Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
22
ω
Imv
E
к
cc
+= .
22
Работа A внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси равна
ϕ
=
где M – момент внешних сил,
0
ϕ
MdA ,
ϕ
– угол поворота тела.
5.5. Применение законов динамики твердого тела
Движение твердого тела описывается двумя уравнениями:
β
Σ=
fam
Σ= ,
MI
ic
.
i
Моменты сил и моменты инерции следует брать относительно любой оси, движущейся без ускорения. Относительно
оси, движущейся с ускорением, необходимо учитывать силы
инерции и их моменты.
Точки приложения сил можно переносить вдоль линии их
действия, так как при этом суммы сил и моментов не изменяются. По этой же причине
сумму сил можно заменять их равнодействующей, точку приложения которой можно переносить
вдоль линии ее действия.
Совокупность параллельных сил можно заменить их равнодействующей, равной сумме всех сил и приложенной к такой
точке тела, чтобы ее момент был равен сумме моментов отдельных сил.
Если поле силы тяжести в пределах данного
тела можно
считать однородным, то равнодействующая сил тяжести тела
приложена к его центру масс, который в этом случае будет
центром тяжести тела.
Твердое тело будет находиться в равновесии, если нет
причин, приводящих к возникновению поступательного движе-
ния или вращения, т.е.
0=Σ
M
.
i
0=
a
и 0=
β
c
. А значит 0=Σ
f
и
i
51
5.6. Закон сохранения момента импульса
r
Δ
Δ
ω
Δ
ω
По определению момент импульса материальной точки
относительно некоторой точки О равен:
[]
prL
×= ,
где
– радиус вектор, проведенный из точки О к материальной
p
точке,
vm= является импульсом материальной точки.
Момент импульса твердого тела по определению равен
сумме моментов импульса его частей.
Твердое тело можно рас-
сматривать как совокупность
элементарных масс
дая из которых, двигаясь по
окружности
ментом импульса
L =im
i
Так как
r , обладает мо-
i
L :
i
rv
=
ii
L
совпадает по
i
направлению с вектором угловой скорости
L
, то
=
i
2
ω
rmΔ .
ii
Суммируя по всем эле-
ментарным массам, получим
m
0
L
i
r
i
i
v
i
момент импульса всего тела:
2
ω
rmL ΣΔ= .
0
ii
Вынося за скобки угловую скорость, одинаковую для всех
элементарных масс:
где
2
ωω
IrmL
=ΣΔ=
ii
2
rmI ΣΔ= является моментом инерции тела.
ii
,
Беря производную по времени от левой и правой части
выражения для L:
m
, каж-
i
2
ω
rmΔ .
ii
52
Ld
dt
Правая часть уравнения есть результирующий момент
всех внешних сил, действующий на тело, взятый относительно
оси вращения. Таким образом,
Ld
dt
Если
L const=
Это выражение является законом сохранения момента импульса: если результирующий момент всех внешних сил, дейст-
вующий на тело, равен нулю, то вектор момента импульса остается постоянным.
Это выражение получено в предположении, что момент
инерции тела постоянен. Можно показать, что оно верно и в
случае, если момент инерции меняется
взаимного расположения частей тела. В этом случае при
уменьшении момента инерции тела угловая скорость тела
должна увеличиваться, а при увеличении момента инерции угловая скорость уменьшится.
Гироскопом называется массивное симметричное тело,
вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии.
Если желая изменить направление оси вращения гироскопа,
воздействовать на него с некоторой силой, оказывается, что ось
гироскопа поворачивается перпендикулярно направлению действия силы. Объяснение этого явления заключается в следующем. Момент импульса гироскопа совпадает с его осью вращения. При действии силы, стремящейся повернуть ось гироскопа,
произойдет изменение момента импульса в соответствии с
уравнением, связывающим момент импульса и
()
ω
dt
M
= .
0=M
.
tML Δ=Δ
. Таким образом, момент импульса изменяется в на-
d
d
II
dt
, то
5.7. Прецессия гироскопа
ω
β
I
=== .
вследствие изменения
момент сил:
53
правлении действия момента силы, который по определению
Δ
M
M
M
M
ω
ω
I
ω
ω
перпендикулярен направлению действия силы. Результирую-
щий момент импульса
лением вращения. Таким образом, ось гироскопа повернется
так, что угол между векторами
момент силы действует достаточно долго, то вектор
дет с
компаса. Гирокомпас представляет собой гироскоп, свободно
вращающийся в горизонтальной плоскости. Из-за суточного
вращения Земли на гирокомпас воздействует момент сил,
вследствие чего ось гироскопа поворачивается так, чтобы
L
совпал с направлением
танавливается в меридиальной плоскости.
па, действуют на опоры осей гироскопа. Они могут достигать
значительных величин и должны учитываться при конструировании устройств с большой угловой скоростью (турбины кораблей и т.п.)
внешних сил, направленный перпендикулярно оси гироскопа,
поворачивается одновременно с поворотом оси. Так как вектор
L
стремится совпасть с
поворачиваться. Ее угловая скорость вращения называется
скоростью прецессии. Например, ось гироскопа, вращающегося на шарнире в поле силы тяжести, совершает прецессионное
движение с угловой скоростью
.
Такое поведение гироскопа лежит в основе работы гиро-
Силы, возникающие при попытке повернуть ось гироско-
Прецессия гироскопа возникает в условиях, когда
mgl
ω
′
=
,
′
, то ось гироскопа будет непрерывно
LLL
+=
совпадает с новым направ-
L
и
уменьшится. Если
L
совпа-
. В результате ось гироскопа ус-
момент
′
:
здесь m – масса гироскопа, l – расстояние от центра масс до
точки опоры оси гироскопа, I – момент инерции гироскопа,
– угловая скорость гироскопа относительно оси быстрого
вращения. При выводе этой формулы предполагалось, что угловая скорость прецессии
′
значительно меньшеω.
54
5.8. Деформация твердого тела
Δ
Действие сил при определенных условиях может вызвать
деформацию твердого тела. Если после прекращения действия
сил тело принимает первоначальные размеры и форму, то деформации называются упругими. Упругими деформации будут
в том случае, если силы, вызвавшие деформацию, не превысят
определенного предела, конкретного для каждого тела. При
превышении этого
мации. Все возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум основным: растяжению (или сжатию) и сдвигу.
Продольное растяжение. Под действием силы f происходит приращение длины l стержня на величину
ное удлинение тела
предела в теле появятся остаточные дефор-
lΔ . Относитель-
l
=
ε
при упругой деформации пропор-
l
ционально действующей силе и обратно пропорционально
площади поперечного сечения S стержня:
1
=
ε
.
SfE
Здесь E – коэффициент, характеризующий упругие свойства материала, называется модулем Юнга.
Из этого выражения:
l
==
ε
Δ
ESESf Δ=
lk
.
l
ES
Здесь
k
= является постоянным для данного стержня
l
коэффициентом.
Полученное выражение представляет собой закон Гука:
удлинение стержня при упругой деформации пропорционально
действующей на стержень силе.
55
Удлинение стержня диаметром d сопровождается измене-
Δ
με
ε
ϕ
ϕ
нием его поперечных размеров. Оно характеризуется относи-
d
тельным поперечным сжатием (или расширением):
′
=
ε
d
Опыт показывает, что
′
−=
,
μ
– положительный, зависящий только от свойств материа-
где
ла, коэффициент поперечного сжатия (называется коэффициентом Пуассона).
Сдвиг. Если приложить к противоположным граням па-
раллелепипеда с высотой b и основанием площадью S равные
по абсолютной величине силы
ленные параллельно этим граням в противоположные стороны,
то верхняя грань параллелепипеда сместится относительно
нижней на расстояние a. Деформации такого вида называются
сдвигом. Деформация сдвига характеризуется коэффициентом
a
γ
=
,
f и 2f ( fff ==
1
21
), направ-
b
который называется относительным сдвигом. Опыт показывает,
что
1
=
γ
,
SfG
где G – называется модулем сдвига.
Если, зафиксировав нижнее основание цилиндра, приложить к верхнему вращающий момент M, то верхнее основание
повернется относительно нижнего на угол
деформация сводится к деформации сдвига и
′
Mk
=
.
. В этом случае
.
Здесь
и его материала. Полученное выражение является законом Гука
при кручении.
′
k
коэффициент, зависящий от геометрии цилиндра
56
Энергия упругой деформации.
Δ
Упруго деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии, равной работе внешних сил, потраченных на
деформацию тела. Для упруго растянутого стержня:
ll
ΔΔ
p
fdxAE
ES
00
dxx
l
ES
l
2
l
Δ
=====
0
2
l
ESx
Δ
.
22
l
Так как
l
ε
=
, а Sl = V, где V – объем стержня, то
l
2
ε
E
E
= .
p
Плотность энергии (энергия в единице объема)
e
= .
p
V
2
e :
p
2
ε
E
2
Аналогично, можно получить, что плотность потенциальной энергии при деформации сдвига равна:
2
γ
G
e
= .
p
2
6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
6.1. Специальная теория относительности
Экспериментальные факты, полученные исследователями
в конце XIX в., показали, что ньютоновская механика не применима для описания движений, совершающихся со скоростями
близкими к скорости света. Объяснение новых закономерностей
было осуществлено в рамках созданной Эйнштейном релятивистской механики. Новые представления о пространстве и времени были разработаны Эйнштейном в 1905 г. в специальной
57
теории относительности (в ней рассматриваются только инер-
z
циальные системы отсчета), основу которой образуют два постулата: принцип относительности и принцип постоянства
скорости света.
Согласно принципу относительности Эйнштейна все зако-
ны природы одинаковы во всех инерциальных системах от-
счета. Это означает, что уравнения, выражающие законы при-
роды, инвариантны (т.е. не меняют
к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Таким образом, Эйнштейн распространил принцип относительности Галилея на все без исключения физические явления.
В соответствии с опытными данными Эйнштейн постулировал, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерци-
альных системах отсчета и не зависит
ков и приемников света.
Дальнейшие рассуждения, основанные на этих постулатах,
приводят к выводу, что скорость света в вакууме является
предельной. Никакой сигнал, никакое воздействие одного тела
на другое не может передаваться со скоростью, превышающей
скорость света в вакууме.
своего вида) по отношению
от движения источни-
′
y
y
′
k
′
v
′
x
′
58
Специальная теория относительности изменила представление о пространстве и времени. В классической механике пространство и время рассматривались независимо друг от друга.
Считалось очевидным, что два события, одновременные в какой-либо системе отсчета, будут происходить одновременно и в
остальных системах отсчета. Однако легко убедиться, что это
утверждение находится в противоречии
ства скорости света. Рассмотрим две инерциальные системы
отсчета k и k
со скоростью
пускание телом, находящимся в начале системы
светового сигнала и достижение этим сигналом тела А и В. Тела А и В неподвижны относительно системы
′
о
А и о′В, измеренные в этой системе, одинаковы. Так как
скорость с света во всех направлениях одинакова, то в системе
′
k
сигнал будет достигать тела А и В в один и тот же момент
времени. Относительно системы k свет также распространяется
по всем направлениям со скоростью с. Тело А движется навстречу лучу света, а тело В лучу приходится догонять. Поэтому тело А луч света достигнет раньше, чем тело
зом, события, одновременные в системе
ваются неодновременными.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k и
Система
скоростью
соответствует значение координат и времени x,y,z,t, в системе
′
k
–
В механике Ньютона предполагается, что результат измерения времени не зависит от системы отсчета, поэтому
Если в начальный момент времени
в обеих системах совпадали, тогда между координатами собы-
′
. Система k′ движется относительно системы k
v
вдоль оси x. Рассмотрим в обеих системах ис-
6.2. Преобразования Лоренца
′
k
движется относительно системы k с постоянной
v
вдоль оси x. Какому-либо событию в системе k
0
′′′′
tzyx
,,,
.
с принципом постоян-
′
k
в точке о′,
′
k
и расстояния
В. Таким обра-
′
k
, в системе k оказы-
′
k
′
tt
=
′
0=
= tt начала координат
.
.
59
тий в обеих системах в классической механике имеются сле-
z
z
дующие соотношения:
а) переход от системы
динат и времени, отсчитанных в системе
времени, отсчитанным в системе k):
′
k
к системе k (т.е. переход от коор-
′
k
, к координатам и
′
′
′
=
′
tt =
б) переход от системы k к системе
=
=
=
zz
tvxx
−=
,
0
,yy =
,
;
′
k
:
′
′
tvxx
,
+
0
′
,yy
′
,
tt′= .
Эти соотношения называются преобразованиями Галилея.
Из них вытекает закон сложения скоростей классической механики:
′
vvv
+
= .
Этот закон противоречит принципу постоянства скорости
света во всех инерциальных системах отсчета. Действительно,
если в системе
стью света
жется равной
тельно, преобразования Галилея не применимы в релятивистской механике и их следует заменить другими формулами. Эти
преобразования были получены исходя из (1) полного равноправия инерциальных систем отсчета k и
стоянства скорости света. Эти математические выражения носят названия преобразований Лоренца и записываются следующим образом:
0
′
k
с
световой сигнал распространяется со скоро-
, то в системе k скорость светового сигнала ока-
vсv
+= , т.е. будет больше, чем с
0
′
k
и (2) принципа по-
. Следова-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]