Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
тенденция, и при T = 0 все молекулы расположатся у поверх-
ε
ности земли.
На разной высоте молекулы обладают различным значе-
нием потенциальной энергии
mgh
=
п
. Следовательно, распре-
деление молекул по высоте является вместе с тем и их распределением по значениям потенциальной энергии:
ε
0
exp
п
−=kTnn
.
Больцман показал, что распределение этого вида справедливо в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. Это распределение называется распре-
делением Больцмана.
11.5. Средняя длина свободного пробега
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между
двумя последовательными столкновениями молекула газа проходит некоторый
путь, который называется длиной свободного пробега. Длина
свободного пробега меняется от удара к удару. Вычислим среднюю длину свободного пробега
ν
претерпевает
столкновений, то средняя длина свободного
λ
. Если за секунду молекула
пробега равна:
v
=
λ
,
ν
где
v – средняя скорость молекулы.
Соударение с какой-либо молекулой произойдет, если
центр неподвижной молекулы окажется на прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии эффективного диаметра молекулы d.
Величина
2
d
πσ
=
называется эффективным сечением молекулы.
141
ν
ν
2d
d
Таким образом, если центр неподвижной молекулы нахо-
2
d
π
дится внутри цилиндра сечением
, то произойдет столкно-
вение с движущейся молекулой. Число столкновений за секунду с неподвижными молекулами равно количеству молекул,
центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра дли-
ной
v и радиуса d, объем которого
2
v . Умножив этот
d
π
объем на число молекул n в единице объема, получим среднее
число столкновений в секунду движущейся молекулы с неподвижной:
2
′
π
=
nvd
.
В действительности все молекулы движутся, поэтому число соударений определится средней скоростью относительного
движения молекул. Соответствующий расчет показывает, что
средняя скорость относительного движения молекул в
больше средней скорости молекулы
v относительно стенки
2 раз
сосуда. Поэтому
π
= ,
nvd22
а средняя длина свободного пробега равна:
v
λ
ν
1
== .
2
nd
2
π
142
Поскольку число молекул n в единице объема пропорцио-
λ
нально давлению p, то средняя длина свободного пробега
λ
обратно пропорциональна давлению p:
1
∼
.
p
С увеличением температуры возрастает скорость молекул,
и при столкновениях молекулы ближе приближаются друг к
другу (уменьшается эффективный диаметр молекул). Следовательно, средняя длина свободного пробега увеличивается.
Численные расчеты показывают, что при нормальных условиях средняя длина свободного пробега молекулы порядка
5
−
10
см. При давлениях, равных
6
−
10
мм рт. ст., λ достигает величины порядка десятков метров. Число столкновений в секунду при нормальных условиях составляет несколько миллиардов
в секунду, убывая с уменьшением давления.
11.6. Явления переноса
Двигаясь хаотически, молекулы переходят из одних точек
пространства в другие, перенося присущую им массу, энергию,
импульс и др. Это приводит к возникновению ряда процессов,
объединенных под общим названием явления переноса. Рассмотрим три процесса, связанных с явлениями переноса: вязкость (обусловлена переносом импульса), теплопроводность
(перенос энергии), диффузия (
Вязкость газов
Если скорость u потока газа меняется от слоя к слою, то на
границе между двумя слоями действует сила внутреннего трения, величина которой, как известно из механики, определяется
эмпирической формулой:
du
fη= ,
S
dz
перенос массы).
143
где η – коэффициент вязкости (или коэффициент внутреннего
η
трения),
du
– градиент скорости, S – величина поверхности, по
dz
которой действует сила f .
Молекулярно-кинетическая теория газов объясняет механизм возникновения силы f между двумя слоями, двигающимися с разной скоростью, следующим образом. Вследствие теплового движения часть молекул из более быстрого слоя переходят в более медленный, где в результате столкновений отдают
избыток своего импульса другим молекулам. Молекулы из более медленного слоя, переходя в более быстрый, увеличивают
свой импульс. За счет этого импульс быстро движущегося слоя
убывает, а более медленного возрастает. Но изменение импульса связано с силой f =
действуют два смежных слоя, равна импульсу, переносимому
молекулами через поверхность раздела в единицу времени.
Значения коэффициента вязкости, полученное из газокинетических представлений, равно:
1
= ,
λρη
v
ΔK/Δt . То есть сила, с которой взаимо-
3
ρ
где
– плотность газа, v – средняя скорость молекул, λ –
средняя длина свободного пробега. Более строгий расчет приводит к такому же выражению, но с несколько отличным числовым коэффициентом.
η
Если подставить в выражение для
него величин, то можно написать, что
nm
T
m
nd
∼
Таким образом, коэффициент вязкости не зависит от давления (это справедливо, пока
зазора, в котором течет газ), увеличивается с ростом температуры (для жидкостей наблюдается обратная зависимость) и зависит от вида газа.
1
mT
=
.
22
d
λ
мало по сравнению с размерами
144
значения входящих в
Теплопроводность газов
χ
Опытным путем установлено, что если в среде вдоль некоторого направления температура не постоянна, то вдоль этого
направления устанавливается поток тепла, величина которого
определяется формулой:
dT
qχ−= ,
S
dz
где q – количество тепла, протекающего за единицу времени
через площадку S перпендикулярно оси z ,
dT
– градиент тем-
dz
χ
пературы,
– коэффициент теплопроводности.
С точки зрения молекулярно-кинетических представлений
теплопроводность газов объясняется следующим образом. Перемещаясь вследствие теплового движения из одних мест в
другие, молекулы переносят запасенную ими энергию. Этот перенос энергии и обуславливает процесс теплопроводности в газах. Расчеты, проведенные на основе этих представлений, дают
следующее значение коэффициента теплопроводности:
1
=
3
где
c – теплоемкость единицы массы. Более строгий расчет
v
cv
λρχ
,
v
приводит к такому же выражению, но с несколько отличным
числовым коэффициентом. Подставив в это выражение значения входящих в него величин, получим:
∼
d
= .
m
22
d
m
T
i
i
mT
(Здесь учтено полученное ранее выражение для
1
= , а также то, что
λρη
v
3
c =
v
C
v
μ
i
∼
mN
A
i
∼
.)
m
Таким образом, коэффициент теплопроводности не зави-
λ
сит от давления (это справедливо, пока
остается малой по
сравнению с расстоянием между поверхностями, обменивающимися теплотой) и растет при повышении температуры.
145
Диффузия в газах
Рассмотрим газовую смесь, состоящую из молекул нескольких сортов. Пусть в силу некоторых причин концентрация
какой-либо компоненты в различных точках неодинакова. В
этом случае вследствие теплового движения молекул будет
происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы компоненты газа в направлении
убывания ее концентрации. Этот процесс называется
ей. Опыт показывает, что величина массы M , переносимой в
единицу времени через площадку S перпендикулярно к направлению z изменения концентрации, равна:
dc
,
S
DM −=
диффузи-
dz
dc
где
– градиент концентрации, D – коэффициент диффузии.
dz
Соответствующий расчет на основе молекулярнокинетических представлений позволяет получить для коэффициента диффузии следующее выражение:
1
λ
vD
= .
3
Более строгий расчет приводит к такому же выражению,
но с несколько отличным числовым коэффициентом. Подставив
v и
λ
значения
, получим:
1
D ∼
Следовательно, коэффициент диффузии обратно пропорционален числу молекул в единице объема, а значит и давлению (так как p = nkT), растет с повышением температуры и зависит от вида газа.
T
m
nd
.
2
146
12. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
12.1. Введение
Термодинамика возникла как наука о превращении теплоты в работу. Однако законы, лежащие в основе термодинамики,
имеют настолько общий характер, что термодинамические методы используются для исследований физических, химических
и других процессов.
При изучении свойств и процессов превращения вещества
термодинамика не вдается в рассмотрение микроскопической
картины
явлений. Она анализирует явления, опираясь на полученные из опыта основные законы (начала). По этой причине
выводы, к которым приходит термодинамика, имеют такую же
степень достоверности, как и лежащие в ее основе законы, являющиеся обобщением огромного количества опытных данных.
Основу термодинамики составляют ее два начала. Первое
начало устанавливает количественные
соотношения, имеющие
место при превращениях энергии из одних видов в другие. Второе начало определяет условия, при которых возможны эти
превращения.
Первое начало термодинамики утверждает, что количест-
во теплоты, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над
внешними телами:
AUUQ +−=
,
12
или в дифференциальной форме:
′
′
.
AddUQd
+=
12.2. Коэффициент полезного действия тепловой машины
Всякий двигатель, представляет собой систему, совершающую многократно некий круговой процесс (цикл). Пусть
в ходе цикла рабочее вещество (например, газ) сначала расши-
ряется до объема
V
, а затем сжимается до первоначального
2
147
объема
A
V
. Чтобы работа за цикл была больше нуля, давление
1
(а следовательно, и температура) в процессе расширения
должно быть больше, чем при сжатии. Для этого рабочему веществу нужно в ходе расширения сообщать, а в ходе сжатия
отнимать тепло. (Напомним, что работа, совершаемая в ходе
равновесного процесса из состояния 1 в состояние 2, вычисля
ется путем интегрирования:
V
2
=
12
)(
V
dVVpA
1
и представляется площадью под кривой в p-V координатах.)
Напишем уравнение первого начала термодинамики для
обеих частей цикла. При расширении внутренняя энергия изме-
няется от
U
вершает работу
Q
U
=
1
При сжатии система совершает работу
′
Q
, следовательно:
2
′
Q
-
=
2
U
U
до
1
2
-
1
, причем система получает тепло
2
A
. Согласно первому началу
1
U
A
+
.
1
1
U
A
-
+
.
2
2
Q
1
A
и отдает тепло
2
и со-
Складывая эти уравнения, получим
′
Q
Q
A
-
1
2
Так как
=
A
+
.
1
2
A
A
+
есть полная работа A, совершаемая сис-
1
2
темой за цикл, то:
′
Q
=
Q
-
.
1
2
Периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет получаемого извне тепла, называется тепловой
машиной.
Первое начало термодинамики иногда формулируется
следующим образом: невозможен вечный двигатель первого
рода, т.е. такой периодически действующий двигатель, который бы совершал работу в большем количестве, чем получаемая им извне энергия.
-
148
Из последнего уравнения следует, что не все получаемое
A
извне тепло используется для получения полезной работы. Для
того чтобы двигатель работал циклами, часть тепла, рав-
′
Q
ная
, должна быть отдана во внешнюю среду и, следова-
2
тельно, не используется по назначению (т.е. для совершения
полезной работы). Очевидно, чем полнее превращает тепловая
машина получаемое извне тепло в полезную работу, тем эта
машина выгоднее. Тепловую машину принято характеризовать
коэффициентом полезного действия
ляется как отношение совершенной за цикл работы
Q
чаемому за цикл теплу
QQ
A
η
Q
1
−
==
Q
1
:
1
′
21
.
η
(к.п.д.), который опреде-
к полу-
Из определения следует, что к.п.д. не может быть больше
единицы.
12.3. Второе начало термодинамики
Второе начало термодинамики формулируют несколькими
способами. Кельвину принадлежит следующая формулировка
второго начала термодинамики: невозможны такие процессы,
единственным конечным результатом которых явилось бы
отнятие от некоторого тела определенного количества теплоты и превращение этой теплоты
полностью в работу. Действительно, как было показано в предыдущем параграфе, в тепловой машине превращение теплоты в работу обязательно сопровождается дополнительным процессом передачи некоторого
′
количества теплоты
го получаемое от более нагретого тела количество теплоты
Q
более холодному телу, в результате че-
2
Q
1
не может быть превращено полностью в работу.
В формулировке Клаузиуса второе начало термодинамики
представляется в виде: невозможны такие процессы, единст-
венным конечным результатом которых был бы переход теплоты от тела менее нагретого к телу более нагретому. Следу-
149
ет уточнить, что второе начало термодинамики не запрещает
вообще переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. В холодильной машине как раз совершается такой переход. Однако этот переход не является единственным результатом процесса. Он сопровождается изменениями в окружающих телах, связанными с совершением над системой работы,
которая
затрачивается на приведение машины в действие.
Используя процессы, запрещенные вторым началом термодинамики, можно было создать двигатель, совершающий работу за счет теплоты, получаемого от такого, практически неисчерпаемого, источника энергии, как океан. Фактически такой
двигатель был бы равнозначен вечному двигателю. Поэтому
второе начало термодинамики иногда формулируют следующим образом:
невозможен вечный двигатель второго рода, т.е.
такой периодически действующий двигатель, который бы получал теплоту от одного резервуара и превращал бы эту теплоту полностью в работу.
12.4. Цикл Карно
Итак, для работы теплового двигателя необходимо нали-
чие двух тепловых резервуаров. От одного, имеющего более
высокую температуру
получает в ходе цикла количество теплоты
щему более низкую температуру
ком, двигатель отдает теплоту
T
, называемого нагревателем, двигатель
1
Q
. Второму, имею-
1
T
, называемому холодильни-
2
′
Q
. Пусть теплоемкости резер-
2
вуаров будут бесконечно велики. Это означает, что при получении или отдаче теплоты их температура не изменяется. Выясним, какой обратимый цикл может совершать рабочее вещество
(назовем его телом) двигателя в этих условиях.
Рассматриваемый цикл может состоять из процессов, в хо-
де которых тело обменивается теплотой с
резервуарами, или
процессов без теплообмена (адиабатических процессов). Процесс теплообмена можно провести обратимым образом, только
соблюдая некоторые условия. Сложность заключается в том,
150
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]