Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Знак Re часто опускают, и уравнение волны записывают в
ξ
ξ
x
x
ω
x
виде:
ae
=
ξ
()
−
rkti
ω
,
где подразумевается, что в выражении берется только его вещественная часть.
9.3. Волновое уравнение
Дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение волны, называется волновым уравнением. Для
выяснения вида волнового уравнения получим вторые частные
производные для уравнения волны вида
∂
=− −
∂
t
2
ξ
∂
2
∂
t
sinatkx
ωω
()
()
cos −=−−=
kxta
;
22
ξωωω
.
cosatkx
ξω
=−:
()
∂
=−
sinak t kx
ω
∂
x
()
,
2
ξ
∂
2
∂
()
cos kkxtak
22
ξω
−=−−=
.
Сопоставив эти выражения, видим, что
2
2
ξ
∂
∂
2
ξ
k
∂
=
2
2
.
2
t
∂
Учитывая, что
2
k
1
=
ω
2
,
2
v
получим волновое уравнение в виде:
2
∂
=
∂
2
1
ξξ
∂
.
2
22
tv
∂
В общем случае волновое уравнение запишется:
2
∂
∂
2
∂
+
2
∂
2
∂
+
2
=
∂
2
1
∂
ξξξξ
.
2
22
tvzyx ∂
101
Подстановкой легко убедиться, что любая функция вида
f
ω
ω
ξ
,,,
xyzt f t kx ky kz
()
ω
=−−−
()
xyz
удовлетворяет волновому уравнению, если
v
= . Функция,
k
удовлетворяющая волновому уравнению, описывает некоторую
волну. При этом квадратный корень из коэффициента, стоящего
2
ξ
перед
этой волны.
стержня деформируется, то крайние частицы, сдвигаясь со своих мест, толкают соседние частицы, в результате этого взаимодействия по стержню побежит продольная упругая волна. Скорость ее распространения равна:
∂
, равен единице, деленной на фазовую скорость
2
t∂
9.4. Характеристики упругой волны
Если вследствие силового воздействия конец упругого
E
v =
,
ρ
ρ
где E – модуль Юнга,
Для поперечных волн получается подобное выражение:
G
v =
,
– плотность недеформированной среды.
ρ
где G – модуль сдвига.
Если в упругой среде распространяется волна вида
()
cos , то среда будет обладать дополнительной
энергией (потенциальная энергия деформации и кинетическая
энергия движения точек среды). Плотность энергии w (энергия
единицы объема) равна:
kxta −=
222
()
kxtaw −=
ωωρ
sin
.
102
Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если площадь поверхности равна
единице, то говорят о плотности потока энергии j. Плотность
потока энергии равна:
vwj
= .
Φ
Полный поток энергии
Φ
=
Sdj
.
S
через поверхность S будет равен
Например, для незатухающей сферической волны поток
энергии через произвольную волновую поверхность на расстоянии r от источника будет равен:
Φ
2 rva
πρω
= ,
a – амплитуда волны на расстоянии r от источника.
где
r
222
r
Поток энергии через сферу любого радиуса должен имеет
22
constrar=
одинаковое значение, поэтому
. Это означает,
что с ростом радиуса амплитуда колебаний точек среды в сфе-
1
рической волне должна уменьшаться как
(этот результат мы
r
использовали, когда записывали уравнение для сферической
волны).
9.5. Стоячие волны
Из принципа суперпозиции волн, установленного опытным
путем, следует, что при распространении в среде нескольких
волн колебания частиц среды являются геометрической суммой
тех колебаний, которые бы совершали частицы под действием
каждой волны в отдельности. Основываясь на этом принципе
рассмотрим так называемые стоячие волны, которые возникают при сложении двух встречных плоских волн с одинаковой
амплитудой. На практике это происходит при отражении волны
от препятствия. Рассмотрим простой случай, когда складыва-
,
103
ются две плоские волны
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ω
ω
ξ
ω
π
ξ
π
π
π
π
страняющиеся в противоположных направлениях оси x , их начальные фазы равны нулю. Волны задаются уравнениями вида:
cosatkx
ξω
=−,
1
()
и
одинаковой частоты, распро-
1
2
cosatkx
ξω
=+;
2
()
= =+
Используя формулу для суммы косинусов:
21
βα
получим:
= tkxa
Заменив k через
()
[cos +
=+
cos2coscos
kxta −
+
2
coscos2 .
2
, запишем уравнение стоячей волны
()
cos ].
cos
kxt +
−
βαβα
,
2
λ
в виде:
x
= t
2
a
cos2( .
cos)
ω
λ
Из уравнения следует, что в результате сложения двух
встречных плоских волн в каждой точке среды имеем колебательное движение той же частоты, что и у составляющих волн,
но амплитуда колебаний (выражение в скобках) зависит от координаты x точек. Там, где координаты точек соответствуют
условию:
x2
= n
± ( n = 0,1,2,…),
λ
амплитуда колебаний имеет максимальное значение. Эти точки
называются пучностями стоячей волны. В точках, соответствующих условию
x2
=
π
λ
амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узла-
ми стоячей волны.
1
+±
n
( n = 0,1,2,…),
2
104
Из полученных формул видно, что расстояние между пуч-
λ
λ
ν
ν
ностями или узлами в стоячей волне равно
.
2
Так как амплитуда косинуса при переходе через нуль меняет знак, это означает, что точки по разные стороны от узла
колеблются в противофазе, а точки, лежащие между узлами,
колеблются в одной фазе. Отличие стоячей волны от бегущей
состоит в том, что в бегущей волне соседние точки колеблются
с одинаковой амплитудой,
соседние точки колеблются с разной амплитудой, но с одинаковыми фазами. Так как стоячая волна получается при сложении
двух противоположно бегущих волн одинаковой амплитуды,
каждая из которых переносит энергию в противоположном направлении, то результирующая стоячая волна энергии не пере-
носит.
9.6. Колебания струны
Если возбудить в натянутой струне поперечные колебания,
то в результате отражений волн от ее закрепленных концов, по
струне побегут в противоположных направлениях волны, суммарное действие которых может привести к образованию
стоячих волн, причем на закрепленных концах струны должны
располагаться узлы. Из-за этого в струне возможно установление с заметной
для которых выполняется условие: половина длины волны
должна укладываться на длине струны целое число раз. То есть
должно выполняться условие:
интенсивностью колебаний только таких частот,
но разными фазами, а в стоячей –
n
nl
= , (n = 1,2,3,…).
2
Для частот колебаний (так как
v
) получим
=
λ
v
=
n
n
, (n = 1,2,3,…).
2
l
105
Частоты
ν
ν
ν
ν
ν
ν
называются собственными частотами (ис-
n
пользуются также названия нормальные колебания или гармо-
ники) струны, наименьшая из частот
=
1
называется основ-
lv2
ной частотой. Таким образом, колебания точек струны пред-
ставляют собой наложение колебаний, соответствующих различным собственным частотам.
9.7. Эффект Доплера
Если источник или приемник упругих волн движутся относительно среды, в которой распространяется волна, то часто-
ν
, воспринимаемая приемником, будет отличаться от частоты
та
колебаний источника
Доплера. Если приемник удаляется от источника, то частота
будет меньше, чем
ку ν >
. (При неподвижных источнике и приемнике ν=
0
. Этот явление называется эффектом
0
. При приближении приемника к источни-
0
.)
0
ν
9.8. Звук
Звук представляет собой распространяющуюся в пространстве упругую волну частотой от 16 до 20 000 Гц. Достигнув человеческого уха, колебание такой частоты вызывают
звуковое ощущение. Упругие волны с частотами ниже 16 Гц
называются инфразвуком, а выше 20 000 Гц – ультразвуком.
Основными характеристиками звука являются его высота,
тембр и громкость.
Обычно звук представляет собой наложение гармонических
колебаний с определенным набором частот, который на-
зывается акустическим спектром.
Высота звука определяется основной (наименьшей) частотой.
Тембр звука характеризуется относительной интенсивно-
стью более высоких частот (гармоник).
106
Интенсивность звука определяется как среднее по времени значение плотности потока энергии звуковой волны. Громкость звука, оцениваемая человеческим ухом, тем выше, чем
выше интенсивность звуковой волны. Количественной характеристикой громкости является уровень громкости L, который
определяется как логарифм отношения интенсивности данного
звука I к интенсивности
L = .
I
0
I
lg
Порог слышимости
I , называемой порогом слышимости:
0
Вт
−
I принимается равным
0
10
12
2
м
.
Единица уровня громкости, определяемая по этой формуле, называется белом (Б). На практике используют децибелы (дБ) –
в десять раз меньшие единицы уровня громкости. В децибелах
уровень громкости будет равен:
I
L = .
lg10
I
0
В закрытых помещениях звуковая волна постепенно ослабляется вследствие поглощения звука при многократных отражениях. Явление постепенного ослабления звука называется
реверберацией. Временем реверберации называется время, в
течение которого интенсивность звука ослабляется в
6
10 раз.
Для обычных помещений время реверберации около одной секунды, для концертных залов с хорошей акустикой это время в
два раза больше.
Звуковая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность сжатий и разрежений частиц газа. Скорость распространения звука в газе может
быть определена по формуле:
v =
γ
RT
μ
,
107
где γ – отношение теплоемкостей газов при постоянном давле-
μ
нии и постоянном объеме,
– масса одного моля газа, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура. По
полученной формуле можно вычислить скорость распространения звука в воздухе, которая при 290 К равна 340 м/с.
При увеличении частоты волны уменьшается ее способность огибать препятствия. Поэтому ультразвуковые волны могут быть получены в виде направленных пучков и
использоваться для звуковой локации: зная скорость звука и время возвращения эха, можно определить расстояние до объекта. Ультразвук используется также для целей дефектоскопии. Обладая
большой интенсивностью и создавая сильные пульсации давлении в среде, ультразвуковые волны могут вызывать измельчение частиц, взвешенных в жидкости, образование эмульсий,
ускорение процессов растворения
, активизации химических ре-
акций и т.п.
108
II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
___________
10. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНОЙ
ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
10.1. Введение
Молекулярная физика является разделом физики, где изучаются строение и свойства вещества исходя из молекулярнокинетических представлений. В соответствии с этими представлениями любое тело состоит из большого количества очень маленьких частиц – молекул, находящихся в беспорядочном движении. Интенсивность хаотического движения
температурой вещества. Доказательством хаотичности движения молекул может служить броуновское движение (взвешенные в жидкости весьма малые частицы, движутся беспорядочно, так как они непрерывно подвергаются ударам со стороны
молекул жидкости, окружающих эти частицы).
Для описания процессов, происходящих в системах, состоящих из очень большого числа частиц, можно использовать
статистические или термодинамические методы. В статисти-
ческой физике используются вероятностные методы, с помощью которых истолковывают свойства тела (например, давление, температуру) как суммарный результат действия отдельных молекул. Термодинамика изучает свойства тел и протекающие в них процессы, не интересуясь их микроскопической
природой. В основе термодинамики лежат фундаментальные
законы –
щения очень большого числа опытных фактов. Статистическая
физика и термодинамика подходят к изучению свойств вещества и протекающих в них процессов с разных точек зрения, вза-
начала термодинамики, установленные путем обоб-
определяется
109
имно дополняя друг друга и образуя, по существу, единое целое.
10.2. Основные характеристики молекул
Атомная (молекулярная) масса химического элемента это
отношение массы атома (молекулы) этого элемента к 1/12 мас-
сы атома
12
С
(изотоп углерода с массовым числом 12). Атомная
и молекулярная массы являются относительными величинами и
не имеют размерности.
12
С
Масса, равная 1/12 массы атома
, называется атомной
единицей массы (а.е.м.).
Моль представляет собой количество вещества, в котором
содержится число частиц (атомов, молекул или других структурных единиц), равное числу атомов в 0,012 кг изотопа угле-
12
рода
. (Из этого определения следует, что моль равен коли-
С
честву вещества, масса которого в граммах численно равна его
молекулярной массе.)
Число частиц, содержащихся в моле вещества, называется
постоянной Авогадро. Опытным путем установлено, что эта
постоянная равна
-123
N .
A
При нормальных условиях, т.е. при температуре
моль1002213,6 ⋅=
0
и
0 С
давлении 1 атм, 1 моль любого газа занимает объем 22,4 литра.
Из этих определений легко получить значение атомной
единицы массы (обозначим ее как
1, 6 6 1 0 кгm−=⋅ .
ед
27
Соответственно, масса атома равна
A обозначает атомную массу химического элемента.
r
m
):
ед
1, 6 6 10 ( кг)
27
−
А
⋅ , где
r
Линейные размеры молекул имеют величину порядка
1010−
м.
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]