
p
, где I
определяется выше
2
рассмотренным выражением, и приравняв к нулю, найдем зависимость Tр =f(kр)
Tkk
оpo
T+=
p
x
Из приведенного выражения вытекает, что при
.
)1(
kk
po
kk >>1,
po
единицей, стоящей в знаменателе, можно пренебречь, и тогда
T
*
T »
о
p
, т. е. значение параметра управляющего устройства
x
T
p
при определенных условиях практически не зависит от коэффициента передачи пропорциональной части регулятора kр. В связи
с этим возникает возможность автономного определения kр=k
р
Заметим, что из полученного соотношения, определяющего квазиоптимальное значение
*
T , следует, что чем меньше величина
p
коэффициента демпфирования ξ, т.е. чем больше склонность системы к колебаниям, тем меньше должен быть коэффициент передачи интегральной части регулятора, уменьшая эту склонность.
Расчет коэффициентов ПИ-регулятора приведен в примере 20.
*
*
.
Пример 20.
Пусть параметры объекта управления в системе, представленной на рис.119, имеют следующие числовые значения
To=2,0 с; ξ=0,5; ko=1,2. Требуется определить оптимальные в
смысле минимума интегрального квадратичного критерия
(I2→min) параметры устройства управления kри Tр.
T
*
Воспользуемся соотношением
мальное значение параметра
T »
*
T = 2,0 /0,5=4 с. Подставив число-
p
о
p
и найдем опти-
x
187
вые значения параметров объекта управления (To, ξ, ko) и регуля-
2
Tk
тора
*
T в выражение
p
I-+=
2
[ ]
x
I+= .
2
x
po
)1(2
69
,
2
424
k,k
pp
, получим
kkTkkTk
poopopp
Зависимость I2 =f(kр) представлена на рис. 120.
Рис. 120. Зависимость I2от коэффициента пропорциональной
части регулятора
Ее анализ показывает, что при значениях kр>8 интеграл I
становиться близок к нулю, и дальнейшее увеличение коэффициента передачи регулятора нецелесообразно. Приняв kp= 8,
получим
)()()(
=×=
fe
sFsWsE
8,4
23
sss
.
8,102,47816
+++
Взяв от E(s) обратное преобразование Лапласа, найдем переходную функцию по каналу f → e, график которой представлен
на рис. 121.
188
2
Рис. 121. Переходной процесс для ошибки
16.4. Корневой метод
Данный метод разработан Т. Н. Соколовым в 1952г и является наиболее простым при определении параметров системы регулирования с фиксированной структурой. Корневой метод позволяет получить приемлемые динамические качества при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления.
16.4.1. Выбор параметров по степени затухания
Пусть имеется характеристическое уравнение
n
+а1s
n-1
+...+аn= 0.
а0s
С точки зрения скорейшего затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части всех корней данного
уравнения были отрицательными и как можно больше по абсолютной величине. Сумма модулей вещественных частей всех
корней численно равна первому коэффициенту а1 (при а0=1)
уравнения. Поэтому при заданной величине этого коэффициента
наиболее быстрое затухание переходного процесса получается
при равенстве вещественных частей всех корней. Из вычисленных корней всегда можно выделить два или три корня с меньшей
по модулю вещественной частью, которые определяют вид пере-
189
ходного процесса. Остальные же корни характеризуют быстро
()(
)
bab
a
-=+
=
b
a
a
-
=
98,0
=
Y
Y
затухающие составляющие, которые оказывают влияние только
на начальной стадии переходного процесса.
Положим, что основной характер переходного процесса оп-
ределяется двумя корнями и они комплексные. Перепишем исходное характеристическое уравнение в виде
n-2
(s
+C1s
n-3
+...+C
)·(s2+B1s+B2) = 0.
n-3
Второй сомножитель этого уравнения будет определять основной характер процесса. Его можно записать по формуле Безу
в виде
где
2
21
ssssBsBs --=++ ,
2121
js,js
- корни уравнения 0
2
21
=++ BsBs ;
, - действительная и мнимая части корней.
Подставляя выражения для корней в последнее равенство,
получим
Коэффициент
2
21
2
2
22
ba
+=B определяется значением коэф-
222
baa
++-=++ ssBsBs .
фициента усиления системы k и должен иметь возможно большее
значение для уменьшения погрешностей проектируемой системы.
Однако слишком большое увеличение B2 приводит к колебательному характеру переходного процесса.
Коэффициент
2
B определяется суммой двух низко-
1
частотных постоянных времени и связан с затуханием Ψ, следо-
вательно, он должен быть выбран исходя из двух противоречивых требований: быстродействия и устойчивости.
Оптимальное соотношение между B1 и B2 может быть получено из условия затухания за один период при степени затухания
s = α ± jβ, из выражения степени затухания
. С учетом того что имеем комплексные корни
2
m
1--= e
p
полу-
чим:
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]