Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МЕХАНИКЕ
V
И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ
________________
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
В ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТАХ
Результаты измерения физических величин всегда содержат некоторую ошибку. Поэтому корректным является представление результатов лабораторных измерений, например,
объема тела в виде:
V м P=± =(, ,) , ,.23 7 0 3 0 95
3
Здесь представлен полученный результат
солютная ошибка измерения
ность результата измерений
± 03, м
P = 095,
3
и доверительная вероят-
( т. е. вероятность нахо-
V = 23 73, м
, аб-
ждения результата в диапазоне от 23,7 -0,3 до 23,7 +0,3 равна
0,95). В некоторых случаях в учебном процессе допускается
упрощенный расчет ошибки измерения без вычисления доверительной вероятности. Целесообразность такого подхода связана
с тем, что при выполнении лабораторной работы подавляющая
часть времени студента уходит на расчет ошибок, существенно
отвлекая его от
изучения физической сущности эксперимента.
Рассмотрим упрощенный вариант расчета результатов лабораторной работы.
Следует различать прямые измерения физических величин, когда величина определяется непосредственно по шкале
измерительного прибора, и получение физических величин косвенным путем, проводя расчеты по соответствующим формулам. Примером прямых измерений является измерение длины
с помощью линейки или
штангенциркуля, массы тела с помощью весов, силы тока по шкале амперметра и т. п. Косвенным
путем определяют, например, объем параллелепипеда, умножая его длину на ширину и высоту по формуле:
abc=⋅⋅.
191
В большинстве случаев конечный результат лабораторной
ΔΔΔ
работы получается косвенным путем расчетом по формулам,
в которых все или часть исходных величин являются результатом прямых измерений. Методика расчета ошибок результа-
тов, полученных прямым и косвенным путем, различны.
Прямые измерения. Для получения результатов обычно
проводят несколько измерений. Пусть проделано n (обычно
n ≥ 5) измерений величины а :
aaa a
,,,,⋅⋅⋅⋅
. Наиболее близ-
n12 3
ким к истинному значению измеряемой величины считается
среднее арифметическое полученных значений
aaa a
+++⋅⋅⋅⋅+
123
a
=
n
. (1)
a [7]:
n
Абсолютная ошибка полученного результата вычисляется
по формуле:
ΔΔ Δ Δа = + + +⋅⋅⋅()()( )aaa
22 2
сл ок приб
. (2)
Здесь
aaa
,,
сл ок приб
– случайная ошибка, ошибка
округления и ошибка прибора. Если в эксперименте имеются
и другие ошибки, их также следует включить в формулу (2).
Случайная ошибка
вычисляется следующим обра-
Δa
сл
зом: необходимо определить абсолютное значение отклонения
каждого отдельного измерения от среднего значения (1):
Δa
i
aa a
−=
aa a
−=
Δ
11
Δ
22
. (3)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
aa a
−=
Среднее арифметическое из значений
ставлять случайную ошибку
Δ
nn
Δa
сл
192
и будет пред-
Δa
i
:
ΔΔΔ
aa a
Δ
++⋅⋅⋅+
Δ
a
сл
12
=
n
Следует обратить внимание, что в этой формуле
n
. (4)
Δa
– аб-
i
солютные значения ошибок, т.е. здесь складываются положительные величины.
a
Ошибка округления
обычно считается равной поло-
ок
вине наименьшего деления шкалы прибора, используемого для
измерения величины а. Например, при измерении длины с использованием линейки, на которой наименьшими являются
миллиметровые деления, ошибка округления обычно считается
равной 0,5 мм.
Ошибка прибора
Δa
связана с конечной точностью
приб
нанесения делений на шкале прибора, конструкционными особенностями прибора, наличием зазоров в измерительных элементах и т. п. Ошибка прибора обычно указывается в инструкции к прибору или обозначена на шкале прибора или его корпусе. Например, на шкалах электроизмерительных приборов указан класс точности прибора
, представляющий абсолютную
ошибку прибора в процентах от диапазона измерения. Например, класс точности амперметра с диапазоном измерения
(0-200)А равен 1,5. Это означает, что абсолютная ошибка изме-
200 1 5
рения данного прибора равна
⋅
3
=±,A
.
100
Относительная ошибка измерения представляет собой
отношение абсолютной ошибки к величине самого измерения:
Δа
δ
a =
(5)
а
и выражается обычно в процентах.
Окончательно результат измерения величины a следует
представлять в виде:
aa±Δ , (6)
193
где a считается равным a , полученным по формуле (1), и
V
Δa
получено по формуле (2).
Следует отметить, что на практике некоторые из ошибок,
входящих в формулу (2), малы по сравнению с другими. В этом
случае ими пренебрегают. В частности, если ошибки прибора
или округления велики по сравнению с ошибками случайными,
последовательные измерения величины могут давать одни и те
же значения. В этом случае нет
мерения физической величины много раз.
Ошибки измерений физических величин, полученных
косвенным путем. Пусть, к примеру, необходимо вычислить
абсолютную ошибку измерений объема параллелепипеда. Известно, что объем параллелепипеда определяется по формуле:
Vabc=⋅⋅
данной фигуры, которые являются результатом прямых измерений, а их абсолютные ошибки
формуле (2).
некоторой физической величины V, зависящей от нескольких
исходных величин, скажем x,y,z. В этом случае абсолютная
ошибка
, где а,b,c – соответственно длина, ширина и высота
В общем случае задача заключается в вычислении ошибки
Δ
вычисляется по формуле:
необходимости проводить из-
ΔΔΔabc,, определяются по
V
ΔΔΔΔV
∂
где
∂
взятые по модулю;
Δx
также взятые по модулю.
Формулы для расчета абсолютной и относительной
ошибок измерения, полученные с помощью (7), приведены
в таблице.
∂
∂
x
∂
V
x
V
,,
y
∂
,Δy,
x
∂
∂
Δz
V
∂
y
∂
y
V
∂
∂
z=++
, (7)
z
V
– частные производные функции V,
z
– абсолютные ошибки величин x, y, z,
194
Таблица
V
Математическая
операция
V=a+b+c
V=a-b
Абсолютная
ошибка
±(Δa+Δb+Δc)
±(Δa+Δb)
Относительная
ошибка
±(
cba
++
±(
Δ+Δ
)
cba
Δ+Δ+Δ
)
baba−
V=a b
V=a/b
V=am
±(aΔb+bΔa)
±(
±(ma
m-1
b
Δa)
2
Δ
±(
baab Δ+Δ
)
±(
Δ
±(
a Δ
+
a
a Δ
+
a
amΔ
b
)
b
b
)
b
)
a
V=sina
V=V(a,b,..….c)
±(cosa. Δa) ±(ctga. Δa)
∂
V
±
∂
a
∂
+
∂
∂
V
+Δ
a
V
Δ
..... c
c
+Δ
b
∂
b
Δ V
±
V
При отсутствии таблиц для получения формулы расчета
ошибок измерения простейших зависимостей полезно запомнить несколько правил.
1. Если в расчетную формулу определяемой величины
входят лишь операции сложения и вычитания, то абсолютная
ошибка результата в этом случае равна сумме модулей абсолютных ошибок величин, входящих в расчетную формулу. Например:
abc=+−. (8)
Тогда
ΔΔΔΔV abc=++
. (9)
2. Если в расчетную формулу входят лишь операции умножения и деления, то удобней вначале вычислить относительную ошибку измерений, которая в этом случае равна сумме от-
носительных ошибок составляющих. Например:
195
ab
Δ
δ
V
⋅
V
=
. (10)
c
Тогда
V
ΔΔΔΔ
δ
V
==++
V
Абсолютная ошибка результата рассчитывается по фор-
муле:
VVV=⋅
3. Так как операция возведения в степень представляет со-
бой произведение одинаковых сомножителей:
n
a aaa a
= ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅
то формулы для расчета относительной погрешности степени
легко получить из предыдущего правила. Если
n
Va
= , (14)
то
ΔΔV
n
=
a
b
c
a
b
. (12)
, (13)
n
. (11)
c
a
. (15)
a
Формула (15) верна также, если показатель степени n яв-
ляется дробным.
Примеры использования этих правил.
1. Коэффициент жесткости пружины (лаб. раб. 4, упр. 1)
определяется по формуле:
к =
В этом случае
ΔΔ
k
k
Так как
рения величины
ΔΔΔll l l−=+
()
. (16)
−mgll
0
Δ
ll
−
m
=+
m
00
()
0
ll
Δ ll−
()
ll−
()
. (17)
−
0
представляет абсолютную ошибку изме-
0
, то в соответствии с правилом 1
0
.
196
Таким образом
N
N
N
V
V
ΔΔΔΔk
k
m
ll
=+
m
ll
+
0
. (18)
−
0
2. Во втором упражнении (лаб. раб. 4) коэффициент жесткости пружины определяется:
M
T
m
0
+
3
2
. (19)
2
4
π
k
=
В этом случае
Δ
Δ
=
k
Здесь следует обратить внимание, что
(Это легко понять из примера: если
тогда
ΔΔΔ Δ
m
0
+
M
M
3
m
0
+
Δ
+=
2
3
aa a=+=2 .)
Δ
m
0
+
Δ
T
T
M
M
3
m
0
+
T
Δk
+
2
. (20)
T
3
Δ
a= 2 , т.е.
33
Δmm
00
=
aa=+,
Если рассмотреть методику расчета стандартной погрешности измерений, приведенной в [6], то легко прийти к заключению, что доверительная вероятность результата, полученного
по вышеприведенной упрощенной методике, будет примерно
равна или больше, чем 0,68 для a
и примерно равна или больше 0,95 для a
±Δa (также для V ±Δ
± 2Δa (или V ± 2Δ
),
).
Если необходимо рассчитать доверительную вероятность более
точно, следует воспользоваться методикой, изложенной в [7].
Округление результатов расчетов. Представляя оконча-
тельный результат расчета физической величины и ошибки ее
измерения, следует провести округление, т. е. отбросить лишние значащие цифры. Следует вспомнить, что значащими являются все цифры полученного результата, кроме нулей, стоящих в начале числа. Например:
.
197
0,0357 – здесь три значащих цифры (первые два нуля не
являются значащими),
32,053 – здесь приведено пять значащих цифр,
3,530 – приведено четыре значащих цифры (последний
нуль является значащей цифрой).
Рекомендуется в ошибке измерения указывать одну зна-
чащую цифру (или две, если первая значащая цифра равна единице). В значении физической величины последняя значащая
цифра
соответствует последней значащей цифре в ошибке
измерений, т.е. стоит на том же месте по отношению к запятой,
отделяющей целые от десятых. Остальные значащие цифры отбрасываются с учетом правил округления (обычно если первая
отбрасываемая цифра больше или равна пяти, то предшествующая ей цифра увеличивается на единицу).
Примеры:
Результат расчета величин:
V = (235,3578 ± 4,289125) м
3
m = (53,04352 ± 0,358923) кг
ν = (2,783257 ± 0,003497) м/с
l = (12,7586 ± 0,147531) м
ρ = (2785,354 ± 300,458) кг/м
3
Правильное представление результатов:
V = (235 ± 4) м
3
m = (53,0 ± 0,4) кг
ν = (2,783 ± 0,003) м/с
l = (12,76 ± 0,15) м
2
ρ = (28 ± 3) · 10
кг/м
3
В последнем случае представление результата в виде
2785 ± 300) кг/м
3
является некорректным, так как в ошибке ре-
зультата имеются три значащие цифры (а не одна).
Типичной ошибкой, совершаемой при обработке результатов, является расчет ошибки измерения физической величины,
полученной косвенным путем, осуществляемый путем усреднения полученных результатов (как для прямых измерений).
198
В случае если ошибками прибора, округления и другими ошиб-
π
≈
k
π
ками нельзя пренебречь по сравнению с ошибками случайными,
это приведет к заниженным ошибкам результата (или даже равным нулю) [5].
Если в формулах для вычисления физических величин
имеются константы, которые в расчетах округляются, то в
окончательный результат вносится дополнительная ошибка.
Для ее вычисления
станты следует учитывать так же, как и прямые измерения,
имеющие некоторую ошибку. Например, в формулу (19) для
расчета коэффициента жесткости пружины входит число
314,
. Если константа приводится без указания ее точности
измерений, то считается, что ошибка ее измерения не превышает одной единицы последней значащей цифры. Поэтому будем
в формулах для расчета ошибок эти кон-
Δk
считать, что
строго говоря, следует добавить к остальным членам величину
Δπ=±001, . В формуле (20) для расчета
,
Δ
2
:
π
Δ
m
Δ
Δ
M
=
k
M
0
+
3
m
0
+
ΔΔk
T
++
22
T
π
π
.
3
Однако эта величина может оказаться значительно меньше
остальных слагаемых, в таком случае ею можно пренебречь.
Если в лабораторной работе требуется построить график
полученных зависимостей физических величин, следует на осях
указывать единицы измерений и выбранный масштаб. Возле
экспериментальных точек необходимо указывать точность измеренных величин.
199
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА И ПЛОТНОСТИ ТЕЛ
Цель работы. Ознакомление с работой штангенциркуля и
микрометра. Приобретение опыта обработки результатов измерений.
Краткая теория. Для повышения точности измерения
линейных и угловых величин обычные измерительные шкалы
снабжают дополнительными шкалами, которые называются
нониусами.
Линейный нониус представляет собой небольшую шкалу,
перемещающуюся вдоль основной измерительной линейки. Она
состоит из т (обычно десяти) делений (рис. 1).
Рис. 1. Линейный нониус
Суммарная длина всех т делений нониусной шкалы равна
т-1 наименьшим делениям основной линейки, т.е.
(1)mx m y=−
, (1)
где х – длина деления нониуса, у – длина наименьшего деления шкалы измерительной линейки. Следовательно:
xy
=−
m
y
.
(2)
Разность длин деления основной и нониусной шкал равна:
yx
−=
m
y
.
200
(3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]