Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Выясним, какой смысл с точки зрения кинетической теории имеет температура. Для этого умножим выражения для
давления на объем моля:
2
2
nVpV
= .
3
Так как
nV равно числу Авогадро AN , а из уравнения
M
vm
)(
MM
2
состояния идеального газа:
RTPVM=
,
то
2
2
NRT
= ,
vm
A
23
или
2
vm
2
где
3
kT
= ,
2
kNR
=/ является постоянной Больцмана.
A
Таким образом, абсолютная температура есть величина,
пропорциональная средней энергии движения одной молекулы.
Этот вывод справедлив не только для газов, но и для вещества в
любом состоянии.
Из полученного выражения следует также, что средняя
энергия зависит от температуры и не зависит от массы молекулы.
Таким образом, если
имеется смесь газов, то разные по
массе молекулы имеют одинаковую среднюю энергию и темпе-
2
vm
ратуру. Если подставить
в выражение для давления, по-
2
лучим:
nkTp = .
Для смеси газов его можно записать:
p nkT n n kT
==++⋅⋅⋅=
nkT n kT p p p
= + +⋅⋅⋅= + +⋅⋅⋅=
12 12
()
12
,
Σ
i
131
где kTnp
ψϕθ
φψ
бы в нем находились лишь молекулы сорта i (называется парциальным давлением).
смеси газов: Давление смеси идеальных газов равно сумме пар-
циальных давлений газов, образующих смесь.
ε
= – это давление, которое было бы в сосуде, если
ii
Полученное выражение представляет закон Дальтона для
11.2. Равнораспределение энергии по степеням свободы
Полученное выражение для средней
3
учитывает только энергию поступательного движе-
kT
=
энергии молекулы
2
ния молекул. Однако наряду с поступательным возможно вращение молекул и колебания атомов, входящих в состав молекулы. Оба эти вида движения связаны с некоторым запасом энергии, определить который позволяет установленное статистической физикой положение о равнораспределении энергии по
степеням свободы молекулы.
Числом степеней
ется количество независимых величин, с помощью которых
может быть задано положение системы. Так, положение в
пространстве материальной точки определяется заданием трех
ее координат x, y, z. Таким образом, материальная точка имеет
три степени свободы.
Положение твердого тела определяется заданием трех координат центра инерции x, y, z и трех углов
ной оси, проходящей через центр инерции. Таким образом,
твердое тело имеет шесть степеней свободы. Изменение координат x, y, z обуславливается поступательным движением твердого тела, поэтому соответствующие степени свободы называются поступательными. Изменение углов
менных
зи с чем соответствующие степени свободы называются вра-
щательными.
x, y, z обуславливается вращением твердого тела, в свя-
свободы механической системы называ-
,, фиксирован-
,,
θ
при неиз-
132
Система из N материальных точек имеет 3 N степеней свободы. Любая жесткая связь уменьшает число степеней свободы
на единицу. Действительно, если система состоит из двух материальных точек, то расстояние l между ними остается постоянным. В этом случае между координатами точек имеется соотношение
()( )()
2
12
2
12
2
2
lzzyyxx =−+−+− ,
12
вследствие чего координаты не будут независимыми: достаточно задать пять координат, шестая координата определится указанным соотношением. Таким образом, система из двух жестко
связанных материальных точек имеет пять степеней свободы:
для определения ее положения достаточно задать три координаты одной точки и два пространственных угла, определяющих
положение второй точки, т.
е. система имеет три поступатель-
ные и две вращательные степени свободы.
Если связь между материальными точками не жесткая, а
упругая, то в этом случае система обладает шестью степенями
свободы. Для определения ее положения необходимо задать три
координаты, два угла и расстояние r между точками. Изменению r при упругой связи соответствуют колебания
в системе.
Итак, рассматриваемая система имеет три поступательные, две
вращательные и одну колебательную степени свободы.
Из опыта по определению теплоемкости газов вытекает,
что при определении числа степеней свободы молекулы и атомы следует рассматривать как материальные точки. Следовательно, одноатомной молекуле следует приписать три поступательные степени свободы (вращение для
материальных точек
смысла не имеет). Двухатомной молекуле, в зависимости от характера связи, нужно приписывать три поступательные и две
вращательные степени свободы (при жесткой связи) или три
поступательные, две вращательные и одну колебательную степень свободы (при упругой связи). Трехатомной молекуле с жесткой связью – три поступательные и три вращательные степе
-
ни свободы и т.д.
Полученное выражение для средней энергии молекулы,
обладающей тремя поступательными степенями свободы,
133
3
kT
=
ε
означает, что (так как ни одна степень свободы не
2
имеет преимущества перед остальными) на одну степень свобо-
ды приходится в среднем энергия, равная
1
kT
. Естественно
2
предположить, что ни один из видов движения не имеет преимущества перед другими, и, следовательно, на любую степень
свободы – поступательную, вращательную и колебательную –
должна приходиться в среднем одинаковая энергия, равная
1
kT
. Это утверждение представляет собой содержание поло-
2
жения о равнораспределении энергии по степеням свободы.
Согласно этому положению среднее значение энергии
молекулы
сложнее молекула, чем больше у нее степеней свободы. Опыты
показали, что колебательная степень свободы должна обладать
вдвое большей энергетической емкостью по сравнению с поступательной и вращательной.
Таким образом, средняя энергия молекулы равна
ε
будет (при той же температуре) тем больше, чем
i
kT
=
ε
,
2
где i – сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы.
Молекулы идеального газа на расстоянии не взаимодействуют между собой. Поэтому внутреннюю энергию одного моля
идеального газа можно найти, умножив постоянную Авогадро
на среднюю энергию одной молекулы:
NU
Сравнив с полученным ранее выражением для внутренней
энергии моля идеального газа
i
ε
AAM
i
===
kTN
RT
.
22
TCUVM= , имеем:
C
i
.
=
V
R
2
134
Соответственно:
C
=
P
R
+
i22
и
C
i
P
γ
C
V
2+
==
.
i
Полученные результаты показывают, что теплоемкости газов должны быть целыми, кратными R/2. Эксперименты свидетельствуют об иногда существенных различиях между теорией
и опытом. Полное согласие с экспериментом было достигнуто
в квантовой теории теплоемкости газов. Как устанавливает
квантовая теория, энергия вращательного и колебательного
движения молекул оказывается квантованной. Это означает, что
эта
энергия не может иметь любые значения, а только дискретные. Следовательно, энергия, связанная с этими видами движения, может меняться только скачками. Для энергии поступательного движения таких ограничений не существует. Учет
квантовых законов движения молекул и распределения молекул
по энергиям приводит к результатам, согласующимся с опытом.
Таким образом, классическая теория
теплоемкости дает
удовлетворительные результаты для одноатомных молекул (это
связано с тем, что поступательное движение не имеет квантовых ограничений). Для многоатомных молекул классическая
теория приближенно верна лишь для отдельных температурных
интервалов, причем каждому температурному интервалу соответствует свое число степеней свободы молекул.
11.3. Распределение молекул газа по скоростям
Молекулы газа
движутся с самыми различными скоростя-
ми, причем величина и направление скорости непрерывно меняются у каждой молекулы как по величине, так и по направлению. Методы статистической физики позволяют во всем этом
хаосе выявить определенные закономерности.
135
Пусть N – общее число молекул газа в рассматриваемой
Δ
системе. Выясним, чему равно число молекул
скорости которых заключено в пределах от v до v+
Δ
N зависит от общего числа молекул N и от величины интерва-
ла
Δ
v:
Δ
N ∼ NΔv.
Кроме того,
лены скорости молекул, т.е. как много имеется молекул с большой скоростью, с малой и т.д. Этот закон называется функцией
распределения молекул по скоростям, обозначим эту функцию
()
vf . Итак:
Δ
N зависит от закона, по которому распреде-
N, значение
Δ
v. Ясно, что
N =
NΔ=Δ
()
vf N
()
Δ
v.
vvf
Δ
Отношение
N
является вероятностью того, что скорость молекулы будет
Δ
иметь значение в пределах от v до v+
ности применяется в смысле Лапласа, Гаусса, Лежандра: это
отношение числа благоприятных событий ко всем возмож-
ным.) Сумма по всем интервалам
()
vvNfN ΔΣ=ΣΔ ,
ii
очевидно, равна полному числу N, т.е.
точки зрения вероятности означает, что вероятность того, что
скорость молекулы лежит в пределах от нуля до бесконечности,
является достоверностью. Итак, используя бесконечно малые
интервалы dv, имеем:
∞
()
Это выражение представляет собой так называемое условие нормировки.
10=
dvvf .
v. (Здесь понятие вероят-
NΔ :
i
1)( =ΔΣ
vvf . Это с
ii
136
Функция распределения молекул по скоростям была найдена теоретически Максвеллом и носит его имя. Она имеет вид:
2
mv
2
kT
2
,
Avf ⋅
−⋅=
exp)( v
где A – множитель, не зависящий от v; m – масса молекулы, k –
постоянная Больцмана. Величина A вычисляется из условия
нормировки:
∞
exp ⋅
A
0
2
mv
−
2
kT
2
= 1.
dvv
Вычисления дают значение A, равное:
kT
2/3
.
A
2
π
m
4
π
=
Таким образом, функция распределения Максвелла выглядит следующим образом:
f(v) =
2/3
m
4
π
2
kT
π
exp v
2
mv
−⋅
2
kT
2
.
⋅
График функции Максвелла имеет следующий вид:
f(v)
v
137
Площадь под кривой равна:
∞
()
.
10=
dvvf
При увеличении температуры газа скорость молекул увеличивается, и наиболее вероятная скорость, соответствующая
максимуму функции распределения, смещается в сторону
больших скоростей, а сам максимум кривой становится ниже
(так как площадь, охватываемая кривой, остается неизменной).
Разобьем ось скоростей на малые интервалы
му интервалу соответствует число молекул
Поскольку интервал
лекул можно приближенно считать равной
ростей молекул в интервале
всех N молекул равна Σ
нюю арифметическую скорость молекул
vΔ мал, то скорость каждой из iNΔ мо-
i
v . Сумма всех ско-
vΔ равна iviNΔ . Сумма скоростей
i
viNΔ . Разделив на N, получим сред-
i
:
v
i
vΔ . Каждо-
i
()
vvNfN Δ=Δ .
iii
Nv
ΔΣ
v
=
ii
.
N
Подставив сюда
vvfvv ΔΣ= )( .
iii
()
vvNfN Δ=Δ и сократив N:
iii
Переходя к интегралу, получим выражение для вычисления средней скорости молекул:
∞
ср
==
)( dvvvfvv
0
.
Зная функцию распределения, по этому методу можно получить и другие средние величины, например, среднее значение
2
квадрата скорости молекул
∞
22
=
0
)( dvvfvv .
v
:
138
Соответствующие вычисления для максвелловской функции распределения молекул по скоростям приводят к следующим результатам:
средняя скорость молекул:
kT
ср
ср.кв
8
=
=
;
m
π
2
v :
3
kT
;
m
v
средняя квадратичная скорость, равная
v
наиболее вероятная скорость (соответствующая максимуму
функции распределения):
2
kT
=
v
вер
.
m
Расчеты, проведенные для функции распределения Максвелла, показывают, что у 70% всех молекул скорость отличается от наиболее вероятной не более чем на 50%. Скоростью,
более чем в три раза превышающей
только 0,04% молекул. Скорости же, превышающие 5
v , обладают в среднем
вер
, на-
v
вер
блюдаются лишь у одной из 12 миллиардов молекул. По абсолютной величине при нормальных условиях скорости молекул
достигают сотен метров в секунду. Например, средняя скорость
молекулы кислорода при температуре 300 K равна 500 м/с.
Экспериментальная проверка функции распределения молекул газа по скоростям, проведенная Штерном, затем Ламмертом, а также результаты других
исследователей подтвердили
справедливость закона распределения, установленного теоретически Максвеллом.
139
11.4. Распределение Больцмана
μ
μ
μ
В барометрической формуле
gh
μ
RT
,
0
exp
−=
pp
представляющей зависимость давления воздуха в зависимости
от высоты над поверхностью земли, заменим p через nkT. В результате получим закон изменения с высотой числа молекул в
единице объема:
μ
gh
RT
.
exp
−=
nn
0
Учитывая, что
kNR = ,
A
N
где k – постоянная Больцмана,
– число Авогадро, получим в
A
показателе экспоненты:
gh
RT
gh
A
TkN
ghm
==
.
kT
Здесь
m
= обозначает массу молекулы. Таким обра-
N
A
зом:
ghm
nn exp
0
−=
kT
.
Из этой зависимости следует, что при T = 0 число молекул
на высотах, отличных от h = 0, равно нулю. То есть при абсолютном нуле температуры все молекулы расположатся у поверхности земли. Этот факт имеет простое физическое объяснение. Распределение молекул по высоте устанавливается в результате двух тенденций: 1) притяжение молекул к
земле (характеризуется силой mg) стремится расположить их на земной
поверхности; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной kT) стремится разбросать их равномерно по всем высотам.
Чем больше m и меньше T , тем сильнее преобладает первая
140
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]