Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
ln
4
16
p
2
æ
ç
1
è
.
1
ö
÷
-
Y
ø
a
m
==
b
Тогда
a
=
p
1
æ
ln2 =
ç
1
-
Yb
è
С учетом того чтоa= - B1/2,
ö
=
÷
ø
b
æ
ln
ç
-
è
ap
= ,
1
ö
4
.
÷
98.01
ø
22
ba
2
+=B мож-
но получить связь B1 и B2:
2
4
+
p
=
2
где
k - множитель, который является критерием переходного
n
2
1
2
BkBB
×=×
,
1
n
режима, зависящим от выбранной степени затухания Ψ. Данное
соотношение показывает желаемую взаимосвязь корней характеристического уравнения, которую необходимо выполнять при
проектировании системы. Обычно для систем с фиксированной
структурой это обеспечивается корректирующими звеньями.
Требуемое соотношение между мнимой и вещественной
частями комплексных корней (колебательность) при затухании
Ψ= 98 % равно
p
a
m
5712,===
.
b
Если принять, что вид переходного процесса определяют
три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-й степени
n-3
(s
+C1s
n-4
+...+C
)·(s3+B1s2+B2s1+B3) = 0,
n-4
которое можно представить в виде
(s+C11)·(s2+B11s+B22) = 0.
Связь между коэффициентами уравнения записывается:
B1= С11 + B11; B2= С11·B11+ B21; B3= С11·B21.
Если выполняется равенство:
191
21
16
=+=
b
a
=
=
a
h
2
4BB+
p
=
11
2
,
то вещественные части корней будут равны a1= a
= - B1/3.
Синтез системы управления данным методом начинается с
того, что для выбранной структурной схемы системы регулирования и введенных корректирующих звеньев определяется характеристическое уравнение. Затем варьируются параметры основного канала и корректирующих средств таким образом, чтобы
получить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения.
Данный метод эффективен в случае невысоких степеней
характеристического уравнения – до четвертого порядка. Недостаток метода – необходимость задания типа корректирующего
звена (его структура и передаточная функция). Поэтому получаемое решение будет зависеть во многом от опытности исследователя.
16.4.2. Выбор параметров по времени регулирования
и величине перерегулирования
В пункте 15.1.2 были приведены зависимости прямых показателей качества регулирования от характера и численных значений корней характеристического уравнения системы. Так, время
регулирования можно оценить следующим выражением
1
1
)
t
ln(
£ ,
р
h
q
гдеh- степень устойчивости, определяемая как минимальное
значение модуля действительной части из всех корней
n,..., i,js
21
iii
т. е. ni
i
характеристического уравнения
n
а0s
,...2,1|,|min
n-1
+а1s
+...+аn= 0,
; q - допустимое отклонение переход-
ного процесса от установившегося значения, задаваемое в долях
от установившегося значения: q=0,01; 0,02; 0,05.
192
Величина перерегулирования при одной возможной паре
p
-
b
£
s
s
£
комплексных корней оценивается как )exp(
s
£ ,
m
гдеm- колебательность,
m
i
a
i
ni
,...2,1|),max(| ==
.
По допустимым значениям времени регулирования и вели-
чины перерегулирования
tt
,
допp
оценивают гранич-
доп
ные значения степени устойчивости η и колебательности μ. Сте-
пень устойчивости определяет правую границу возможных корней характеристического уравнения системы. По значению колебательности находят угол φ=arctg(μ), также ограничивающий допустимую область выбора корней.
Графически область выбора корней на комплексной плос-
кости показана на рис. 122.
Алгоритм синтеза системы следующий:
1) по заданным показателям качества регулирования определяют допустимую область существования корней характеристического уравнения;
2) выбирают корректирующее звено (регулятор), записывают передаточную функцию системы;
3) определяют количество корней характеристического
уравнения и выражают корни через коэффициенты корректирующего звена (регулятора) с помощью уравнений;
4) выбирают корни из допустимой области;
5) пересчитывают значения коэффициентов корректирую-
щего звена (регулятора);
6) строят переходные процессы замкнутой системы и опре-
деляют показатели качества регулирования, сравнивают
их с допустимыми. Если показатели качества не хуже
требуемых, заканчивают синтез.
193
Рис. 122. Допустимая область корней
³
h
Применение алгоритма показано в примере 21.
Пример 21.
Для объекта с передаточной функцией
)(
=
sWo
Ko
)12)(11(
+×+×
sTsT
при Ко=2, Т1=10, Т2=15 необходимо определить коэффициенты
ПИД-регулятора, обеспечивающие в замкнутой системе регулирования по ошибке время регулирования не больше 30 с при
q=0,05 и величину перерегулирования не больше 20 %.
1. Определяем область существования корней характери-
стического уравнения замкнутой системы.
Допустимая степень устойчивости из неравенства
1
194
1
)
t
ln(
£ определится как )
р
q
h
³
h
1
1
ln(
и 10,
qt
р
.
Допустимая колебательность из неравенства )exp(
p
-
p
-
p
ln
-
£
m
(
)
=--
-
[
]
s
£
m
или
s
£ln получится как
m
m
£ и 9521,
s
.
2. Для ПИД- регулятора и указанного объекта передаточная
функция разомкнутой системы равна
2
)(
sWр =
=
Ko
)12)(11(
sTsT
+×+×
s
sКдsКпКи
×+×+
)(
sB
)(
sA
Передаточная функция замкнутой системы:
)s(Wз
)s(Wз
= .
)s(Wp
=
+=1
)s(Wp
)s(B
,
)s(B)s(A
+
2
sКдsКпКиKo
×+×+
1211 sКдsКпКиKos)sT)(sT(
( )
2
×+×++++
Характеристический многочлен замкнутой системы
)12)(11()(
23
KoKдsKoKuKoKпssTsTssD
2
=+++++=
.)1()21(21
KoKusKoKпsKoKдTTsTT
++++++=
3. Характеристическое уравнение для замкнутой системы
D(s)=0.
Уравнение третьего порядка вида
3
3
2
2
01
0
=+++ asasasа ,
можно записать по формуле Безу:
0
)ss)(ss)(ss(a ,
3213
где
s,s,s - корни характеристического уравнения.
321
Раскроем скобки
3
23
321323121123
0)()(
=-+++++- sssssssssssssssa .
Сопоставляя полученное уравнение с характеристическим
уравнением D(s)=0, запишем уравнения для коэффициентов регулятора, связывающие их с корнями характеристического уравнения:
195
=
,21
[
]
aTT
3
++-=++
),(21
ì
ï
í
ï
î
-=
.
asssKoKи
3321
sssaKoKдTT
3213
++=+
),(1
ssssssaKoKп
3231213
Из последней системы коэффициенты регулятора будут равны:
ì
ï
[ ]
í
ï
-=
î
KoasssKи
3321
3213
++++-=
-++=
3231213
./
,/21)(
KoTTsssaKд
,/1)(
KossssssaKп
Для того чтобы обеспечить положительность и действительность коэффициентов Ki, Kп, Kд при конечных корнях характеристического уравнения возможны дополнительные условия,
которые выполняются за счет перемещения корней в допустимой
области.
Из допустимой области выберем корни: s1= -0,1;
s2=-0,2+j0,38; s3= -0,2-j0,38. Этим корням соответствуют коэффициенты: Кд=25; Кп=16,33; Ки=1,383.
Переходный процесс для рассчитанных коэффициентов
приведен на рис. 123.
1.25
1
0.75
ht()
0.5
0.25
0
0 5 10 15 20 25 30
t
Рис.123. Переходный процесс на выходе замкнутой системы
Как видно из рис. 123, величина перерегулирования и вре-
мя регулирования не превышают заданных значений.
16.5. Метод логарифмических частотных характеристик
Частотные методы синтеза АСУ применяются при решении
задач синтеза электромеханических систем управления и основа-
196
ны на связи переходной функции замкнутой системы с ее вещественной частотной характеристикой, которая, в свою очередь,
связана с логарифмической амплитудно-частотной характеристикой L(ω). При этом предполагается, что синтезируемая система
относится к классу минимально-фазовых.
Наиболее распространенным методом синтеза СУ является
метод логарифмических амплитудно-частотных характеристик. В
основе метода логарифмических частотных характеристик лежит
построение желаемой ЛАЧХ системы и установление связи ее
параметров с показателями качества переходного процесса.
Частотные методы синтеза АСУ подробно рассмотрены в
работах В.В. Солодовникова и В.А. Бесекерского и включают в
себя следующие операции.
1. Строится ЛАХ исходной (нескорректированной) системы
Lс(ω) с учетом требуемого коэффициента усиления системы kрв
разомкнутом состоянии. Величина kр определяется заданным значением статической ошибки системы: ест=1/(1+ kр). Исходная
система должна быть минимально-фазовой.
2. По заданным показателям качества (обычно величины
σ
и tр) с учетом ЛАХ нескорректированной системы Lс(ω)
max
строится желаемая ЛАХ скорректированной системы Lск(ω). При
этом скорректированная система должна оставаться минимальнофазовой, так как только в этом случае характеристика Lск(ω) пол-
ностью определяет качество процесса управления.
3. По построенным логарифмическим амплитудным харак-
теристикам Lс(ω) и Lск(ω) определяется ЛАХ корректирующего
звена Lк(ω). Наиболее просто Lк(ω) определяется для корректи-
рующего звена последовательного типа. В этом случае имеем
Wк(р)= Wск(р)/Wс(р). Тогда соответствующее соотношение для
ЛАХ примет вид Lк(ω)= Lск(ω) - Lс(ω). Таким образом Lк(ω) мож-
но построить путем вычитания ординат Lс(ω) из ординат Lск(ω).
4. По полученной ЛАХ корректирующего звена Lк(ω) опре-
деляется передаточная функция последовательного корректирующего звена, а также способ его реализации. В случае необходимости последовательное звено может быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено или эквивалентную обратную
связь.
197
5. Строится ЛАХ реальной скорректированной системы и в
случае необходимости, используя обычные методы анализа, определяются реальные показатели качества процесса управления.
Наиболее ответственной операцией синтеза АСУ является
установление связи параметров желаемой ЛАХ Lск(ω) с показате-
лями качества переходного процесса построение желаемой ЛАХ.
Для решения этой задачи В. В. Солодовников предложил ввести
типовую вещественную частотную характеристику P(ω) замкнутой системы (рис. 124) со следующими параметрами: ωп – интервал положительности вещественной частотной характеристики
(ВЧХ); χ1=ω
, χ2= ω1/ω2– основной и дополнительный коэф-
3/ωп
фициенты наклона ВЧХ; λ =ω2/ωп – основной коэффициент формы.
Как показывают расчеты, при χ1≤ 0,8, χ2≥ 0,4 и λ ≥ 0,5 вели-
чина перерегулирования σ
P
. В этом случае величина σ
max
в основном определяется величиной
max
и значение времени регулиро-
max
вания tр могут быть определены по расчетным кривым, приве-
денным на рис. 125.
Рис. 124. Типовая вещественная характеристика системы
Таким образом при заданном перерегулировании σ*
можно определить P
, а затем величину t
max
/π (рис. 125). При
рωп
max
заданном значении t*р соответствующая величина ωпопределяется из выражения .
198
OA
pw
=
п
*
t
p
Рис. 125. Зависимости перерегулирования и времени регулирования от P
max
Отрицательная часть вещественной характеристики также
влияет на величину перерегулирования, изменяя его на величину
Δσ . Это можно учесть, положив P
σ
= f (P
max
) , построенной с учетом значения P
max
можно найти допустимые значения P
min
max
≈1− P
и P
. Тогда по кривой
max
(рис. 125),
min
min
=1− P
, при кото-
max
рых суммарное перерегулирование не будет превосходить заданного значения σ*
В табл. 9 приведены некоторые типовые значения P
max
.
и
max
соответствующие качественные показатели замкнутой системы.
Определив P
и ωп, можно переходить к формированию
max
желаемой асимптотической ЛАХ разомкнутой системы Lск(ω) .
При этом обычно придерживаются следующего порядка.
P
max
σ
,% t
max
p
1,0 ≤17 ≤ 3π/ω
1,2 ≤26 ≤ 4π/ω
1,3 ≤32 ≤ 5π/ω
1,4 ≤38 ≤ 6π/ω
Число колебаний
п
п
п
п
n
≤ 2
≤ 2
≤ 2
≤ 3
199
Таблица 9
1. Строится низкочастотная асимптота L
н
(ω) таким обра-
ск
зом, чтобы она имела наклон -20 дБ/дек, соответствующий астатической системе первого порядка, и пересекала ось абсцисс в
точке ωк = kv, где kv- заданный коэффициент усиления разомкнутой системы, характеризующий точность ее работы по скорости
(рис. 126). При однократном изломе в точке А первая сопрягающая частота определяется соотношением ω1=kε/kv, где kε–
заданный коэффициент, характеризующий точность работы системы по ускорению; при двукратном - ω1=2kε/kv.
2. По известной частоте положительности ωп определяется
частота среза ωcтак, чтобы она удовлетворяла условию
ω
=(0,6 - 0,9)·ωn.
c
3. Строится среднечастотная асимптота L
с
(ω) с наклоном -
ск
20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс в точке ω= ωc. Эта асимптота ограничивается горизонтальными прямыми L(ω) = L1и L(ω) =
=L2 при L2= -L1(рис. 126). Значение L1определяется по расчетной
кривой, связывающей величины L1с σ
если необходимо чтобы величина перерегулирования σ
вышала 30 %, то, воспользовавшись зависимостью L1(σ
*
(рис. 127). Например,
max
max
max
не пре-
), нахо-
дим числовые значения величин L1=16 дБ и L2 = −L1= −16 дБ, что
позволяет определить среднечастотную область ЛАХ (ωн<ω<
<ω
). Точки А и В на асимптотах L
в
н
(ω) и L
ск
с
(ω) сопрягаются
ск
прямой (или ломаной) линией с наклоном кратным -20 дБ/дек.
При этом ранее найденные сопрягающие частоты могут быть несколько скорректированы.
4. Высокочастотный участок асимптотической ЛАХ L
в
(ω)
ск
строится с наклоном кратным -20 дБ/дек таким образом, чтобы он
как можно ближе совпадал с ЛАХ нескорректированной АСУ.
При частотах в 5-10 раз превышающих ωввлияние сигнала практически не сказывается на переходном процессе и ЛАХ на этом
участке можно не учитывать.
200
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]