Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
a
Y
b=a
ii
ii
p
получим
×--=2
1 e . Отношение
b
a
1
= принято называть
mb
корневым показателем запаса устойчивости. Тогда связь степени затухания колебаний с колебательностью определится выражением
p
2
m
1--=Y e .
Чем больше величина μ, тем слабее затухают колебания за
один период колебаний.
Колебательность рассчитывается через уголg: μ = tg(g/2).
Для определенияg проводятся два луча, которые ограничивают
все корни на комплексной плоскости, аg - угол между этими лу-
чами. Колебательность может быть определена также по формуле
μ = mах max
Im(s)
.
Re(s)
Если μ =0, то переходный процесс будет апериодическим.
При проектировании систем управления обычно требуется
обеспечить быстродействие не ниже заданного (степень устойчивости не меньше заданной min η ) и колебательность не выше заданной max μ. Эти условия определяют усеченный сектор на
комплексной плоскости.
Колебательность позволяет установить верхнюю границу
перерегулирования. Так, для одной пары комплексных корней
mp
/e-
s
£
при нулевых начальных условиях, или
s
£
mp
/eу-
0
если у(0)=у0.
Частотные показатели качества
,
Оценить качество системы управления можно не только по
переходным процессам, но и по частотным характеристикам.
Поведение реального объекта управления всегда несколько
отличается от рассматриваемой модели, более того, его динамика
может меняться во времени. Поэтому недостаточно спроектировать просто устойчивую систему, нужно чтобы система сохранила устойчивость при некоторых изменениях параметров объекта
171
и регулятора в сравнении с расчетными, то есть обладала запасами устойчивости.
Обычно рассматривают запасы устойчивости по амплитуде
DA
и по фазеDj. Запас устойчивости по амплитуде
DA
– это до-
полнительное усиление контура, а запас устойчивости по
фазеDj – это дополнительный сдвиг фазы, который необходим,
чтобы вывести систему на границу области устойчивости.
Запас устойчивости по фазеDj определяется на частоте
среза ωc, где A(ωc) = 1. Запас по фазе должен быть не менее 30°.
Запасы устойчивости
DAиDj
можно определить графиче-
ски, для этого строят АФЧХ разомкнутой системы (рис. 111).
Запас устойчивости по амплитудеDA определяется по точ-
ке пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью.
Рис. 111. АФЧХ разомкнутой системы
Для определенияDj строится окружность единичного ра-
диуса с центром в начале координат. ЗапасDj определяется по
точке пересечения с этой окружностью.
Запас по амплитуде также вычисляется по формуле:
A
1
lg20=D , где A
A
g
< 1 – значение амплитудной характеристики
g
на частоте ωg, где фазовая характеристика равна −180°. В практи-
ческих задачах нужно обеспечивать запас по амплитуде не менее
6 дБ.
172
Еще одной частотной характеристикой оценки качества
w
p
системы является показатель колебательности M. Он определя-
ется по АЧХ замкнутой системы (рис. 112) как отношение ее
A
максимума к значению АЧХ на нулевой частоте:
M = .
max
A
0
Частота, на которой АЧХ принимает максимальное значе-
ние, называется резонансной.
Полоса частот от нулевой до частоты, на которой убывающая АЧХ достигает значения 0,707А(0), называется полосой пропускания звена или системы.
Рис. 112. АЧХ замкнутой системы
Время регулирования может быть оценено по частоте
среза ЛАЧХ, т. е. по частоте на которой убывающая ЛАЧХ
cp
пересекает ось абсцисс, а АЧХ становится меньше единицы
2
()
2...1
»t .
p
w
cp
Интегральные показатели качества
Для обобщенной оценки быстроты затухания и величины от-
клонения регулируемой величины от заданной в виде единого
числового значения используют интегральные оценки качества.
Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка
173
¥
=
1
)( dtteI .
ò
0
Она определяет площадь между заданным значение выходной величины х(t) и её текущим значением у(t) (е(t) =х(t) - у(t)).
Чем оценка I1будет меньше, тем быстрее затухает пере-
ходный процесс и меньше величина ошибки. Однако интегральная оценка I1 годится только для апериодических (монотонных)
переходных процессов (рис.113, а). Если же имеют место колебания (рис.113, б), то алгебраическое сложение площадей может
привести к ситуации, когда при больших колебаниях интеграл
будет маленьким или равным нулю.
Рис. 113. Переходные процессы:
а – апериодический; б - колебательный
В целях устранения этого недостатка на практике чаще все-
го применяют квадратичную интегральную оценку
¥
2
=
2
)( dtteI .
ò
0
Этот показатель не зависит от знака е(t) и, следовательно,
может быть применен как для монотонных, так и для колебательных процессов. Вторая степень убирает знак, кроме того, большая ошибка в квадрате будет ещё больше, а маленькая ещё
меньше.
Переходные процессы с разными показателями колебательности и различной длительностью переходных процессов могут дать равные значения критерия. Чтобы учесть скорость изменения переходного процесса применяют комплексную квадра-
174
тичную интегральную оценку I3, учитывающую не только вели-
[
]
t
e
&
чину ошибки, но и скорость ее изменения
¥
ò
3
0
222
&
×+=
b
dt)t(e)t(eI
,
гдеb – весовой коэффициент, который определяет значимость
второго слагаемого подынтегральной функции.
Использование интегральной квадратичной оценки I2 в качестве минимизируемого критерия качества синтеза системы регулирования может привести к большим перерегулированиям переходного процесса (до 20 % от установившегося значения y(∞).
При минимизации комплексной квадратичной интегральной
оценки I3ограничиваются как величина ошибки е(t),так и её ско-
рость )(
. В результате чего получают достаточно быстрые и
плавные переходные процессы.
Необходимо отметить, что невозможно одновременно
обеспечить наилучшие показатели качества по всем интегральным критериям. Например, увеличение запаса устойчивости системы, приводит к увеличению динамической ошибки и наоборот,
или стремление уменьшения показателя колебательности может
привести к увеличению времени переходного процесса.
Поэтому при синтезе систем регулирования используют несколько показателей качества. Для одного из них, называемого
критерием оптимальности, добиваются экстремального (минимального или максимального значения), а для других вводят ограничения в виде неравенств.
15.2. Показатели качества в установившемся режиме
Характеристикой качества системы в установившемся режиме является установившаяся ошибка. Когда внешние воздействия являются функциями времени, установившаяся ошибка как
вынужденная составляющая ошибки также является функцией
времени. Установившаяся ошибка eв(t) определяется следующим
образом
e(t)(t) =e
lim
в
t ¥®
.
175
Если на систему действуют два внешних воздействия - за-
дающие воздействия g(t) и возмущения f(t), то установившуюся
ошибку можно представить в виде суммы
eв(t) = eвg(t)+eвf(t),
где eвg(t) и eвf(t), - установившиеся ошибки от задающего воздей-
ствия g(t) и возмущения f(t) соответственно.
Числовыми показателями качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок, которые определяются
следующим образом. Установившуюся ошибку от задающего
воздействия - eвg(t) можно представить в виде ряда:
2
)()(
)(
Ctg(t) =Ce
),0(
0
CWC
giegg
i
tdg
C
210
t
i
1
!
ds
gggвg
)(
sWd
eg
i
0
=
s
tgd
...
+×+×+×
2
dt
,...2,1,
=×==
i
Здесь Weg(s) - передаточная функция относительно входа
g(t) и выхода e(t). Коэффициенты Cgi (i = 0, 1, 2,...) называются
коэффициентами ошибки по задающему воздействию.
Аналогично можно представить установившуюся ошибку
от возмущения - eвf(t):
2
)()(
)(
Ctf(t) =Ce
0
),0(
1
CWC
fieff
i
tdf
C
210
t
i
!
ds
fffвf
)(
sWd
ef
i
0
=
s
tfd
...
+×+×+×
2
dt
,...2,1,
=×==
i
Здесь Wef(s) - передаточная функция относительно входа f(t)
и e(t). Предполагается, что возмущение не приложено в одной
точке с задающим устройством. Коэффициенты Cfi (i = 0,1, 2,...)
называются коэффициентами ошибки по возмущению.
Первые три коэффициента ошибок имеют специальные названия: Сgо и Cfо- коэффициенты позиционной ошибки; Сg1 и Gf1коэффициенты скоростной ошибки; Сg2 и Gf2 - коэффициенты
ошибки по ускорению.
Установившаяся ошибка при постоянном внешнем воздействии называется статической ошибкой. Система называется
176
статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астати-
=
×
ческой, если статическая ошибка равна нулю.
Можно говорить о статической и астатической системах
относительно того или иного внешнего воздействия.
Система называется статической относительно задающего
воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) отлична от нуля, и астатической относительно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) равна нулю.
Формулы ошибок eвg(t) и eвf(t) при постоянных g(t) = const,
f(t) = const принимают вид
),(WC,g(t) =Ce
0
egggвg
00
).(WC,f(t) =Ce
0
=×
efffвf
00
Отсюда следует, что система будет статической относительно воздействия g (возмущения f), если Сgо ≠ 0 (Сfо ≠ 0 ), и ас-
татической относительно задающего воздействия g (возмущения
f), если Сgо = 0 (Сfо = 0).
Астатическая система относительно задающего воздействия обладает астатизмом n-го порядка, если
Сgо = Сg1 = … = С
= 0, Сgn ≠ 0.
gn-1
Аналогично определяется астатическая система с астатизмом n-го порядка относительно возмущения. Если система обладает астатизмом n-го порядка, то коэффициенты ошибок Cgi (Cfi)
при i = 1,2,...,n можно определить следующим образом:
æ
sW
)(
C
eg
gi
i
s
ç
C
,
ç
s
è
ef
==
fi
s
ö
sW
)(
÷
i
=
÷
s
00
==
ø
ni
,...2,1
.
Расчет установившейся ошибки для системы управления
представлен в примере 18.
Пример 18.
Определить установившуюся ошибку системы на рис. 114.
177
Рис. 114 . Схема системы управления
=
=
=+=
+
Здесь:
k
kksW ;0,2,
;0,1,)(
ppp
tfttg
)( =
sW
o
.2,0)(;1,01)(
o
=
ss
k
o
)1(
+
Так как все производные от f(t) и производные 2-го порядка
и выше от g(t) равны нулю, формулы ошибок принимают вид
dg
C)t(g(t) =Ce
).t(f(t) =Ce
×
fвf
0
,
×+×
ggвg
10
t
Для определения искомой ошибки достаточно вычислить
коэффициенты ошибок Сg0, Сg1, Сf0.
Передаточные функции ошибки по управлению и по возмущению будут:
)(
sW
eg
)(
sW
ef
==
)(
)(
sE
==
)(
sF
)(
sE
1
+
sW
o
+
=
)()(1
sWsWsG
op
)(
=
)()(1
sWsW
op
1
k
1
+
1
+
o
k
p
ss
k
p
)1(
+
ss
k
o
)1(
+
k
o
)1(
+
ss
ss
=
ss
=
2
ss
)1(
,
2)1(
++
.
2)1(
++
Отсюда Cg0= Weg(0) = 0, Cf0 = Weg(0) = 1. Так как Сg0= 0, то
Cg1 можно вычислить по формуле
)(
sW
C
178
eg
1
g
s
==
0
s
1
+
s
2)1(
++
ss
==s
.5,0
=
0
Таким образом, для ошибок имеем:
dg
C)t(g(t) =Ce
ggвg
10
dt
.,,)t(f(t) =Ce
20201
fвf
0
=×=×
,,,,)t.(
05010501010
=×++×=×+×
Установившаяся ошибку можно представить как сумма
eв(t) = eвg(t)+eвf(t)=0,05+0,2=0,25.
16. Синтез систем автоматического управления
(ОПК-4)
Синтез является важнейшим этапом проектирования и конструирования систем автоматического управления, основным и
наиболее важным приложением результатов, полученных теорией автоматического управления.
Под синтезом САУ понимают процедуру создания системы
управления объектом, обладающей требуемыми свойствами.
16.1. Задачи синтеза
Задачи синтеза САУ подразделяются на два вида: вопервых, требуется определить структуру системы, а во-вторых,
параметры этой системы по заданным показателям качества.
При решении задачи полного синтеза необходимо определить алгоритм функционирования системы и функциональную
схему системы.
Алгоритм функционирования системы выбирают, используя свойства алгоритмов, на основании требований, предъявляемых к синтезируемой системе.
Синтез функциональной схемы заключается в выборе конкретных элементов системы и согласовании их характеристик.
В любой САУ можно выделить неизменяемую и изменяемую части (например, объект управления ОУ и устройство
управления УУ).
При проектировании вначале, исходя из требований назначения системы и учитывая условия ее работы, по каталогам се-
179
рийного оборудования выбирают функционально необходимые
элементы: регулирующий орган, исполнительное устройство,
датчики, которые вместе с объектом управления образуют неизменяемую часть системы. Затем, на основании требований к статическим и динамическим свойствам системы, определяют ее изменяемую часть, алгоритмическая структура которой находится с
учетом свойств выбранных функционально необходимых элементов. Техническая же реализация осуществляется с использованием стандартных унифицированных регуляторов и различных
корректирующих и компенсирующих устройств. Процессы определения алгоритмической и функциональной структур системы
управления тесно переплетаются между собой, их приходится
выполнять по несколько раз.
Окончательное решение о структуре системы принимается
на основе компромисса между точностью и качеством работы системы, с одной стороны, и простотой и надежностью – с другой.
Заключительным этапом проектирования системы управления является расчет настроечных параметров выбранного регулятора.
В настоящее время разработано много методов расчета настроек регулятора, одни из них являются более точными, но трудоемкими, другие – простыми, но приближенными. Во всех методах необходимо обеспечить процесс регулирования, как правило, удовлетворяющий двум выбранным критериям, один из которых позволяет обеспечить заданный запас устойчивости, а второй
– обеспечить качество регулирования.
16.2. Коррекция систем автоматического управления
В тех случаях, когда устойчивость и необходимые показа-
тели качества при синтезе САУ не могут быть достигнуты путем
изменения параметров неизменяемой части системы (коэффициентов передачи, постоянных времени), то применяется коррекция. Коррекция представляет собой введение в систему дополнительных элементов, называемых корректирующими.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]