Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
2. Составим матрицу управляемости
[
]
= .
é
ê
Так как
2
-=
ê
ê
ë
,,A ,
-
1n2 -
BAB,...,AAB,B,U
000
ù
ú
0010020
ú
ú
0025000750010
,,.
û
,
é
то
ê
U .
ê
ê
ë
0050
ù
ú
-=
010100
,,
ú
ú
005000
,
û
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно,
ее ранг равен трем.
3. Характеристический многочлен матрицы А
А
3
2
2
01
4. Используя результаты п.3, запишем матрицы А и В в ка-
нонической форме Луенбергера
010
é
ê
=
*A ,
ê
ê
ë
ù
ú
100
ú
ú
--
15000500
,,
û
0
ù
é
ú
ê
=10
*B .
ú
ê
ú
ê
û
ë
5. По матрицам А* и В* составим новую матрицу управ-
ляемости
100
ù
ú
-==
15,010
ú
ú
0175,015,01
û
[ ]
2
****** BA,BA,BU
é
ê
ê
ê
-
ë
23
005,015,0)(det)(
++=+++=-×= AI .
.
sssasаsаsssD
Находим матрицу перехода
1
-
,
U*UT
×=
211
20000
ТAT
A-=
*
ТBB=
*
К
detI A BK
Т
D(s)(s)
0 5 0 224 0 01844
é
ê
T .
ê
ê
-
ë
ù
ú
-=
10100
ú
ú
50512
,,
û
Проверим выполнение равенств
1
,
.
6. Запишем характеристический полином из примера 21.
ж
23
ssss)ssssss()sss(ss)s(D
-+++++-= .
321323121123
При s1=-0,1; s2=-0,2+j0,38; s3=-0,2-j0,38,
ж
23
018440224050
,s,s,s)s(D
+++=
7. Вычислим компоненты канонического вектора обратной
связи
p
*
как разность коэффициентов полиномов )(sD
)(sD
: k1*=0,01844-0; k2*=0,224-0,005=0,219; k3*= 0,5-0,15=
ж
=0,35
018440
,
é
ê
=
*К .
ê
ê
ë
ù
ú
2190
,
ú
ú
350
,
û
8. С помощью матрицы преобразования Т преобразуем ко-
эффициенты вектора К* из канонического базиса, в котором они
определены, в естественный базис, в котором записаны исходные
уравнения состояния, т. е. определим вектор К = К*Т·Т .
70
,
ù
é
ú
ê
=
6691
,
К .
Рассчитаем
=+++D(s)s ,s ,s, .Полиномы равны.
ж
ú
ê
ú
ê
6691
,
û
ë
32
= ×- +×
и сопоставим с
и
9. Для системы (рис. 131) построим переходные процессы
выхода и управления, причем, примем задание для у равно двум и
212
пересчитаем его для вектора Хз, используя коэффициенты пере-
&
&
(
)
-=-=-
=
даточной функции объекта: хз3=уз=2, хз2=2, хз1=2/Ко.
Рис. 131. Схема замкнутой системы модального регулирования
Переходные процессы для х будем определять с помощью
преобразований Лапласа.
Вектор X(s) в соответствии со схемой рис.131 определится
из следующих зависимостей:
T
-=+= uu,
x)(xзKBAxx
или xзBKxBKAxx
TT
+-=
.
Из преобразований Лапласа последнего уравнения выразим
вектор X(s)
1
-
где
Т
+-= ,
æ
T
=
s
)Хз( .
ç
×
è
T
)Хз(ВКВКАI)X(
sss
222
ö
÷
sssKo
ø
Переходные процессы получаются обратным преобразова-
нием Лапласа от составляющих вектора Х(s ), а х3(t)=y(t) и
),()()(),()()(),()()(
txtxзtetxtxзtetxtxзte
333222111
).()()()(
tektektektu
×+×+×=
332211
Графики сигналов переходных процессов для выхода объ-
екта y(t) и управляющего воздействия u(t) приведены на
рис. 132, 133.
213
2
yt()
1
0
0 10 20 30 40
t
Рис. 132. Переходный процесс для выхода объекта
5
ut()
0
5
0 5 10 15 20 25 30
t
Рис. 133. Переходный процесс для управления
Как видно из рис. 132, выход объекта с точностью q со-
шелся к заданному значению 2 за время около 30 с. Перерегулирование отсутствует.
16.7. Аналитическое конструирование
оптимального регулятора
Впервые задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) была решена советским ученым
А.М. Летовым в 1960 г. Эту задачу также называют задачей линейно-квадратичного управления.
214
Исходная постановка задачи синтеза регулятора формули-
=×+×=
&
xКu×=
руется следующим образом: для объекта управления, движение
которого в первом приближении описывается уравнением
и,
,xx(0)uBxAx
0
где А и В - заданные матрицы размеров n × n и n × m , найти
матрицу К коэффициентов регулятора, размером m× n , такую,
чтобы на асимптотически устойчивых движениях системы с начальными произвольными условиями x(0) = x0 минимизировать
интегральный квадратичный критерий (функционал)
¥
ò
0
TT
min,) ®×+××=
dtI uuxQ(x
где, Q - заданная положительно определенная матрица весовых
коэффициентов размером n× n.
Уравнение регулятора:
.
Процедура синтеза состоит из трех операций.
1. Составляется векторно-матричное алгебраическое урав-
нение Риккати
P·A + AT·P − P·B·BT·P + Q = 0,
где Р – симметричная матрица.
2. Осуществляется его решение, т. е. определяются неиз-
вестные коэффициенты матрицы Р.
3. Вычисляется матрица К по формуле
К = −BТР.
Применение этого алгоритма покажем на примере 23.
Пример 23.
Для составления векторно-матричного алгебраического
уравнения Риккати примем, что матрица Q симметричная и имеет
вид
qq
æ
ç
=
Q
ç
è
ö
1211
÷
.
÷
qq
2212
ø
215
Пусть матрицы А и В объекта управления заданны в виде
0
a
æ
11
ç
=
ç
è
ö
÷
;
÷
aa
2221
ø
b
ö
æ
÷
ç
.
=
BA
÷
ç
0
ø
è
Найдем произведение матриц PA, ATP, PB BTP:
PA
pp
æ
æ
ç
=
ç
è
æ
T
ç
=
PA
ç
0
è
T
=
PPBB
ö
11
1211
ç
÷
ç
÷
pp
2212
ø
aa
ö
2111
÷
÷
a
22
ø
æ
ç
ç
è
pp
pp
aa
è
æ
ç
ç
è
b
ö
ö
æ
1211
÷
÷
ç
÷
ç
÷
0
2212
ø
è
ø
ö
÷
=
÷
2221
ø
pp
ö
1211
÷
÷
pp
2212
ø
( )
b
æ
ç
ç
è
æ
ç
=
ç
è
æ
ç
ç
è
0
a
+
+
pp
ö
1211
÷
=
b
÷
pp
2212
ø
apapap
ö
221221121111
÷
;
÷
apapap
222221221112
ø
++
papapapa
ö
2221121112211111
÷
papa
2
æ
2
11
ç
ç
è
ppp
÷
22221222
ø
ö
ppp
1211
÷
.0
2
÷
121211
ø
Выполнив сложение найденных матриц в уравнении Риккати, запишем систему из трех алгебраических уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов матрицы P:
2
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
221112
2
2222
12
2
21121111
2
2
11
=+-
qpbap
22
=+-+
;0)(2
qpbapap
11
=++-+
;0)(
qaрpbaap
12212211
.02
Решение данной системы даст неизвестные коэффициенты
,, ppp матрицы Р.
221211
Вычисляем матрицу К уравнения регулятора:
pp
Т
-=-= РBК
æ
ç
( ) ( )
b
0 -=
ç
è
ö
1211
÷
÷
pp
2212
ø
.ppb
1211
;
216
17. Случайные процессы
в системах автоматического управления
(ОПК-3)
Любой реальный режим работы объекта или протекания
технологического процесса происходит при наличии случайных
воздействий.
Случайное воздействие в зависимости от характера его
проявления с математической точки зрения может быть представлено либо случайной величиной, либо случайной функцией.
Понятие случайной функции является более общим, чем случайная величина, так как в нем учитывается фактор времени.
Случайная величина – это величина, значение которой является непредсказуемым в ограниченном диапазоне исходных факторов рассматриваемого явления.
Примером случайной величины является мгновенное значение напряжения тока в сети, величина которого зависит от нагрузки в сети.
Наиболее полной характеристикой случайной величины х,
определяющей её статические свойства, является ее закон распределения – интегральный F(x) или дифференциальный p(x).
Интегральным законом распределения или функцией рас-
пределения случайной величины х называется функция F(x), опи-
сывающая вероятность Р появления случайной величины X,
меньшей некоторого текущего значения переменной, т. е. вероятность того события, что значение переменной Х не превысит порогового значения х
F(x) = P(X ≤х).
Интегральная функция распределения F(x) является неубы-
вающей функцией х для –∞ < х < ∞. Причем F(–∞) = 0 и F(∞) = 1.
Дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности f(х) называется функция
f(x) = dF(x)/dx,
при этом подразумевается, что функция F(х) непрерывна и диф-
ференцируема.
217
Дифференциальная функция распределения характеризует
вероятность того события, что случайная величина находится в
пределах от x1 до x2, где x2 = x1+Δх, при бесконечно малом интер-
вале Δх.
Вероятность попадания случайной величины х в заданный
интервал (x1; x2) равна площади, заключенной между кривой f(x),
осью абсцисс и вертикалями, проведенными через x1 и x2, причем,
¥
ò
¥-
=1)( dxxf .
По форме кривой распределения вероятностей f(x) можно
судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.
В инженерной практике, исходя из удобства использования, наибольшее распространение для характеристики случайных
величин получил дифференциальный закон распределения.
Случайная величина может быть непрерывной и дискретной.
Случайной функцией называется функция времени случайной величины х(t), которая может принимать множество различ-
ных значений в каждый момент времени. Процессы, описываемые случайными функциями, называются случайными или сто-
хастическими.
Случайный процесс есть не определенная кривая х(t), а
множество возможных кривых хi(t), т.е совокупность возможных
значений случайной величины (рис. 134). Наблюдатель «видит»
только одну реализацию случайного процесса (она выделена на
рис. 134) из множества возможных функций.
Полный набор всех возможных реализаций называют ан-
самблем. Случайный процесс – это ансамбль реализаций, а не
функция в обычном понимании.
Далее будем обозначать случайный процесс как X(t), а от-
дельную реализацию – x(t).
218
Рис. 134. Случайный процесс
Характеристикой случайного процесса X(t) в каждый фик-
сированный момент времени t = t1, t2 является плотность распределения вероятности f(х1), f(х2) случайной величины, где х1= х(t1),
х
= х(t2).
2
Основными вероятностными характеристиками случайных
процессов являются математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение и другие характеристики.
Математическое ожидание mх(t) - среднее значение слу-
чайной величины, являющееся детерминированной (неслучайной) функцией времени, значение которой в каждый момент времени равно математическому ожиданию соответствующего сечения.
Математическое ожидание определяет в каждый момент
времени уровень, вокруг которого флюктуирует случайный процесс
¥
×== dxtxfxtXMtm
x
ò
¥-
),()]([)( ,
где ),( txf - функция распределения плотности случайной вели-
чины во времени.
Математическое ожидание mх(t) представляет собой вероятностно усредненное значение бесконечного множества реализаций случайной величины.
Дисперсия Dх(t) - мера разброса данной случайной величины, т. е. её отклонения от математического ожидания
2ò¥
o
ü
ì
= dxtxftmxtXMtD
ý
í
þ
î
¥-
2
×-=
xx
,),())((])([)(
219
где )t(m)t(X)t(X
o
~
~
s
[
]
-=
- центрированный случайный процесс
x
или процесс с нулевым средним значением.
Средним значением квадрата случайного процесса - )(
2
tx
называют величину:
¥
2
~
{ }
2
xx
ò
¥-
)()(
=+ .
2
×== dxtxfxtXMtx ),(])([)(
2
)(
txtmtD
,
Чем больше )(tDx, тем больше вероятность появления
очень больших положительных и отрицательных значений про-
цесса. Поэтому более удобной характеристикой является средне-
квадратическое отклонение случайного процесса )t(
x
, имею-
щее ту же размерность, что и сама случайная величина
s
)t(D)t(xx=
.
Для многих случайных процессов значения в моменты времени t1и t2 связаны и поэтому, чтобы оценить эту связь случайных величин используют корреляцию – математическое ожидание
произведения двух случайных величин х1и х2:
)()(),(
txtxMttR
=×=
2121
,),;,()()(
××=
),;,(
txtxF
2211
xx
¶¶
21
dxdxtxtxftxtx
21221122211
где ),;,(
x
¥¥-¥
[ ]
òò
¥-
txtxf - двумерная плотность вероятности, равная
22112
txtxf
)t,x;t,x(F
- двумерная функция вероятности, определяющая
2211
2
¶
),;,(
= ,
22112
вероятность того, что случайная величина X(t) не превысит значения х1 в момент времени t1 и значения х2 в момент t2.
Корреляционная функция ),(
ttR
- детерминированная
21
x
функция двух переменных, значение которой для каждой пары
переменных х1, х2равно корреляционному моменту двух сечений
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]