Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12
ϕ
M
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
I
I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы. Измерение моментов инерции некоторых
тел относительно различных осей вращения.
Краткая теория. Рассмотрим твердое тело, закрепленное
на вертикально натянутой упругой нити (проволоке). Пусть
направление этой нити проходит через центр тяжести тела, a
его вес уравновешивается разностью натяжений верхнего
нижнего участков нити.
Если повернуть это тело на малый угол
дет действовать возвращающий момент упругих сил, возни-
кающих при этом в нити, равный по закону Гука:
D=−
, (1)
D – модуль кручения проволоки, связанный с ее размерами
где
и модулем сдвига материала.
В результате возникнут крутильные колебания тела вокруг
неподвижной оси, совпадающей с нитью, уравнение которых
имеет вид:
ID
+=0 , (2)
где
относительно этой оси.
нием (2), равен
=ε – угловое ускорение и
Период гармонических колебаний, описываемых уравне-
– момент инерции тела
, то на него бу-
и
I
=
T
2
π
. (3)
D
Этот период можно измерить экспериментально с помощью секундомера, но две величины
неизвестными. Для их определения необходимо еще одно уравнение.
Чтобы получить второе уравнение для этих неизвестных,
поступим следующим образом. Прикрепим к рассматриваемому
телу cоосно второе тело с известным моментом инерции
и D остаются при этом
(в
I
0
221
2
I
I
T
эксперименте это может быть шар, для которого
1
или цилиндр с
ImR
= ). При этом оба тела будут колебать-
0
2
2
ImR
=
0
2
5
ся как единое целое, причем период колебания увеличится и
станет равным:
II
+
T
2=
π
1
0
. (4)
D
Решая систему двух уравнений (3) и (4) относительно неизвестных
D
и D, получим:
2
I
4
π
=
0
22
TT
−
1
, II
=
0
2
T
22
TT
1
. (5)
−
Если мы хотим теперь определить неизвестный момент
инерции
произвольного тела, заменим в нашей системе эта-
I
x
лонный шар (или цилиндр) этим телом. Тогда момент инерции
II
системы станет равен
II
T
=
2
x
+
π
D
+ , а период колебаний
x
x
. (6)
Подставляя сюда из (5) найденные ранее значения
и D ,
получим:
22
TT
−
=
0
x
22
TT
−
1
. (7)
,
и
T
1
(в эксперименте
T
x
II
x
Измерив периоды колебаний
это периоды колебаний соответственно «пустой» рамки для
крепления образцов, рамки с эталонным телом и рамки с телом,
момент инерции которого измеряем), по формуле (7) рассчитаем неизвестный момент инерции
инерции
.
I
0
222
I
через эталонный момент
x
Экспериментальная установка. Основным элементом
установки является торсионный подвес, состоящий из рамки
для крепления исследуемых тел, подвешенной на проволоке,
вертикально натянутой между кронштейнами штатива. Вдоль
рамки может перемещаться перемычка, которую можно закреплять в любом положении с помощью специальных винтов. Исследуемые тела зажимаются между фиксирующими остриями
перемычки и рамки. Для измерения
времени и числа колебаний
рамки используется электронный секундомер, на переднюю панель которого выведены клавиши СЕТЬ, СТОП, СБРОС и индикаторы: слева – для отсчета числа колебаний и справа – для
отсчета времени.
Для включения секундомера используется прикрепленный
к рамке флажок, пересекающий при своем движении луч света,
падающий на фотодетектор. Возникающий при
этом импульс
поступает на секундомер, совмещенный со счетчиком импульсов.
Для удержания рамки в начальный момент в отклоненном
положении (при закрученной проволоке) используется электромагнит, к которому притягивается флажок рамки. Включение электромагнита производится специальным выключателем,
укрепленном на одном с ним кронштейне. Величина угла отклонения рамки отсчитывается по круговой шкале
, проградуи-
рованной в градусах.
Для измерения периода колебаний рамки необходимо поступать следующим образом.
Нажать клавишу СЕТЬ на лицевой панели секундомера.
Включить тумблер электромагнита и повернуть рамку так,
чтобы ее флажок притянулся к сердечнику электромагнита.
Смещая электромагнит вдоль кольцевой прорези и закрепляя
его в новом положении, можно задавать различные амплитуды
колебаний.
Нажать кнопку СБРОС – схема готова к работе.
Выключить тумблер электромагнита. Флажок освобождается и рамка, под действием упругих сил в закрученной проволоке, начинает колебаться. При первом пересечении флажком
223
луча света автоматически запускается секундомер и начинается
отсчет времени на правом индикаторе. Одновременно на левом
индикаторе высвечивается число колебаний рамки за это время.
При нажатии клавиши СТОП секундомер продолжает отсчет времени до момента завершения очередного периода колебаний и затем автоматически выключается. Отношение времени
к числу колебаний и определяет искомую
величину периода T
колебаний.
Порядок выполнения работы.
1. Измерить диаметр эталонного шара (или цилиндра).
2. Определить массу эталонного образца.
3. Измерить время 10-ти колебаний пустой рамки.
4. Закрепить в рамке эталонный образец и найти период
10-ти колебаний.
5. Закрепить в рамке исследуемый параллелепипед (или
куб) и измерить период 10-ти колебаний для оси, проходящей
через центры противоположных
граней. Измерения провести
для всех трех аналогичных осей.
6. Вычислить моменты инерции по формуле (7) и соответ-
ствующую ошибку измерений.
7. Измерить массу
иb . Определить теоретическое значение момента инерции
a
параллелепипеда в соответствии с формулой
m параллелепипеда и длину его сторон
1
Imab=+
22
()
12
и сравнить со значением, полученным в эксперименте по формуле (7).
Темы для самостоятельного изучения и контрольные вопросы:
1. Сформулировать определение момента инерции для материаль-
ных точек и твердого тела (с. 48, 49).
2. Теорема Штейнера (с. 49, 50).
3. С помощью теоремы Штейнера получить выражения для момен-
та инерции шара относительно оси, находящейся на расстоянии
симметрии шара
224
a от оси
4. Основное уравнение динамики вращательного движения
r
ϕ
M
M
ϕ
ϕ
ϕ
I
ϕ
(с. 46-48).
5. Кинетическая энергия твердого тела (с. 50, 51).
6. Шар радиуса
кости со скоростью v , масса шара m . Найти кинетическую энергию шара (с. 50, 51).
7. Как изменится период крутильных колебаний шара, если его радиус увеличится в 2 раза, а плотность материала, из которого изготовлен
шар и проволока торсионного подвеса, останется прежней? (с. 50, 56,
221).
катится без скольжения по горизонтальной плос-
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14
ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ТЕЛА МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНОГО БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы. Экспериментальное изучение законов со-
хранения. Измерение скорости быстролетящего тела.
Краткая теория. Рассмотрим горизонтально расположенный стержень, подвешенный в центре тяжести на вертикально натянутой упругой нити (проволоке), так что вес стержня уравновешен разностью натяжений на
участках нити. При повороте стержня на малый угол
верхнем и нижнем
вокруг
вертикальной оси, совпадающей с проволокой, на него будет
действовать возвращающий момент упругих сил
, равный по
закону Гука:
D=−
, (1)
D – модуль кручения нити.
где
Поскольку нить неподвижна, уравнение движения стержня
описывает его вращение вокруг неподвижной вертикальной оси
и имеет вид:
ID
=−
где
– момент инерции стержня,
, (2)
– его угловое ускорение.
Это есть уравнение гармонических колебаний системы, которая
225
называется крутильным маятником. Период этих колебаний
v
v
ω
ω
I
I
ω
ω
ϕ
I
T
= 2
.
π
D
Пусть некоторое тело
массы
0
тально (по инерции) со скоростью
жень на расстоянии
m
d
вращения (проволоки) и за-
v
стревает в нем (рисунок).
После удара тело и стержень
m , летящее горизон-
, ударяется о стер-
d от оси
движутся вместе, поворачи-
m
Схема эксперимента
ваясь вокруг вертикальной
оси. К системе можно применить закон сохранения
момента импульса, который при условии, что вектор скорости
тела в момент удара перпендикулярен стержню, запишется в
виде:
Imd mvd Mt+−=
()
где
– угловая скорость вращения системы непосредственно
0
после удара; тело
2
md
. Если время удара значительно меньше периода колебаний
2
ω
0
Δ
, (3)
m считается точечным с моментом инерции
системы (режим баллистического маятника), то смещением
стержня за время удара можно пренебречь, и правая часть равенства стремится к нулю. Поэтому уравнение (3) позволяет
выразить скорость движения тела до удара:
I
0
v
=
, (4)
md
где в числителе мы пренебрегли величиной
с
из-за ее малости.
Поскольку
определения скорости полета тела
и d можно измерить непосредственно, для
m
v необходимо найти
2
md
по сравнению
и
.
0
После удара маятник приходит во вращение с угловой
скоростью
и, поворачиваясь, закручивает нить. В результате
0
226
кинетическая энергия его вращательного движения
ϕ
ϕ
ω
R
реходит в энергию упругой деформации нити:
22
ID
ωϕ
0
m
= , (5)
22
2
I
ω
0
пе-
2
где
до
– максимальный угол поворота (при изменении ϕ от 0
m
, угловая скорость изменяется от
m
до 0). Таким обра-
0
зом:
D
ωϕ
=
0
и задача нахождения скорости
, (6)
m
I
сводится к определению I и
v
D , которые могут быть найдены по измеренному периоду соб-
ственных колебаний маятника.
Экспериментальная установка и методика измерений.
Установка с крутильным баллистическим маятником состоит из
горизонтального стержня, растянутого на двух вертикальных
проволоках, прикрепленных к верхнему и нижнему кронштейнам вертикального штатива. На концах стержня имеются две
площадки: одна из них покрыта пластилином
для неупругого
удара тела («снаряда»), другая имеет вертикальную риску на
торце, используемую для отсчета угла поворота стержня по
градусной шкале. Вдоль стержня могут перемещаться два груза
массы
m каждый, расположенные симметрично относительно
′
подвеса. Эти грузы закрепляются с помощью винтов на одинаковых расстояниях
от оси вращения.
Посередине стержня к нему прикреплен изогнутый рычаг – прерыватель света, падающего на фотоприемник. Фотоприемник соединен с электрическим секундомером и служит
для его автоматического включения.
На лицевую панель секундомера выведены клавиши
управления СЕТЬ, СБРОС, СТОП и два индикатора для отсчета
числа полных колебаний и времени колебаний.
227
Кроме того, в установке имеются «пушка» и набор «сна-
N
T
ϕ
I
рядов» различной массы, скорости которых после «выстрела»
измеряются в этой работе.
Измерения периода колебаний стержня производятся следующим образом:
Нажимаем клавишу СЕТЬ.
Нажимаем клавишу СБРОС. На индикаторах должны высветиться нулевые показания.
После выстрела стержень начинает совершать крутильные
колебания. Электрический секундомер включается
автоматически, отсчитывая число полных колебаний и время колебаний.
При нажатии клавиши СТОП отсчет времени продолжается до окончания текущего колебания, после чего секундомер
автоматически останавливается, высвечивая на индикаторах
полное число колебаний
секундомером. Очевидно, период колебания
за время t, зарегистрированное
равен отноше-
t
нию этих величин:
T
= .
N
С помощью соотношений (4) и (6) скорость полета снаряда можно вычислить по формуле:
I
ϕϕ
v
mm
==
DI
. (7)
mdDImd
Для этого:
– находим массу
– находим
d с помощью шкалы, нанесенной на стержне и
m тела взвешиванием (до выстрела);
площадке (после выстрела);
– находим максимальный угол поворота
ника) по круговой градусной шкале.
Для определения
колебаний маятника
и
R
1
каждого из грузов
R
2
T
1
D и
и
измеряем периоды собственных
при двух различных расстояниях
T
2
m от оси вращения (центра стерж-
′
ня). При этом по теореме Штейнера:
228
(отброс маят-
m
2
2
ImR
+
()
01
π
ImR
()
02
π
где в
T
2
=
1
T
2
=
2
входят моменты инерции стержня с площадками,
I
0
а также «собственные» моменты инерции грузов
′
,
D
(8)
2
+
2
′
,
D
m (относи-
′
тельно их центров инерции).
Решая систему (8) относительно неизвестных D и
I
0
получим:
2
2
π
mR R
8
′
()
D
=
2
mRT RT
=
I
0
1
2
TT
−
()
1
′
()
122
2
TT
()
1
2
−
2
2
2
2
−
−
, (9)
2
221
2
2
.
Если выстрел производился на расстоянии между грузами
, то II mR=+
21R
01
2
2 в формуле (7) , и подстановка D и
′
I
0
из (9) окончательно дает:
2
−
2
2
. (10)
v
=
πϕ
mTR R
4
′
()
m
1122
2
md T T
−
()
1
Порядок выполнения работы.
1. Сдвинуть грузы
вращения), измерить расстояние
m как можно ближе к проволоке (оси
′
. Произвести настройку ну-
R
1
ля прибора (чтобы черта на площадке стержня находилась
точно напротив нулевого деления шкалы, а тень от стержня –
прерывателя светового потока – полностью закрывала фотоприемник).
2. Взвесить тело массы
m и вложить его в ствол пушки.
Нажать клавишу СБРОС и убедиться, что на индикаторах вы-
,
229
светились нулевые показания. Взвести пружину, произвести
ϕ
v
выстрел (снаряд должен прилипнуть к пластилину) и измерить
амплитуду
первого самого большого отброса стержня. Из-
m
мерить время 10-ти полных колебаний стержня, для чего нажать клавишу СТОП после появления на индикаторе числа колебаний цифры 9.
3. Вычислить период колебания стержня
, разделив вре-
T
1
мя колебаний на их число.
4. Остановив маятник, измерить расстояние
d от прово-
локи до места попадания снаряда.
5. Раздвинуть грузы массы
тра и измерить расстояние
. По методике, описанной в пунк-
R
2
тах 2 и 3, измерить период колебания
6. Вычислить по формуле (10) скорость снаряда
как можно дальше от цен-
m
′
T
.
2
v и
ошибку ее измерения.
7. Повторить измерение скорости снаряда 5 раз и опреде-
лить среднее значение скорости и ошибку ее измерения.
8. Измерить скорости 3 различных снарядов.
Темы для самостоятельного изучения и контрольные вопросы:
1. Механическая энергия, импульс, момент импульса; законы их
сохранения (с. 20-22, 26-28, 50, 52, 53).
2. Определите изменение импульса шара массы
со скоростью
3. Два шара равной массы сталкиваются упруго. Скорость одного
из шаров равна
после соударения (с. 30-32).
4. Два шара сталкиваются и слипаются, двигаясь после удара вместе. Определите их скорость после удара, если до удара их скорости были
равны
ской энергии системы теряется в этом процессе? (с. 30-32).
в момент удара вектор скорости тела
отличный от
личество энергии Q, переходящее в немеханические формы энергии при
неупругом ударе снаряда о стержень маятника (с. 30-32).
v
5. Как изменится уравнение сохранения момента импульса (3), если
6. Основываясь на экспериментальных результатах, вычислите ко-
v , при его упругом отражении от стенки (с. 20, 22).
v , другого – равна нулю. Определите скорости шаров
и
1
, а массы
v
2
0
? (с. 52, 53).
90
m
и
соответственно. Какая часть кинетиче-
m
1
2
составляет со стержнем угол α,
m , двигающегося
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]