Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Отношение
η
ν
P
= называется кинематической вязкостью
ρ
(для отличия величина
Величина
R является критерием подобия для течения
жидкости: при одинаковых
потоках различных сечений будет одинаков.
Опытным путем вязкость жидкости
например, используя формулу Пуазейля для ламинарного течения жидкости:
4
Pr
Δ
π
Q
=
,
l
η
8
где Q – объем жидкости, протекающий в единицу времени через цилиндрическую трубку радиусом r,
ний между сечениями трубки, находящимися на расстоянии l.
7.7. Движение тел в жидкости и газе
Если тело движется в жидкости или газе, то в общем случае действующую на него силу можно разложить на две составляющие: направленную противоположно скорости (называется
лобовым сопротивлением) и перпендикулярную скорости (называется
подъемной силой).
При равномерном движении тела в идеальной (не вязкой)
жидкости, как показывают расчеты, жидкость свободно обтекает тело, картина линий тока будет симметрична, давление на
переднюю и тыльную часть тела со стороны жидкости оказывается одинаковым и лобовое сопротивление отсутствует.
Если жидкость обладает вязкостью, то на тело при его
движении будет действовать сила трения, которая является одной из причин возникновения лобового сопротивления. Кроме
того, из-за наличия вязкости позади тела возникают вихри, которые приводят к уменьшению давления в этой области. Результирующая сил давления в этом случае не равна нулю, что
увеличивает лобовое сопротивление. Таким образом, лобовое
η
называется динамической вязкостью).
е
R характер движения жидкости в
е
η
можно определить,
Δ – разность давле-
81
сопротивление при движении тела в вязкой жидкости состоит
η
π
из сопротивления трения и сопротивления давления. При малых значениях числа Рейнольдса основной вклад в лобовое со-
противление дает сопротивление трения, с увеличением
R со-
е
противление давления играет все большую роль. Для уменьшения лобового сопротивления телу придают хорошо обтекаемую
каплевидную форму.
При небольших скоростях движения тела и малых его размерах лобовое сопротивление определяется в основном сопротивлением трения. В этих условиях сила сопротивления пропорциональна коэффициенту динамической вязкости
η
, характерному размеру тела l и скорости тела v. Для шарика радиусом
r сопротивление движению при небольших скоростях определяется формулой Стокса:
vrf
6=
.
Форма движущегося тела существенна и для величины
подъемной силы. При обтекании асимметричного тела картина
линий тока также будет не симметричной, что ведет к разным
значениям давления над и под телом и к возникновению подъемной силы.
Вопросы лобового сопротивления и подъемной силы существенны для летательных аппаратов. Их форма выбирается
такой, чтобы обеспечить максимальную подъемную силу и минимальное лобовое сопротивление.
8. КОЛЕБАНИЯ
8.1. Гармонические колебания
При колебаниях процесс изменения физической величины
обладает некоторой повторяемостью во времени. Независимо
от физической природы колебаний (механические, электрические и др.) они подчиняются общим закономерностям, и для их
описания используется единый математический аппарат. Наи
-
более простыми являются гармонические колебания, в этом
82
случае колеблющаяся величина изменяется по закону синуса
x
x
или косинуса. Основные закономерности гармонических колебаний рассмотрим на нескольких примерах механических колебаний.
А) Пружинный маятник. Представляет собой шарик массой m, подвешенный на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с m. На шарик действует сила тяжести
mg, под действием которой
ну
lΔ , возникает сила деформации, которая при небольших
0
пружина деформируется на величи-
деформациях пружины пропорциональна удлинению. Положение равновесия характеризуется условием
.0=Σf
Или:
0
=Δ+ lkgm
.
0
Выбрав положительным направление вниз и спроектировав силы на вертикальное направление, получим условие равновесия в виде:
00=Δ− lkmg .
Будем характеризовать положение шарика координатой
направленной вниз и равной нулю в положении равновесия. Если сместить шарик вниз в некоторое положение
и отпустить,
то шарик начнет движение к положению равновесия. В соответствии со вторым законом Ньютона ( amf
=Σ ), уравнение дви-
жения запишется:
maxlkmg =+Δ− )(
0
.
Подставив сюда условие равновесия и воспользовавшись
традиционными для теории колебаний обозначениями
dx
v
(
или
;x
== x
dt
k
x
2
xd
a
dt
xmkx=−
,
0=+ kxxm
0=+ x
==
), получим:
2
,
.
m
,
83
Обозначив положительную величину
α
ω
α
ω
α
παωαω
π
ω
π
ν
ν
k
как
m
уравнение движения шарика в виде:
2
ω
Это уравнение, описывающее движение шарика, является
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, его общим решением (в чем легко убедиться подстановкой) будет выражение:
Здесь используются следующие обозначения: x – коорди-
ната шарика; а – максимальное отклонение шарика от положения равновесия, называемое амплитудой колебаний; вели-
чина
зой колебаний; постоянная
ный в момент времени t = 0, называется начальной фазой. Так
как значение x не изменится от прибавления или вычитания к
фазе числа 2
лежала в пределах от -
поэтому через промежуток времени T, за который фаза колебаний получает приращение 2
Промежуток времени T называется периодом колебания. Он определяется из условия
0
Функция косинуса является периодической с периодом 2
0
=+ xx
0
+t , стоящая под знаком косинуса, называется фа-
.
)cos(
+= tax .
0
)(
, равная значению фазы в началь-
π
, то всегда можно добиться, чтобы начальная фаза
π
до +π.
π
, состояние системы повторяется.
()
[][]
2
ω
, получим
0
π
200=+−++ tTt . Отсюда:
,
20=T . И для периода колебаний получим выражение
2
=T .
ω
0
Число колебаний в секунду называется частотой
баний. Так как период T – это продолжительность одного колебания, то
1
=
.
коле-
T
84
Единицей частоты является герц (Гц) – это частота такого
ω
ω
ν
αωω
ω
колебания, период которого равен 1с. Величину
называют
0
круговой или циклической частотой. Она связана с обычной частотой соотношением
= 2
π
0
.
Выражение для скорости шарика получим, дифференцируя координату по времени:
)sin(
+−== taxv
00
.
Продифференцировав второй раз по времени, найдем ускорение:
2
0
)(
αωω
+−== tсosaxa
0
.
В процессе колебательного движения происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, и наоборот.
В моменты наибольшего отклонения шарика от положения равновесия (скорость равна нулю) он обладает только потенциальной энергией:
2
ka
E
=
maxp
,
2
а при прохождении положения равновесия – только кинетической энергией. Так как максимальное значение скорости (когда
синус равен единице) равно
2
mv
=
E
maxk
2
max
ma
=
Учитывая, что согласно принятому обозначению
ω
2
a , то
0
202
.
m
k
2
ω
=
0
легко получить, что
.
EE =
maxmax kp
Полная механическая энергия, равная сумме кинетической
и потенциальной энергии, в рассмотренных точках не меняется.
К этому выводу можно прийти и в любой другой точке траектории шарика. Таким образом, полная энергия гармонического
колебания остается неизменной.
,
85
Б) Математический маятник. Представляет собой идеа-
ϕ
M
ϕ
β
ϕ
ϕ
ϕ
αωϕ
ϕ
ϕ
ϕ
лизированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением такой модели
является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Если отклонить маятник от положения равновесия на угол
момент M, равный mglsin
ка). Направления векторов
ление
определяем по правилу правого винта). Уравнение ди-
ϕ
, то на него будет действовать возвращающий
ϕ
(l, m – длина нити и масса маятни-
и
противоположны (направ-
намики вращательного движения (
β
IM =Σ ) для маятника за-
пишется:
2
sin mlmgl =− .
Здесь угловое ускорение
ϕϕ
обозначено как
инерции маятника как материальной точки равен
вая, что для малых углов
(практически если
≈sin , уравнение можно
записать в виде:
Или
g
ϕϕ
l
lSin
Обозначив положитель-
ную величину
получим для
гармонических колебаний:
2
mg
Его решение имеет вид:
=+
ϕωϕ
0
, момент
2
. Учиты-
ml
ϕ
2
ϕϕ
mlmgl =− .
.
0=+
g
как
ω
l
ϕ
уравнение
0
.
)cos(
+= ta .
0
0
5≤
)
2
,
0
86
Здесь a – амплитуда колебаний, т.е. максимальный угол
ω
ϕ
ϕ
α
ω
отклонения маятника от положения равновесия. Итак, малые
колебания математического маятника являются гармонически-
ми. Учитывая связь
с периодом колебаний T, для периода
0
малых колебаний математического маятника получим выражение:
T
l
π
2=
.
g
Если угол отклонения маятника не будет малым, то для
периода колебаний можно получить примерное выражение:
l
π
T
12
g
2
1
+≈
sin
2
a
2
,
2
где a – амплитуда колебаний.
В) Физический маятник. Если колеблющееся тело нельзя
представить как материальную точку, то такой маятник называется физическим. Если отклонить физический маятник от положения равновесия, то на него будет действовать момент
mglsin
ϕ
, где l – расстояние между точкой подвеса и центром
масс маятника. Уравнение движения физического маятника запишется:
Imgl
=− sin ,
где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса. Для малых колебаний получим аналогично, как для математического маятника:
2
0
=+
ϕωϕ
0
,
где
mgl
2
ω
=
0
.
I
Решение полученного уравнения имеет вид:
)cos(
+= tax
0
87
Для периода колебаний физического маятника получим
ω
α
ω
α
ω
выражение:
T
2= .
I
π
mgl
По сравнению с соответствующим выражением для мате-
матического маятника величина
I
l
=
пр
ml
называется приведенной длиной физического маятника.
8.2. Сложение колебаний одинакового направления
При сложении нескольких колебаний удобно воспользоваться представлением гармонического колебания с помощью
вектора амплитуды. Этот метод широко используется в оптике
и электричестве, позволяя просто и наглядно получить результаты сложения многих колебаний. Рассмотрим вектор длиной a,
образующий угол
α
с осью x. Если привести его во вращение
вокруг точки О с угло-
0
вой скоростью
, то
0
проекция конца вектора
будет изменяться со
a
временем по закону
+= tax ,
0
т.е. она будет со-
)cos(
вершать гармоническое
колебание с амплиту-
O
дой, равной длине век-
тора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной
фазой, равной углу, который образует вектор с осью в начальный момент времени. Следовательно, гармоническое колебание
может быть представлено с помощью вращающегося вектора,
длина которого равна амплитуде колебания, а направление век-
88
тора образует с осью угол, равный начальной фазе колебаний.
α
ω
α
ω
x
ω
α
ω
α
α
α
α
x
α
Используем этот метод при сложении двух гармонических
колебаний одинаковой частоты и направления:
()
cos
+= tax ,
1011
()
cos
+= tax .
2022
Смещение x колеблющегося тела будет равно сумме сме-
щений
а
вектор
x и 2x .
1
Представим колебания
, по правилам сложения векторов построим результирующий
2
а
. Проекция этого вектора на ось х равна
x
=
x
+
1
.
2
x и 2x с помощью векторов 1а
1
и
Это означает, что этот вектор и представляет результи-
рующее колебание. Вектор а
а
а
и
1
с угловой скоростью
2
вращается вместе с векторами
, таким образом, результирую-
0
щее колебание можно записать в виде:
)cos(
+= tax .
0
a
O
a
2
a
1
1
2
12
−
x
x
1
x
2
89
Значения а и α найдем, воспользовавшись рисунком:
α
α
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
βαβ
α
2
2
tg
2
2
1
α
=
2
1
2
2
cos2
aaaaa
()
aaaa
aa
+
sinsin
coscos
aa
+
()
[]
αα
−++=
αα
2211
.
αα
2211
ααπ
=−−−+=
1221
,cos2
1221
Из полученных выражений видно, что в зависимости от
значения разности фаз
колебания изменяется в пределах от суммы амплитуд
до их разности
аа − .
21
Если частоты колебаний
а
будут вращаться с разной угловой скоростью. Тогда резуль-
2
−
амплитуда результирующего
21
аа +
21
||
x
x
и
1
разные, то векторы
2
а
и
1
тирующий вектор будет вращаться таким образом, что его длина и угловая скорость будут изменяться. Это означает, что результирующее колебание не является гармоническим, а представляет собой сложный колебательный процесс.
Биения. Однако если два складываемых гармонических
колебания, одинаковых по направлению, мало
отличаются по
частоте, то результирующее движение можно рассматривать
как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями. Допустим, первое колебание имеет угловую частоту
Δ+ . При этом ωΔ <<
ω
, второе колеблется с частотой
ω
. Для простоты расчетов выберем
одинаковыми амплитуды колебаний, а начальные фазы равными нулю:
tax
cos
= , tax )cos(
1
Δ+ .
xxx +ta
21
])cos( t
=+=
2
cos
Δ+= ;
ta )cos(
Δ+
=
[cos
+ta
Используя теорему косинусов
cos2cos
βα
(
=+соs
cos
2
90
−+
), получим:
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]