Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
где
w
- частота входного гармонического случайного сигнала;
1
)(
w
jW - комплексный коэффициент усиления системы;
1
AA ,
yx
амплитуды входного и выходного сигналов.
Получение корреляционной функции и спектральной
плотности белого шума пропущенного через линейное звено приведено в примере 24.
Пример 24.
На вход линейной системы с передаточной функцией
K
sw
= .
,
11+=sT
2
R = и
2
tdst
хx
)s(W
подан белый шум с корреляционной функцией )()(
спектральной плотностью
)(xxS
Необходимо найти характеристики выходного сигнала y(t),
взаимные корреляционные функции и спектральную плотность.
Весовая функция апериодического звена 1-го порядка равна
ì
ï
=
)(
tw
í
ï
î
t
-
K
T
1
³
0,
T
1
te
<
.0,0
t
Подставим весовую и корреляционную функции входного
воздействия в выражение корреляционной функции для выхода
¥ ¥
-+=
)()()()(
hhlthllt
RwdwR
x
hl
-
¥
K
TT
×
ò
0
-
T
e
11
T
1
+
tl
1
K
T
ò ò
0 0
¥
=
ò
0
22
s
x
2
1
-
K
T
de
1
l
ì
-
¥
ò
0
ï
T
1
××=
e
í
ï
î
y
R
y
d
получим:
2
x
ü
ï
³+
lt
0при,
l
d
ý
ï
<+
lt
0при,0
þ
=-+×
hhltdslt
de
)()(
=
-
231
2
(
)
22
1
T
1
22
1
KT
T
w
tl
ì
ï
22
K
s
ï
x
×=
í
2
T
1
ï
ï
î
22
K
s
x
e
×=
2
T
1
+
-
¥
T
1
ò
0
¥
ò
t
-
-
de
2
tl
+
-
T
1
de
t
T
1
.
ü
ï
0при,
tl
>
ï
ý
ï
0при,
tl
<
ï
þ
22
K
s
x
2
T
1
t
ì
-
T
1
ï
e
×=
í
t
ï
T
1
e
î
Взаимная корреляционная функция будет
tl
2
-
¥
K
s
R
t
xy
x
T
1
T
×=
ò
0
de
lltd
2
K
-
s
T
1
T
x
11
.)()(
e
×=-
Для оценки спектральной плотности запишем частотную
передаточную функцию
K
)j(W
w
=
1 Tj
+
w
.
1
Умножая числитель и знаменатель на комплексносопряженную знаменателю функцию
)(
w
jW -=
K
= .
w
+
j
-
212
T
11
1 Tjw-
w
TK
1
w
T
+
212
, получим
1
Здесь
w= w=
U( ) ReW(j)
w= w=
V( ) ImW(j)
1
1
K
+w
w
+w
,
.
Амплитудная и фазовая частотные характеристики будут
22
)()()(
VUA
www
K
=+=
1
T
w
+
ü
ï
0при,
t
>
=
ý
ï
0при,
t
<
þ
)()(
ww
jVU
,
212
равна
232
)(
V
arct)( T
wj
g
U
w
arctg
-== .
)(
w
1
Спектральная плотность выходного случайного процесса
22
[
]
=
D
K
s
S
w
y
)(
= .
x
1
212
T
w
+
Мощность или средний квадрат выходного сигнала будет
22
K
2
Ry
y
s
x
)0(
==
.
2
T
1
Конечное значение корреляционной функции равно
2
.
0)()(
=¥=yRty
Для определения времени корреляции
неравенством
Dt
£¥- )(R)(R
yкy
, где
воспользуемся
t
к
.
050,
Фрагменты программ расчета корреляционных функций
и спектральных плотностей, произведенные в системе Mathcad,
приведены ниже, результаты расчетов представлены на рис. 138,
139. По графикам можно оценить время корреляции
t
с,
12»
K
что соответствует времени переходного процесса динамического
звена
Ry t()
Rxy t()
ходе апериодического звена и взаимная корреляционная функция
входа и выхода
3Ttnn»
.
1
5
4
3
2
1
0
15 10 5 0 5 10 15
t
Рис. 138. Корреляционная функция случайного процесса на вы-
233
w
w
40
30
Sy w()
20
Sxy w()
10
0
4 2 0 2 4
w
Рис. 139. Спектральная плотность процесса на выходе линейного звена
и взаимная спектральная плотность входа и выхода
17.5. Статистические характеристики ошибки
в замкнутой системе при случайных воздействиях
Пусть задание g(t) и возмущающее воздействие f(t), прило-
женные к системе в разных точках (например, рис. 119), коррелированны и заданы своими корреляционными Rg(τ), Rf(τ) и взаимными корреляционными функциями Rgf(τ), Rfg(τ) или же спектральными плотностями Sg(ω), Sf(ω), Sgf(ω), Sfg(ω). Требуется определить средний квадрат, дисперсию и математическое ожидание ошибки e(t).
Средний квадрат ошибки определяется как
22
)0(
=+==
2
p
ò
¥-
()
eeee
ww
dSmDRe
.
¥
1
Спектральная плотность ошибки для коррелированных
процессов g(t) и f(t) равна
-+
где )(
ge
jW
, )(
fe
22
),()()(
www
SjWjW
gffege
jW
- комплексные частотные характеристики
wwwwwwww
SjWjWSjWSjWS
fgfegeffeggee
каналов «задание – ошибка», «возмущение – ошибка»;
)()()()()()()()(
+-++=
234
)(wjW
-
w
-
(
)
ge
, )(
jW
fe
- функции КЧХ при отрицательном аргу-
менте.
Для некоррелированных процессов g(t) и f(t) взаимные кор-
реляционные функции и спектральные плотности будут равны
нулю, т. е.
Rgf(τ)=0, Rfg(τ)=0, Sgf(ω)=0, Sfg(ω)=0.
Если случайные процессы заданы корреляционными и взаимными корреляционными функциями, то для перехода к их
спектральным плотностям необходимо выполнить преобразование Фурье от соответствующей корреляционной или взаимной
корреляционной функции, причем для нецентрированных случайных процессов спектральные плотности будут содержать
δ-функции на нулевой частоте. Поскольку нецентрированный
процесс можно представить как сумму центрированного процесса
и математического ожидания нецентрированного, корреляционная функция такого процесса будет равна сумме корреляционной
функции центрированного процесса и квадрата математического
ожидания, преобразование Фурье от которого и будет δ-функцией.
Для таких процессов в силу справедливости принципа суперпозиции следует отдельно получить математическое ожидание
ошибки, равное установившейся реакции системы на математи-
ческие ожидания
mm , случайных процессов, и дисперсию
fg
ошибки через спектральную плотность ошибки для центрированных процессов
e
s
®
где )(),( sWsW
00
),(eeSR - корреляционная функция и спектральная плотность
() ()
[ ]
0
)0( ,
fege
wt
¥
1
00
p
ò
¥-
()
eee
==
2
- передаточные функции по ошибке,
é
ê
00
sst
®®¥®
ë
,)()(lim
msWmsW
×+×=
ffegge
ww
dSRD
m
g
sWssEtem
ge
s
m
ù
f
)()(limlimlim
sW
×+×=×==
fe
s
=×
ú
s
û
ошибки, вызванная воздействием центрированных процессов.
235
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что является предметом с изучения ТАУ?
2. Какова цель дисциплины ТАУ?
3. Что такое параметр технологического процесса?
4. Что такое «управление»?
5. Что называется объектом управления?
6. Что является целью процесса управления?
7. Что такое «внешнее воздействие»?
8. Что называется системой управления?
9. Чем различаются автоматическая и автоматизирован-
ная системы управления?
10. Какая типовая структурная схема одноконтурной АСР?
11. Что такое «обратная связь» и какие существуют
её виды?
12. Какая обратная связь называется жесткой, какая -
гибкой?
13. Какие фундаментальные принципы управления исполь-
зуются при проектировании САУ?
14. В чем заключается принцип действия «разомкнутого
управления»?
15. В чем заключается принцип действия систем автомати-
ческого регулирования «по отклонению»?
16. В чем заключается принцип действия систем автомати-
ческого регулирования «по возмущению»?
17. Как работают системы комбинированного управления?
18. На какие группы делятся САУ по алгоритму функцио-
нирования?
19. На какие группы делятся САУ по характеру исполь-
зуемых для управления сигналов?
20. В чем суть принципа суперпозиции?
21. На какие группы делятся САУ по виду используемой
энергии?
22. Какая система называется астатической?
23. На какие группы делятся САУ по способу использова-
ния текущей информации?
236
24. Что такое «адаптивная система»?
25. Какая система называется робастной?
26. Что называется моделью в ТАУ?
27. Зачем нужна математическая модель?
28. Как делятся математические модели по способу
получения?
29. Что такое «адекватность модели»?
30. Какие существуют подходы к оценке адекватности
математической модели?
31. Какие существуют способы математического описания
САУ?
32. Какие системы относятся к статическим, какие
к астатическим?
33. Что называется «переходным процессом»?
34. Какие воздействия относятся к типовым?
35. Что такое «единичное ступенчатое воздействие»?
36. Что такое «импульсное возмущающее воздействие»?
37. Что такое «гармоническое возмущающее
воздействие»?
38. Что такое «временная характеристика»?
39. Что такое «частотная характеристика АСР»?
40. Как можно построить частотные характеристики АСР?
41. Что такое «логарифмические частотные
характеристики»?
42. Что такое «годограф»?
43. Какие используются формы записи линейных диффе-
ренциальных уравнений в ТАУ?
44. Что такое «матричная форма» записи дифференциаль-
ных уравнений?
45. Как выполняется линеаризация нелинейного уравне-
ния?
46. Что называется передаточной функцией системы?
47. Что называется звеном системы?
48. Какие звенья САР относятся к типовым?
49. Какие существуют способы соединения звеньев
в системе?
237
50. Как будет выглядеть передаточная функция звеньев,
соединенных встречно-параллельно?
51. Чему равны эквивалентные передаточные функции по
управлению, по возмущению, по ошибке?
52. Что такое «граф» в теории управления?
53. Какие основные свойства графов?
54. Какие методы используют в ТАУ для получения мате-
матического описания объектов?
55. В чем заключается аналитический метод получения ма-
тематического описания объекта управления?
56. Как определить параметры передаточной функции объ-
екта по переходной кривой?
57. Что такое «позиционный закон регулирования»?
58. Каков алгоритм трехпозиционного закона
регулирования?
59. Какие законы регулирования относят к линейным?
60. Как реализуется ПИД-закон регулирования?
61. Как реализуется закон регулирования в цифровом
виде?
62. Что такое «оптимальные настройки регуляторов»?
63. Какая система называется устойчивой?
64. В чем заключается определение устойчивости системы
по Ляпунову?
65. Как формулируется корневой критерий устойчивости?
66. Как определяется устойчивость по критерию Гурвица?
67. Как определяется устойчивость по критерию
Михайлова?
68. Как определяется устойчивость по критерию
Найквиста?
69. Как можно определить устойчивость САУ по логариф-
мическим частотным характеристикам?
70. Что такое область устойчивости?
71. В чем суть метода D-разбиения?
72. Что такое «робастная устойчивость»?
73. Как формулируется теорема Харитонова для оценки
робастной устойчивости?
238
74. Какие существуют прямые показатели качества АСР?
75. Какие существуют корневые показатели качества АСР?
76. Какие существуют показатели качества АСР?
77. Какие существуют интегральные показатели качества
АСР?
78. Какие существуют показатели качества в установив-
шемся режиме?
79. Что такое «синтез САУ»?
80. Что такое «коррекция САУ»?
81. Что такое «параметрический синтез САУ»?
82. В чем суть корневого метода синтеза САУ?
83. В чем суть метода логарифмических амплитудно-
частотных характеристик синтеза САУ?
84. Что такое «желаемая ЛАЧХ»?
85. Что такое «модальный регулятор»?
86. На чем основан синтез модальных регуляторов?
87. Что такое «случайный процесс»?
88. Какими вероятностными характеристиками описывает-
ся случайный процесс?
89. Что такое «стационарность и эргодичность случайного
процесса»?
90. Что такое «спектральная плотность случайного
процесса»?
91. Что такое «белый шум»?
92. Какие параметры характеризуют прохождение
случайного сигнала через линейную систему?
239
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основной
Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управле-
ния [Текст] : учеб. пособие / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов.
- 4-е изд., перераб. и доп. - СПб. : Профессия, 2007. - 747 с.
Гаврилов, А. Н. Системы управления химико-технологи-
ческими процессами. В 2 ч. Ч. 1 [Текст] : учеб. пособие / А. Н.
Гаврилов, Ю. В. Пятаков. - Воронеж: ВГУИТ, 2014. -220 с.
Гаврилов, А. Н. Автоматизированные системы управления
технологическими процессами [Текст]: учеб. пособие / А. Н. Гаврилов, Ю. В. Пятаков. - Воронеж: ВГТА, 2007. – 240 с.
Душин, С. Е. Теория автоматического управления [Текст]:
учебник для студентов вузов / С. Е. Душин [и др.]; под ред.
Б. Я. Яковлева. – изд. 3-е, стер. - М. :Высшая школа, 2009. – 5 67 с.
Егоров, А. И. Основы теории управления [Текст] / А. И.
Егоров. - М. : Физматлит, 2007. - 504 с.
Лабораторный практикум по теории автоматического управления [Текст]: учеб. пособие / Е. А. Балашова, Ю. П. Барметов,
В. К. Битюков, В. Ф. Лебедев. - Воронеж: ВГТА, 20 06. – 171 с.
Петраков, Ю. В. Теория автоматического управления тех-
нологическими системами [Текст]: учеб. пособие для студентов
вузов / Ю. В. Петраков, О. И. Драчев. - Издательство: Машиностроение, 2009. – 336 с.
Савин, М. М. Теория автоматического управления [Текст]:
учеб. пособие / М. М. Савин, В. С. Елсуков, О. Н. Пятина; под
ред. В. И. Лачина. - Ростов н/Д.: Феникс, 2007. - 469 с.
Теория автоматического управления [Текст]: учеб. пособие
/В. Ф. Дядик, С. А. Байдали, Н. С. Криницын. - Томск: Изд-во
Томского политехнического университета, 2011. – 196 с.
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]