Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория автоматического управления технологическими объектами (линейные системы). Учебное пособие
.pdf
Пример 4.
dtdydt
+=+
-
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением
первого порядка
2
xxy +=+- 5y5,143
dx
y
.
Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведе-
ния переменных х, у и квадрата х. Линеаризуем его в окрестно-
сти точки с координатами x0 = 1, x
’
= 0, y
0
’
= 0. Для определения
0
недостающего начального условия у0 подставим данные значения
в ДУ
0043 yy
, откуда y0= 2.
00
Введем в рассмотрение функцию
''2
yyyxxxyF --+-=
55,143 ,
и определим все ее частные производные при заданных начальных условиях
¶
F
¶
x
,
yx
00
¶
F
¶
y
'
,
xx
00
¶
F
'
¶
x
y
0
¶
F
'
¶
y
5
-=
y
0
хy
,
yx
00
'
хx
y
y
0
'
,
xx
00
325,1)5,1(
=×==
;
.
21823)83(
-=×-×=-=
;
2105,113)15,13(
=-×+×=-+=
;
Теперь, используя полученные коэффициенты, можно запи-
сать окончательное линейное ДУ в приращениях:
-5
.
D
y’ + 2
.
D
y + 3
.
D
х’ - 2
.
D
х = 0.
Преобразования Лапласа
Исследование АСУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, например, преобразования Лапласа. Применение пре-
71
образования Лапласа позволяет перейти от решения системы
дифференциальных уравнений к решению системы алгебраических уравнений. Кроме того, отпадает необходимость специального определения постоянных интегрирования, а общее решение
неоднородного ДУ при любой правой части определяется сразу,
т. е. исключается раздельное нахождение общего y1(t) и частного
y2(t) решений.
Пусть f(t) - действительная функция действительного пере-
менного t, удовлетворяющая условиям Дирихле (непрерывная и
дифференцируемая на рассматриваемом интервале) и равная нулю при t < 0. Будем называть эту функцию оригиналом. Каждому
оригиналу f(t) всегда можно поставить в соответствие функцию
F(s) комплексного переменного s =α ±jω, определенную как инте-
грал вида
{ }
¥
==
ò
0
-
st
.)()()( dtetftfLsF
Здесь L – оператор прямого преобразования Лапласа. Ком-
плексная переменная s выбирается так, чтобы интеграл сходился.
Правая часть этого выражения называется прямым преобразованием Лапласа функции f(t), а функция F(s) – изображением
Лапласа для функции f(t) (оригинала).
Обратное преобразование Лапласа L-1{F(s)} позволяет вычислить оригинал f(t) по известному изображению F(s):
¥+
j
s
-
1
{ }
sFLtf
1
==
)()(
ò
j
p
2
j
s
st
dsesF
,)(
¥-
где j = 1- , а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл схо-
дился.
На практике вместо интегралов чаще всего используют готовыми таблицами, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Пример части такой таблицы
представлен в табл. 2.
72
Оригинал x(t) Изображение X(s)
s
s
s
s
{
}
+=+
s
{
}
d-функция
1
1
1
Таблица 2
t
n
t
-at
e
n
txd )( s
n
dt
t
dttx0)(
ò
n.
X(s)- s
Некоторые свойства преобразований Лапласа.
1. Линейность
)s(bG)s(aF)t(bg)t(afL
2. Дифференцирование оригинала
df
ü
где
ì
L 0-=
í
î
ì
L
í
î
i
)(
f
dt
dt
ý
þ
n
fd
n
ü
ý
þ
i
fd
lim)0(®= .
i
t
0
dt
)(f)s(sF
,
3. Интегрирование оригинала
{ }
dt)t(fL =
ò
)s(F
.
1
2
s
!n
1+n
1
a
+
n-1
- x
x(0)- s
(n-1)
sX )(
n-2
(0)
x’(0)-...-
.
)1(21 ---
nnnn
,
----=
ffsfssFs
)0(...)0(')0()(
4. Смещение аргумента у функции-оригинала (теорема о
запаздывании)
t
s
t
=- )()( .
-
esFtfL
73
5. Преобразование свертки оригиналов
[
]
=
dt
s
s
s
+
t
ì
í
ò
0
î
-
ü
ttt
ý
×=
.
)s(F)s(Gd)t(f)(gL
þ
6. Правило предельного перехода
ssFtf
)(lim)(lim
st
0®¥®
.
Практическое использование преобразования Лапласа при
решении дифференциальных уравнений рассмотрено в
примере 5.
Пример 5.
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением
второго порядка:
2
dy
yd
2
dt
dx
() ()
ty
tx
12265
+=++ .
dt
Необходимо найти решение уравнения, если функция x(t)
является единичной ступенчатой функцией 1(t).
Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу:
s2Y(s)-sy(0)-y’(0)+ 5sY(s) -5y(0)+ 6Y(s) = 2sX(s) -2x(0)+ 12X(s). (5)
Если значения функции y(t) и ее производной y’(t) - нуле-
вые при t=0 (нулевые начальные условия), а входной сигнал х(t)
является единичной ступенчатой функцией, также равной нулю
при t=0 и имеющей изображение по Лапласу в виде
{}
1 == , то дифференциальное уравнение (5) станет
)s(X)t(L
1
равным
s2Y(s) +5sY(s) +6Y(s) =2s
Y(s)(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Из последнего уравнения можно выразить Y(s)
s
122
23
++
74
sY
)(
= .
65
1
sss
+12
1
,
Оригинал полученной функции отсутствует в табл. 2 ори-
+
s
2
s
3
s
+
s
2
s+3
s
гиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь
разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
sY
)(
= =
23
=
122
sss
65
++
2
321
122
s
=
)3)(2(
+++sss
)3)(2(
++
sss
M
M
2
1
+
+
+
6)235()(
++++++
s
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
М1 + М2 + М
.
5
М
+ 3
1
.
6
М
= 12, M3 = 2.
1
= 0, M1 = 2,
3
.
М
+ 2
2
.
М
= 2, => M2 = -4,
3
Следовательно, дробь можно представить как сумму трех
дробей
s
sY
)(
= =
122
23
2
4
-
sss
65
++
+
2
.
+
Теперь можно, используя табличные функции (табл. 2), оп-
ределить оригинал выходной функции
y(t) = 2 - 4.e
-2t
+ 2.e
-3t
.
8.2.5. Передаточные функции
M
3
=
+
MsMMMsMMM
1321
.
Понятие передаточная функция является наиболее важной
категорией в теории автоматического управления. Передаточная
функция является также своего рода математической моделью
САУ, т. к. полностью характеризует динамические свойства системы.
Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести
понятие передаточной функции.
75
Пусть модель системы управления задана линейным ДУ
второго порядка, связывающим выход у(t) со входом х(t) и возмущением f(t):
2
a +++=++ , (6)
tyd
2
2
dt
)()(
tdy
a
)(
dt
)(
tdx
btya
)(
dt
)(
tdf
сtxb
dt
)(
tfс
010101
где ai, bj, cj - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.
Перейдем к алгебраическому уравнению, записанному в
операторной форме по Лапласу, используя формулы прямого
преобразования по Лапласу:
¥
= dtetysY
ò
-
st
;)()(
0
¥
-
st
= dtetxsX
ò
0
;)()(
¥
= dtetfsF
ò
0
-
st
.)()(
Исходное дифференциальное уравнения при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому
уравнению, записанному для изображений по Лапласу:
a2s2Y(s)+a1sY(s)+a0Y(s)=b1sX(s)+b0X(s)+c1sF(s)+c0F(s).
Преобразуем полученное уравнение
Y(s)·(a2s2+a1 s+a0)=X(s)·(b1s+b0)+ F(s)·(c1s+c0).
Полином, стоящий при выходном параметре Y(s) в левой
части уравнения, называется характеристическим полиномом или
собственным оператором и обозначается А(s). Полиномы при
воздействиях Х(s) и F(s) называются соответственно оператором
управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим В(s), а
оператор возмущающего воздействия обозначим С(s). Тогда последнее уравнение можно записать как
Y(s)·А(s) = X(s)·В(s) + F(s)·С(s).
Передаточной функцией называется отношение изображе-
ния по Лапласу выходной величины Y(s) к изображению входной
величины X(s) (или F(s)),полученных при нулевых начальных ус-
ловиях:
76
)s(W = .
)s(Y
)s(X
Поскольку у системы два входа (задание и возмущение), то
для линейных систем можно применить принцип суперпозиций
(реакция системы на сумму воздействий равна сумме реакций на
каждое воздействие в отдельности) и выделить два случая:
- воздействие F(s) = 0, тогда А(s)·Y(s) = В(s)·X(s),
- воздействие X(s) = 0, тогда А(s)·Y(s) = С(s) F(s).
Таким образом, для любой САР, имеющей входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные
функции: по управлению Wу(s) и по возмущению Wв(s), - которые представляют собой отношения следующих полиномов:
)s(W
y
)s(W
в
)s(Y
)s(X
)s(Y
)s(F
)s(B
===
)s(A
2
)s(B
===
)s(C
2
bsb
+
01
2
+
2
,
asasa
++
01
csc
01
.
asasa
++
01
Передаточные функции содержат особые точки на ком-
плексной плоскости - нули и полюса.
Нули - это те значения s, при которых передаточная функ-
ция равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной
функции приравнивается к нулю, и полученное алгебраическое
уравнение решается относительно s.
Полюса - это те значения s, при которых передаточная
функция превращается в бесконечность.
Знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю,
называется характеристическим уравнением системы.
В рассмотренном примере характеристическое уравнение
будет:
2
2
01
0
=++ asasa .
Нули и полюса определяют свойства системы.
Аналогично передаточным функциям в преобразованиях
Лапласа определяют передаточные функции для операторной
формы записи уравнений (2), (3) как отношения полиномов от
77
оператора дифференцирования. Так, уравнение (6) независимо от
+
+
s
±
1
Ts
начальных условий можно записать в операторной форме в виде:
y(t)·(a2p2+a1 p+a0)=x(t)·(b1p+b0)+ f(t)·(c1p+c0),
и передаточные функции по управлению и возмущению будут
равны
)p(W
= ,
y
2
2
bpb
01
apapa
++
01
)p(W
= .
в
2
сpс
2
01
apapa
++
01
9. Типовые звенья систем автоматического управления
(ПК-19)
Современные СУ состоят из элементов различной физической природы (электрические, пневматические, механические и
др. звенья), конструктивного исполнения, источников энергии и
т.д. Однако динамические свойства некоторых элементов можно
отнести к одной группе и описать одним и тем же ДУ низкого
порядка ( первого или второго)
Элемент системы, обладающий определенными свойствами
в динамическом отношении, называется звеном.
Так как произвольный полином можно разложить на простые множители, то передаточную функцию системы (объекта)
mm
)s(W
)s(B
==
)s(A
1
10
nn
--1
10
b...sbsb
+++
m
a...sasa
+++
n
всегда можно представить в виде произведения простых множителей и дробей вида:
k; s;
1
;
Ts
1
;
1
22
; 12
+± TssT
x
;
±
1
22
x
.
12
+± TssT
Постоянные при разложении называются: k - передаточным
коэффициентом, T -постоянной времени и ξ (0 < ξ < 1) - коэффи-
циентом демпфирования.
Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной группы описываются одинаковыми передаточными функциями. Звенья, передаточные функции которых имеют вид про-
78
стых множителей или дробей, называют типовыми. К простейшим типовым звеньям относятся:
1) усилительное;
2) интегрирующее;
3) дифференцирующее;
4) апериодическое;
5) форсирующее;
6) звено второго порядка;
7) запаздывающее.
По ряду общих закономерностей типовые звенья можно
разделить на следующие группы.
1. Статические звенья, у которых статическая характеристика отлична от нуля, имеют однозначную связь между входной
и выходной переменными в установившемся режиме. К ним относят усилительное, апериодическое, колебательное звенья, у которых передаточный коэффициент связан с передаточной функ-
цией соотношением KsW
=
)( .
s
=0
2. Дифференцирующие звенья, у которых статическая ха-
рактеристика равна нулю, – это идеальное и реальное дифференцирующие звенья. В их передаточную функцию всегда входит
сомножитель s, поэтому 0)(
sW .
s
0==
3. Астатические звенья – звенья, не имеющие статической
характеристики. К ним относится интегрирующее звено, в передаточную функцию которого обязательно входит сомножитель
1/s, поэтому ¥=
)s(W .
s
=0
9.1. Усилительное или пропорциональное звено
Это звено, которое преобразует сигнал в соответствии с
уравнением:
у(t) = К·х(t).
Звено изменяет входной сигнал в К раз. Параметр К назы-
вается коэффициентом передачи или усиления.
Передаточная функция
W(s) = К.
79
Временные характеристики:
К
h(t)=K×1(t);
w(t)=K×d(t).
Выходной сигнал такого звена в точности повторяет вход-
ной сигнал, усиленный в К раз (рис. 43).
Комплексная частотная характеристика или АФЧХ:
W(jw)=K;
Re(W(w)) = K; Im(W(w)) = 0.
Амплитудная А(w) и фазовая j(w) характеристики:
А(w)=K;j(w)=0.
h(t)
0
Рис. 43. Переходная характеристика пропорционального звена
t
Частотные характеристики пропорционального звена с ко-
эффициентом К=2 представлены на рис. 44 – 46.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]