Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
тело должно обладать скоростью
v , значение которой можно
1
определить из равенства центростремительной силы силе
тяжести:
2
v
1
mg
=
m
R
з
.
Отсюда
gRv =
,
v ≈ 8км/с.
1
При движении со скоростью
з
1
v
тело становится искусст-
1
венным спутником Земли. Эта скорость называется первой кос-
мической скоростью.
Для удаления тела от Земли на расстояние, где притяжение
к Земле становится несущественным, телу необходимо сообщить вторую космическую скорость. При этом кинетическая
энергия тела должна быть достаточной для совершения работы
против сил гравитации при удалении тела
от поверхности Зем-
ли на бесконечность. Эта работа равна
∞
mM
A
R
з
з
dr
2
r
mM
γγ
−==
з
.
R
з
Учитывая примерное равенство
mM
mg
= ,
γ
з
2
R
з
находим
mgRA = .
з
Приравнивая
космической скорости:
gRv 2
= , cкмv /11
2
з
2
mgRA = =
з
≈ .
41
2
mv
2
, находим значение второй
2
Тела, двигаясь вокруг Земли с первой космической скоростью, будут иметь траекторию в виде эллипса или окружности.
При увеличении их скорости траектория трансформируется во
все более вытянутый эллипс. При скорости, равной второй космической, траекторией будет парабола, которая превращается в
гиперболу при дальнейшем увеличении скорости.
Невесомость. Если тело находится в
кабине неподвижного лифта, то оно действует на подставку с силой, равной весу,
деформируя ее. Деформации возникают и в самом теле: верхняя
часть давит на нижнюю. Если лифт движется вниз с ускорением, то давление на подставку уменьшается, уменьшаются и деформации. Особый случай, когда при движении вниз ускорение
лифта равно
g . Реакции исчезают. На тело действует только
сила тяжести. Наступит состояние, когда все деформации отсутствуют. Это состояние называется невесомостью.
Состояние невесомости наступает при полете ракет, спутников, когда двигатели выключены и движение происходит под
действием силы тяжести. При этом исчезают деформации тел.
Тела перестают давить на подставки, и если
их приподнять над
подставкой, они сохранят это состояние. Жидкость, налитая в
сосуд, перестанет давить на дно и на стенки. Поэтому она не
будет вытекать через отверстие внизу. Отвесы будут находиться в том положении, в каком их оставили. У космонавтов исчезает представление, где верх, где низ.
4.7. Движение тел
с переменной массой
Если при движении тело выбрасывает часть своей массы
в каком-либо направлении, то тело получает импульс в противоположном направлении (примером является полет ракеты,
непрерывно выбрасывающей продукты сгорания). Допустим,
в начальный момент времени тело массой
рость
v . По истечении времени t масса тела оказалась равной
0
m имело ско-
0
m, а скорость v. Если на тело не действуют внешние силы, то в
42
этом случае приращение скорости тела может быть вычислено
по формуле Циолковского:
m
0
vvv
c
0
где
v – скорость (относительно тела), с которой покидают тело
c
,
ln=−
m
отделившиеся массы.
Если при этом действуют еще и внешние силы
f
, то ха-
рактер движения тела будет определяться уравнением Мещерского:
vd
m
dt
Здесь величина
dm
vf
+= .
c
dt
dm
vf
= называется силой тяги реак-
cт
dt
тивного двигателя.
4.8. Преобразование координат Галилея
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k и
Система
скоростью
′
k
движется относительно системы k с постоянной
v
вдоль оси x. Найдем связь между результатами
0
′
k
измерений координат и времени, проведенных в этих системах
отсчета. Координаты тела А и время в инерциальной системе
отсчета k обозначим как x,y,z,t. Соответственно
в инерциальной системы
ни начала координат о и
ремещается вдоль оси x, то координаты
′
k
. Пусть в начальный момент време-
′
о
совпадают. Так как система k′ пе-
′
, . За время
=
′
zzyy
=
′′′′
tzyx
,,, –
t расстояние изменится и станет равным:
′
oo
=
−=
v t.
0
tvxx
0
′
x
:
.
На такую же величину отличаются координаты x и
′
В механике Ньютона предполагается, что результат измерения времени не зависит от системы отсчета, поэтому tt
′
= .
.
43
Таким образом, соотношение между координатами точки А в
′
k
−=
0
,yy =
,
.
имеют вид:
tvxx
,
y
′
y
′
k
′
o
v
0
′
x
′
z
системах k и
′
′
′
zz =
′
tt =
Эти соотношения называются преобразованиями Галилея.
Продифференцировав выражение для координаты x, получим
закон сложения скоростей:
′
dx
dt
Или, используя обозначения v
xd
+
=
dt
′
vvv +
= .
0
,
v
0
′
xd
v
=
, :
dt
′
44
dx
=
dt
5. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Δ
5.1. Движение центра масс твердого тела
Важной точкой твердого тела является центр масс (иногда
его называют центром инерции) твердого тела. Для выяснения
законов его движения разобьем тело на элементарные массы
m
и напишем для каждой элементарной массы уравнение
i
второго закона Ньютона:
f
где
– результирующая всех внутренних, а
i
Ffam
+=⋅Δ ,
iiii
F
– наружных
i
сил, приложенных к данной массе. Складывая уравнения для
всех элементарных масс и учитывая, что сумма всех внутренних сил системы равна нулю, получим:
Fam
Σ=⋅ΣΔ
.
iii
Введем радиус вектор центра масс, который по определению равен
=
r
c
m
⋅ΣΔ
rm
ii
,
где m – масса всего тела.
Дифференцируя дважды по времени, получим ускорение
центра масс:
=
a
c
Отсюда
Подставив в уравнение
Σ= .
⋅ΣΔ
am
ii
.
m
amam
⋅ΣΔ=⋅
iic
Fam
Σ=⋅ΣΔ
, получим:
Fam
ic
iii
Это уравнение позволяет описать движение центра масс
твердого тела. Оно означает, что центр масс твердого тела
движется так, как двигалась бы материальная точка с мас-
45
сой, равной массе тела, под действием всех приложенных к те-
r
M
Δ
Δ
Δ
лу сил.
5.2. Основное уравнение
динамики вращательного движения
Ускорение, получаемое телом при вращательном движе-
нии, зависит не только от величины приложенной силы
расстояния
от оси вращении до линии, вдоль которой дейст-
f
, но и
вует сила. Это обстоятельство учитывается векторной физической величиной, которая называется моментом силы. По опре-
делению моментом силы
относительно точки называется
векторное произведение:
][ frM
×=
.
Так как векторное произведение дистрибутивно, то момент суммы сил, имеющих общую точку приложения, равен
сумме моментов слагаемых сил.
При вращении тела относительно оси составляющая силы,
параллельная оси, вращения не осуществляет (может только
изгибать ось). Способность силы вращать тело относительно
оси характеризует составляющая силы, лежащая в плоскости,
перпендикулярной оси. Момент,
создаваемый этой составляю-
щей, и называется моментом силы относительно оси.
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси OO. Разобьем его на элементарные мас-
сы
m
. Поскольку
i
то равнодействующая всех сил
m
вращается по окружности радиусом
i
f
лежит в плоскости окружно-
i
r ,
i
сти.
Тангенциальная составляющая
корение
a
. По второму закону Ньютона:
i
τ
m
.
=
a
i
τ
.
f
i
i
τ
f
этой силы вызывает ус-
i
τ
46
β
β
Δ
β
Δ
0
r
m
i
i
f
i
τ
f
i
0
Нормальная составляющая силы
f
обеспечивает центро-
i
стремительное ускорение и на угловое ускорение
=
r
Так как
m
a
i
τ
.
r
i
Умножив обе части уравнения на
2
, то
i
=
f
i
β
.
i
τ
r :
i
rfrm
=Δ
.
iiii
τ
не влияет.
Так как
2
τ
Mrm =Δ
β
iii
является моментом силы
Mrf =
iii
.
Это равенство можно записать векторно, ведь
f , то:
i
β
и
M
i
имеют одинаковое направление, совпадающее с осью вращения:
2
Mrm
=Δ
β
.
iii
47
В общем случае момент
Δ
M
представляет собой сумму
i
моментов всех внутренних и внешних сил, действующих на
m
.
i
Просуммируем полученное уравнение по всем элементарным массам. Учтем, что сумма моментов всех внутренних сил
равна нулю. Так как
вынесем за знак суммы:
()
Здесь
2
β
=ΣΔ
ii
M
– суммарный момент всех внешних сил, прило-
β
одинаково для всех точек тела, то его
Mrm
.
женных к телу.
2
Величина I =
rmΣΔ называется моментом инерции тела
ii
относительно оси вращения. Тогда можем записать:
I
β
= M.
Это выражение является основным уравнением динамики
вращательного движения. По форме оно сходно со вторым за-
fam
коном Ньютона
= . Таким образом, во вращательном
движении момент сил играет ту роль, которую играет сила при
поступательном движении. Роль массы (т.е. меры инертности)
при вращательном движении играет момент инерции.
5.3. Момент инерции
Из определения момента инерции I =
2
rmΣΔ ясно, что
ii
момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Если имеется одна материальная точка, то ее момент инер-
ции равен
системе СИ является
Для нескольких материальных точек
2
mrI = . Единицей измерения момента инерции в
1 мкг ⋅ .
2
2
rmI Σ= . Если сто-
ii
ит задача определить момент инерции твердого тела, то его
следует разбить на элементарные массы dm и провести сумми-
48
рование произведений этих масс на квадрат их расстояния до
оси вращения по всему объему тела, т.е. вычислить интеграл:
2
=
dmrI
V
Введя понятие плотности тела как
.
dm
=
ρ
, где dV – фи-
dV
зически бесконечно малый объем, момент инерции можем записать:
2
=
dVrI
ρ
V
.
Вычислим для примера момент инерции однородного диска (или цилиндра) с внешним радиусом R, толщиной b, относительно оси OO, проходящей через его центр перпендикулярно к
плоскости диска. Разобьем диск на кольцевые слои, радиусом r,
толщиной dr. Объем такого слоя равен dV = b2
π
rdr. Момент
инерции будет равен:
.
Здесь
I r dV r dV r b rdr
====
2
ρρ ρπ
== = =
V
222 .
= яв-
R
brdr b b
πρ πρ πρ
0
2
ρπ
bRm
RR
22
00
442
3
rRmR
R
0
442
2
O
dr
ляется массой диска.
В приведенном при-
R
мере вычислен момент
инерции диска относи-
r
тельно оси симметрии.
Относительно другой
оси вычислить момент
инерции сложнее. В
этом случае полезной
является теорема
Штейнера:
b
O
49
Момент инерции тела относительно произвольной оси
Δ
ω
равен сумме момента инерции
I относительно оси, парал-
0
лельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями.
I =
I + m2a .
0
Моменты инерции различных тел:
1. Тонкий длинный стержень длиной l (относительно оси,
проходящей через центр):
1
I =
2
ml .
12
2. Тонкий диск относительно оси, совпадающей с диамет-
ром:
1
2
mRI = .
4
2. Шар.
2
3.
2
.
mRI =
5
5.4. Кинетическая энергия твердого тела
Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой
скоростью
m
равна
i
ω
, то кинетическая энергия элементарной массы
2
vmΔ
ii
, учтя, что
2
rv = , и просуммировав по всем
ii
элементарным массам, получим кинетическую энергию тела:
1
ω
22
rmE
iiк
2
ω
I
=ΣΔ= .
22
Если твердое тело имеет и поступательную и вращательную скорость, то его кинетическая энергия складывается из
энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]