Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Находим определители системы и параметры μ, η как

функции частоты:

-==D

Исключив из выражений для μ и η частоту ,

).1(,

-====

получим

уравнение D-кривой, которое можно представить в виде

1 4

æ ç

.)(

--=-=

mmmh

Это уравнение параболы. Она пересекает ось абсцисс при μ= μ1=0 и μ= μ2= 1 и достигает максимума η = 1/4 при μ = 1/2.

Из уравнения следует, что μ принимает только неотрицательные значения. Поэтому кривая D-разбиения имеет вид, показанный на рис. 107.

Рис. 107. Выделение области устойчивости

161

При положительных ω определитель Δ < 0. Поэтому при ω>0 и движении в сторону возрастания ω штрихуется правая сто-

рона.

Все определители одновременно обращаются в нуль только при ω = 0. При этом получаем μ = 0 и η = 0.

Из рис. 107 следует, что областью-претендентом является область D(r + 2). Для проверки, является ли эта область областью устойчивости, исследуем устойчивость рассматриваемой системы в точке с координатами μ = 0,5 и η = 0,1. В этой точке характери- стическое уравнение принимает вид

234

.01,05,0

=+×+++ ssss

Необходимое условие устойчивости выполняется. Кроме того, определитель Гурвица

05,01

1,011

.015,0

>==

5,011

Поэтому согласно критерию Льенара-Шипара система в указанной точке устойчива. Следовательно, область-претендент, определяемая системой неравенств

æ ç

-+>

mhh

является областью устойчивости.

14.3. Робастная устойчивость

Параметры стационарных систем с течением времени в силу старения или других причин могут меняться. Кроме того, при разработке регуляторов параметры объекта могут быть точно не известны. В подобных случаях возникает необходимость построения системы управления таким образом, чтобы она была устойчива не при одних фиксированных значениях параметров, а при всех возможных их значениях и обеспечивала приемлемое качество управления при малых отклонениях внешних возмущений от номинальных значений. В современной теории управления это свойство называют робастностью (грубостью).

162

Рассмотрим характеристический полином

=<<

{

}

=<<

Δ(s)=a0 s n + a1 s

n-1

+ ... + a

s + an.

n-1

Полином Δ(s) называется робастно устойчивым, если он является устойчивым при любых значениях коэффициентов ai ,

(i = 0,1,..., n) из множества допустимых значений A ( Аa

Система называется робастно устойчивой или робастно устойчивой на множестве А, если ее характеристический полином является робастно устойчивым полиномом в А.

Для исследования робастной устойчивости систем управления на практике используется подход, базирующийся на теореме Харитонова, которая позволяет проверить робастную устойчивость характеристического полинома

Δ(s)=a0 s n + a1 s

n-1

+ ... + a

s + an.,

n-1

где коэффициенты a0, a1,..., a, точно неизвестны, но принадлежат определенным интервалам )n,...,i(,aaa

, где

aa , -

минимальное и максимальное значения коэффициентов

).,...,1(, nia

Теорема В.Л. Харитонова (1978). Для того чтобы система с характеристическим полиномом

Δ(s)=a0 s n + a1 s

n-1

+ ... + a

была робастно устойчива в параллелепипеде А, необходимо и достаточно, чтобы все полиномы Харитонова были устойчивыми.

Множество А здесь является параллелепипедом

.)n,...,i(,aaa:aА

Для проверки устойчивости бесконечного числа возможных характеристических полиномов Δ(s) при всех возможных значениях коэффициентов Аa

, достаточно проверить устойчи-

вость всего четырех полиномов Харитонова (например, для n=6):

D D

;)(

asasasasasasas

++++++=

;)(

asasasasasasas

++++++=

;)(

asasasasasasas

++++++=

.)(

asasasasasasas

++++++=

163

Следствие. Для того чтобы система с характеристическим

DDD

£££££

gba

=====

{

}

££££££===

полиномом Δ(s)=a0 s n + a1 s в параллелепипеде при выполнении условия n,...,i,a

n-1

+ ... + an.была робастно устойчива

обходимо и достаточно, чтобы были устойчивыми:

а) в случае n = 3 полином Харитонова )(

;

б) в случае n = 4 полиномы Харитонова )(),(

в) в случае n = 5 полиномы Харитонова )(),(),(

Практическое использование теоремы дано в примере 17.

Пример 17.

Исследовать робастную устойчивость системы, характеристический полином которой имеет вид

, не-

;

sss

321

Δ(s)=s4 + 3·s3 + α·s2+ β·s + γ

.21,32,54

Для данного примера получаем

Определяем минимальное и максимальное значения коэффициентов ai:

,5,4,3,1

aaaaaa

====

aaaa

.2,1,3,2

Так как n = 4, то достаточно рассмотреть полиномы

)(),(

. Получаем:

Необходимое условие устойчивости для обоих полиномов

)(),(

выполняется.

Для полинома )(

определитель Гурвица будет положи-

тельным

.a;a;a;a;a:aА

21325431

43210

234

,22431)(

++++=++++=D

ssssasasasasas

.23431)(

++++=++++=D

ssssasasasasas

164

aaa

023 241

.02)0322(3)2324(3

>=×-×-×-×===

230

Для полинома )(

определитель Гурвица также положи-

тельный

aaa

На основе критерия Льенара-Шипара )(),(

033

241

020322123343

>=×-×-×-×===D

330

являются

устойчивыми полиномами. Следовательно, в силу следствия система робастно устойчива.

15. Качество автоматических систем управления

(ПК-19)

О качестве системы управления имеет смысл говорить, если она устойчива. Поэтому показатели качества определяют при предположении, что система устойчива.

Если исследуемая АСУ устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям данного процесса.

Под качеством системы управления понимается совокупность требований, которые прямо или косвенно характеризуют точность ее работы.

Наиболее полной характеристикой качества системы управления является величина динамической ошибки, равная разности между текущим и заданным значениями управляемой величины:

е(t)=x(t)-y(t).

.)()(

165

Но функцию ошибки е(t) для любого момента времени трудно определить, поскольку она описывается, как правило, с помощью системы дифференциальных уравнений высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы. Поэтому оценивают качество САУ по некоторым ее свойствам, которые и определяют показатели качества.

Существует два основных подхода к оценке качества: первый использует информацию о временных параметрах системы, второй - о частотных свойствах системы.

Все показатели качества делятся на показатели качества в переходном режиме и показатели качества в установившемся режиме.

Ошибка e(t) зависит как от свойства системы управления (т. е. от управления), так и от внешнего воздействия. По этой причине показатели качества как характеристики свойства системы определяют при типовых внешних воздействиях. Обычно при оценке качества в переходном режиме, в качестве типового воздействия используют ступенчатую функцию вида k·1(t) (k - константа), а при оценке качества в установившемся режиме - полиномы времени t.

15.1. Показатели качества в переходном режиме

Все показатели качества в переходном режиме делятся на

прямые и косвенные показатели. Косвенные делятся:

- на корневые;

- частотные;

- интегральные.

15.1.1. Прямые показатели качества

Прямые оценки качества СУ определяются непосредственно по переходным процессам, вызванными изменением задания или возмущения. Переходный процесс устойчивой системы всегда затухает и в зависимости от характера затухания подразделяется на монотонный (апериодический) и колебательный. Ко-

166

лебательный переходный процесс представляет собой затухающие

{

}

А1х

колебания, при этом допускается не более 2-3 колебаний (рис. 108) .

у(t)

max

±0.05y

уcт

уст

max

Рис. 108. Переходный процесс

Основные прямые показатели качества переходного про-

цесса.

1. Время переходного процесса tp (время регулирования) минимальное время, по истечении которого отклонение выходной величины y(t) от установившегося значения y

не превышает

уст

некоторой заданной величины ±q.

Математически это определение можно записать следую-

щим образом:

.,)(:min

TtqytyTt

³£-=

уст

pустpp

уст

Значение q можно выбирать из диапазона q=(0,01÷0,1)у

хотя обычно принимают q = ±5 %у

или (0.05у

уст

Этот показатель характеризует скорость протекания переходного процесса. Если кривая переходного процесса монотонна, то этот показатель является единственным.

2. Перерегулирование σ есть разность между максимальным

значением y

переходной характеристики и её установившимся

max

167

значением y

. Обычно перерегулирование выражают как отно-

уст

шение максимального отклонения управляемой величины А1 от установившегося значению к этому установившемуся значению, выраженное в процентах:

σ = .100

уст

устmax

уст

В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулиро-

вание не превышало 10 – 30 %.

У апериодического переходного процесса можно обеспечить нулевое перерегулирование.

Увеличение быстродействия обычно приводит к увеличению перерегулирования.

3. Степень затухания колебаний y определяется по

формуле:

=Y ,

где А1 и А3 - 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой. Чем y ближе к 1 тем система лучше, но обычно довольствуются

y> 0,7 ÷ 0,8.

4. Статическая ошибка ес это отклонения установившего-

ся значения выходной величины от заданной х

ес = х - у

5. Время достижения первого максимума t

уст

определяется

max

по графику.

6. Запаздывание τ - время от момента нанесения воздейст-

вия на систему до начала изменения выходной величины.

7. Динамический коэффициент регулирования Rd, %, кото-

рый определяется из формулы:

Rd = (у1/уо)100.

Величина Rd характеризует степень воздействия регулятора

на процесс, т. е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него (рис. 109)

168

у1t

(t)

Без регулирования

С регулятором

Рис. 109. Переходные процессы по возмущению в системе

с регулятором и без регулятора

Динамический коэффициент выражается в процентах и чем он меньше, тем выше качество регулирования.

15.1.2. Косвенные показатели качества

Корневые показатели качества.

Многие свойства системы можно определить при проектировании по расположению корней характеристического полинома на комплексной плоскости. Прежде всего, все корни si для устойчивой системы должны находиться в левой полуплоскости, то есть слева от мнимой оси (рис. 110). На рис. 110 знаком отмечены положения корней характеристического уравнения.

169

Re(s)

Рис. 110. Корневые показатели качества

Чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения, тем дальше от границы устойчивости находится система и тем выше ее быстродействие.

Для оценки быстродействия системы используют корневой показатель - степень устойчивостиh, а для оценки скорости за-

тухания колебаний в системе – колебательность или степень ко-

лебательности μ.

1. Степень устойчивостиh - это расстояние от мнимой

оси до ближайшего корня

= min

где Re(si)=αi - действительная часть корня si.

Степень устойчивость позволяет оценить время регулирования с помощью следующей зависимости: .

th»

2. Колебательность μ. Если в выражение степени затуха-

ния колебаний

=T - период собственных колебаний; β – частота колебаний,

, подставить вместо

eAA×-=

, где

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2517 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]