Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
t
ω
ω
ω
ω
x
ω
α
ω
βαβαβ
α
ωω
cos2
ω
Пренебрегая
Δ
+=
2
Δ
по сравнению с ω в выражении под
Δ
cos
tax
.
2
2
знаком первого косинуса, получим:
ax
cos2(Δ=
t
cos)
ω
.
t
2
Заключенный в скобки множитель, вследствие условия
Δ <<
можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду
гармонического колебания.
правленное по оси x, второе – по перпендикулярной к ней оси y.
Начальную фазу первого колебания положим равной нулю (выбрав должным образом начало отсчета времени). Выражения
для колебаний запишутся:
ω
, изменяется значительно медленней, чем t
8.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Сложим два колебания одинаковой частоты
)cos(
ta
cos= ,
Из первого уравнения получим:
x
.
t =
ω
cos
+= tby
.
cos , его
ω
: одно, на-
a
Тогда синус будем равен:
2
x
1sin
t −±=
ω
Из уравнения колебаний по оси y:
αω
t =+ )cos(
Применив выражение для косинуса суммы:
.
2
a
y
.
b
sinsincoscos)cos( −=+ , получим:
2
ttсost −=−=+
x
a
x
2
a
.
αααωαωαω
sin1cossinsincos)cos(
91
Тогда
x
ω
α
ω
α
2
x
y
a
b
.
После переноса
x
−=
a
x
αα
sin1cos
2
α
cos
в левую часть уравнения возве-
a
дем обе части уравнения в квадрат, и после несложных преобразований получим:
2
2
y
x
2
b
a
xy
2
ab
2
αα
sincos2=−+
.
Это выражение представляет собой уравнение эллипса,
оси которого повернуты относительно координатных осей
x и y. Это означает, что траектория точки, совершающей движение в соответствии с уравнениями
)cos(
ta
cos= ,
+= tby
.
будет представлять собой эллипс. Получим уравнения траектории для некоторых частных случаев.
0=
1.
.Подставив это значение в уравнение эллипса, по-
лучим:
y
x
−
b
a
.02=
Отсюда
b
x
y = .
a
Это уравнение прямой. Расстояние r колеблющейся точки
от начала координат будет равно:
22222222
coscoscos
+=+=+=
.
tbatbtayxr
ωωω
Таким образом, результирующее движение является гармоническим колебанием, происходящим по прямой, расположенной в первом и третьем квадранте системы координат,
с частотой
ω
и амплитудой
92
22
ba + .
2. α = ± π. При подстановке этого значения в уравнение
π
π
π
эллипса получим:
y
x
+
b
a
02=
, x
b
y −= .
a
Траектория результирующего движения будет
представлять собой отрезок прямой во втором и
y
a
четвертом квадранте.
b
3. α =
± . В этом
2
случае получаем выраже-
O
х
ние:
x
2
a
1
=+
.
2
b
2
2
y
Траектория результирующего движения будет представлять собой эллипс, приведенный к координатным осям. Если
α
=
+ , то движение совершается по часовой, при
2
α
=
− –
2
против часовой стрелки.
Если частоты колебаний по оси x и y неодинаковы, то
траектории результирующего колебания будут представлять
собой сложные кривые, которые называются фигурами Лис-
сажу.
8.4. Затухающие колебания
В реальной колебательной системе всегда существуют неконсервативные силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии, вследствие чего колебания в систе
-
ме затухают. В качестве примера рассмотрим малые колебания
пружинного маятника, помещенного в вязкую среду. Когда
93
скорости движения колеблющегося тела невелики, сила сопро-
ω
β
ω
πωπ
тивления среды пропорциональна скорости:
xrrvf
r
−=−= .
В уравнение движения, полученное для пружинного маятника, к силе деформации пружины добавится сила вязкого со-
противления
f
:
r
xrkxxm
−−=
.
Перепишем это выражение в виде:
2
ωβ
02
=++ xxx
0
,
где введены следующие обозначения:
r
=
β
2 ,
ω
m
Отметим, что
k
2
=
0
.
m
является частотой колебаний системы в
0
отсутствие сопротивления среды. Эту частоту называют собственной частотой системы.
При не слишком большом затухании, когда
<
, реше-
0
нием этого уравнения является выражение:
β
−
t
()
αω
+⋅⋅=
teax
здесь
−= .
0
βωω
cos
22
0
2
,
Это выражение можно рассматривать как гармоническое
t
β
колебание частоты
ω
, амплитуда которого a(t) =
−
ea
⋅
0
уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Быст-
β
рота затухания колебаний определяется величиной
, которая
называется коэффициентом затухания. Период затухающих
колебаний может быть получен аналогично, как это было сделано для гармонических колебаний. Он равен
22
==T
0
.
22
βω
−
Из этого выражения видно, что наличие сопротивления
среды приводит к увеличению периода колебаний.
,
94
В качестве характеристики системы с затухающими коле-
π
β
ω
β
ω
β
баниями, кроме коэффициента затухания
Δ
а) Декремент затухания
– равен уменьшению амплиту-
, используются:
ды колебаний за период:
−
t
β
()
=Δ
ta
()
Tta
+
б) Логарифмический декремент затухания
λ
= ln
()
()
Ttata+
ea
0
ea
0
=βT .
T
β
e
==
+−
)(
β
Tt
.
λ
:
в) Добротность Q:
.
=Q
λ
При
ность.
В случае сильного затухания, когда
вращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
Если восполнить убыль энергии колебательной системы,
происходящую из-за действия неконсервативных сил сопротивления среды, колебания могут стать незатухающими. Пополнение энергии может осуществляться из внешнего источника в виде толчков в такт с колебаниями системы. Система может
быть сконструирована таким образом, что сама будет
управлять внешним воздействием, обеспечивая компенсацию
потерь энергии. Незатухающие колебания, получаемые в такой
системе, называются автоколебаниями.
Вынужденными называются колебания, возникающие в
системе под действием внешней периодически изменяющейся
=
период колебаний превращается в бесконеч-
0
>
, система воз-
0
8.5. Автоколебания
8.6. Вынужденные колебания
95
силы. Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила изменяется
α
β
по гармоническому закону
tFf Ω= cos
0
.
Тогда уравнение движения запишется:
xrkxxm
−−= + tF Ωcos
0
.
Запишем это уравнение в виде:
2
ω
0
Здесь
=
ωβ
0
f
0
k
– собственная частота системы.
F
0
= ;
m
0
m
tfxxx Ω=++ cos2
.
– коэффициент затухания;
=
β
mr2
Анализ решения этого уравнения показывает, что из-за
наличия силы сопротивления среды собственные колебания
системы постепенно затухают, поэтому с некоторого момента
времени система будет совершать гармонические колебания с
частотой вынуждающей силы
()
+Ω= tax cos .
Ω :
Здесь
−=
2Ω−Ω
ω
22
0
α
tg ,
амплитуда колебаний будет равна
f
=
a
()
0
0
2
22
4 Ω+Ω−
βω
.
22
Из выражения для амплитуды следует, что при некоторой
частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний достигает
максимального значения. Это явление называется резонансом, а
соответствующая частота – резонансной частотой. Для нахождения резонансной частоты следует найти минимум знаменателя, продифференцировав его по Ω и приравняв нулю. Резонанс-
ная частота
Ω будет равна:
рез
рез
−=Ω
0
22
2
βω
.
96
Подставив это значение в выражение для амплитуды, получим значение амплитуды при резонансе:
f
=
a
рез
2
0
0
.
22
βωβ
−
8.7. Параметрический резонанс
Систему можно раскачать, если в такт с колебаниями периодически изменять какой-либо параметр системы. Это явление называется параметрическим резонансом. Для примера
рассмотрим шарик на нитке. Если периодически увеличивать
длину маятника, когда он находится в крайних положениях, и
уменьшать ее в среднем положении, то маятник сильно
раскачается. Увеличение энергии шарика при росте его амплитуды
осуществляется за счет внешней силы, изменяющей периодически его длину. Так как сила натяжения нити больше в среднем
положении, когда его скорость максимальна, то положительная
работа внешней силы при уменьшении длины маятника будет
больше, чем отрицательная работа при удлинении маятника.
Таким
образом, за период работа внешней силы будет больше
нуля.
9. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
9.1. Распространение волн в упругой среде
Если привести в колебательное движение частицу в упругой среде, то вследствие связей между частицами среды колебательное движение будет передаваться от точки к точке. Про-
цесс распространения колебаний в пространстве называется
волной.
При распространении волны частицы совершают колебания
около своих положений равновесия и волной не переносят-
ся. В зависимости от направления колебаний различают про-
97
дольные волны (частицы колеблются вдоль направления рас-
ω
ξ
τ
τωξ
пространения волны) и поперечные волны (колебания частиц
направлено перпендикулярно направлению распространения
волны). В средах, которые не обладают сопротивлением сдвигу
(жидкости и газы), поперечные волны не существуют. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой фазе), называется длиной волны.
Если умножить
ния волны v, то получим расстояние, равное длине волны:
vT =
λ
При волновом движении совершают колебания совокупность частиц в некотором объеме. Геометрическое место точек,
до которых доходят колебания к моменту времени t, называется
фронтом волны. Геометрическое место точек, которые колеб-
лются в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.
Волновые поверхности могут иметь различную форму, например, сферическую или плоскую. Соответственно, волны
ваются сферическими или плоскими.
9.2. Уравнение плоской и сферической волн
Уравнением волны называется зависимость смещения
колеблющейся точки от координат и времени.
Получим уравнение плоской волны, предполагая, что колебания являются гармоническими, а волна распространяется
вдоль оси x. В случае плоской волны смещение будет зависеть
только от координаты x и времени t. Предположим, что точки,
находящиеся в плоскости x=0, совершают гармонические колебания с начальной фазой, равной нулю:
()
Точки, находящиеся в некоторой плоскости x, повторят
колебания через время
бательное возмущение дошло до места расположения этих точек:
() ( )
период колебаний T на скорость распростране-
.
tat
cos,0 = .
, необходимое для того, чтобы коле-
[]
−= tatx cos, .
назы-
ξ
98
Время запаздывания τ равно
π
x
, где v – скорость распро-
v
странения волнового возмущения (скорость волны), тогда уравнение плоской волны запишется в виде:
()
Зафиксируем значение фазы:
x
ω
−=
t const
v
Это уравнение определяет те значения x и t, в которых
значение фазы равно зафиксированному значению. Соответст-
венно, производная
ωξ
cos, .
dx
x
−=
tatx
v
.
представляет собой скорость переме-
dt
щения этого значения фазы. Для нахождения этой скорости
продифференцируем выражение для фиксированной фазы по
времени:
dt .
01=− dx
v
Отсюда находим, что скорость распространения фазы
равна:
dx
v
= .
dt
Таким образом, мы уточнили, что скорость распространения волнового возмущения v, которую мы ввели в волновое
уравнение, является скоростью распространения фазы или фа-
зовой скоростью.
Полученное уравнения описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания координаты x. Для волны, распространяющейся в противоположном направлении, в уравнении следует заменить перед x знак
Введем величину:
2
=k
,
с минуса на плюс.
λ
99
которая называется волновым числом. Так как
ω
ω
ω
ξ
(
)
α
π
ω
x
−
t −=−=−=−=
v
ωω
x
t
ω
v
x
π
t
Tv
ω
22
t
x
π
ω
kxt
,
λ
то из приведенных преобразований следует, что
, и фазо-
k=
ν
−=ωξcos, .
++=
zyx
cos
v
= , а уравнение волны запишется:
k
rktatr
zkykxkrk
,
α
, … (аналогичные выражения для
вая скорость волны равна
()
cos .
Полученное уравнение описывает плоскую волну, распространяющуюся без затухания (амплитуда не меняется). Для
сферической волны при ее распространении в колебательный
процесс включаются все новые точки, из энергетических соображений понятно, что амплитуда волны должна уменьшаться с
пройденным расстоянием r. Уравнение сферической волны запишется в виде:
a
kxta −=
()
krt
−=ωξcos .
r
Если плоская волна распространяется в произвольном направлении, образующем с осями координат x, y, z углы α, β, γ,
то в этом случае уравнение волны запишется:
()
Здесь
где
coskkx= =
2
λ
остальных компонент волнового вектора k
Волновые уравнения часто записывают с помощью экспонент в виде:
ae
=
ξ
Re
(здесь Re означает, что берется только вещественная часть от
разложения экспоненты по формуле
()
−
rkti
ω
).
ϕ
i
ϕϕ
sincos ie
+= ).
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]