Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Полученное из этих соображений выражение для реляти-
вистского импульса имеет вид:
p−=
3. Связь между силой и скоростью.
В теории относительности сохраняется соотношение меж-
ду силой и скоростью изменения импульса:
ставив сюда релятивистское значение импульса, можно полу-
чить выражение для ускорения частицы (которое по определе-
нию равно:
vm
а
= ):
.
22
/1 cv
fdtpd
=/
. Под-
vd
dt
mc
fv
.
2
Видим, что в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой, имеется составляющая, направленная вдоль
скорости
масса перестает играть роль меры инертности тела, единой меры инертности для релятивистских частиц вообще не существует, так как сопротивление тела ускоряющей его силе зависит от
угла между силой и скоростью.
v
. Отсюда следует, что в релятивистской механике
f
22
m
−−= v
cva
/1
4. Релятивистская энергия.
Выражение для кинетической энергии частицы в релятивистской механике можно
ханике, умножив скалярно силу на перемещение, считая, что
эта работа идет на увеличение кинетической энергии частицы.
Заменив силу через производную импульса из выражения
fdtpd
=/ и воспользовавшись выражением для релятивист-
ского импульса, получим выражение для релятивистской кинетической энергии:
2
mcT
= 1
1
−
получить, как и в ньютоновской ме-
−
.
22
/1
cv
71
Для того чтобы энергия частицы была сохраняющейся величиной во всех инерциальных системах отсчета, к кинетической энергии следует добавить величину
2
mcE = ,
0
которую называют энергией покоя. Полученную суммарную
величину Е называют полной энергией. Полная энергия равна:
2
E−=
mc
.
22
/1 cv
В энергию покоя тела входит энергия покоя составляющих тело частиц, кинетическая энергия частиц (обусловленная
их движением относительно центра масс) и энергия их взаимодействия друг с другом. В энергию покоя, как и в полную энергию Е, не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.
Масса тела
2
mcE = , из которого вытекает, что всякое изменение массы
0
тела
mΔ
сопровождается изменением энергии покоя
и его энергия покоя связаны соотношением
EΔ , при-
0
чем эти изменения пропорциональны:
2
mcE Δ=Δ
0
.
Это соотношение называется законом связи массы и энер-
гии.
Работа атомных электростанций основывается на реакции
деления ядра урана; образующиеся в результате этой реакции
частицы имеют суммарную массу меньше, чем масса исходного ядра урана. Соответствующая разнице масс внутренняя энергия выделяется в виде кинетической энергии образовавшихся
частиц и энергии электромагнитного
излучения.
72
7. СТАТИКА И ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
7.1. Давление
От твердых тел жидкости и газы отличаются тем, что не
оказывают сопротивления сдвигу, поэтому изменяют свою
форму под воздействием даже малых сил (для изменения их
объема требуются существенные силы). На соприкасающиеся с
ними тела жидкости и газы воздействуют с некоторой силой.
Степень
ваемой давлением.
не перемещаются относительно друг друга или граничащих с
ней тел). Проведем мысленно в жидкости площадку
касающиеся по этой площадке части жидкости действуют друг
на друга с силами, равными по величине и противоположно направленными. Уберем мысленно жидкость с одной стороны
площадки и заменим действие удаленной части силами такой
величины и направления, чтобы жидкость сохранила состояние
покоя. Эти силы должны быть перпендикулярны к площадке,
иначе
в движение. Следовательно, и равнодействующая всех сил
с которой жидкость действует на площадку
лена перпендикулярно этой площадке. Давлением в жидкости
называется отношение силы
(т.е. сила, действующая на единицу поверхности).
этого воздействия характеризуется величиной, назы-
Рассмотрим неподвижную жидкость (ее отдельные части
SΔ
. Сопри-
их тангенциальная составляющая привела бы жидкость
fΔ ,
SΔ
, также направ-
fΔ
к величине площадки SΔ
Δ
f
=
P
Δ
S
Если сила неравномерно распределена по площадке, то
давление в точке определяется как производная:
df
P =
.
dS
73
Давление является скаляром, так как оно не зависит в дан-
м
м
ной точке от ориентации площадки (всегда перпендикулярно
к ней).
Единицей давления в системе СИ является
Н
1
, в систе-
2
ме СГС
дина
1
. Кроме этих единиц на практике часто исполь-
2
см
зуются:
1. Физическая атмосфера (атм), равная давлению, оказы-
Н
ваемому столбом ртути высотой 760 мм (1 атм = 1,01·10
2. Миллиметр ртутного столба (1 мм рт. ст.
3. Техническая атмосфера (ат). (1 ат = 1
кгс
см
≈ 133
2
5
).
2
Н
).
2
м
Н
5
1098,0 ⋅=
).
2
м
7.2. Давление в покоящейся жидкости и газе
Выделим мысленно в покоящейся жидкости и газе объем в
виде горизонтально расположенного цилиндра малого сечения
SΔ . Слева и справа на основания цилиндра будет действовать
давление соответственно
нии вдоль оси цилиндра будут действовать лишь две силы
SP Δ
и SP Δ2(составляющая веса жидкости действует верти-
1
кально). Так как жидкость покоится, то это означает, что эти
силы равны и противоположно направлены. Отсюда следует,
что
P =2P . Это означает, что во всех точках жидкости, ле-
1
жащих на одном горизонтальном уровне, давление имеет одинаковую величину. В общем случае поверхность покоящейся
жидкости перпендикулярна равнодействующей приложенных
сил (в противном случае под действием тангенциальной составляющей силы возникает ускорение).
Если рассматриваемый цилиндр расположить вертикально, то условия покоя жидкости могут
P и 2P . В горизонтальном направле-
1
быть получены из усло-
74
вия, что сумма всех приложенных к рассматриваемому цилинд-
ρ
ρ
ρ
ρ
ру сил равна нулю:
=−Δ−Δ mgSPSP
12
12
SghSPSP Δ−Δ−Δ
= 0.
Здесь m – масса рассматриваемого цилиндра, g – ускорение силы тяжести,
– плотность жидкости, h – высота цилин-
дра. Отсюда:
ghPP
+=
12
Величина
.
gh
называется гидростатическим давлением.
Полученное уравнение означает, что давление на двух раз-
ных горизонтальных уровнях отличается на величину, численно
равную весу вертикального столба жидкости, заключенного
между этими уровнями, с площадью сечения, равного единице.
На тело, погруженное в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда: равно-
действующая
всех сил давления, приложенных к поверхности
тела, погруженного в жидкость, направлена вертикально
вверх и равна весу вытесненной этим телом жидкости. Точка
приложения выталкивающей силы совпадает с центром тяжести
объема вытесненной жидкости. Поэтому для устойчивости плавающего тела необходимо, чтобы центр тяжести тела был ниже
центра тяжести объема вытесненной жидкости.
7.3. Уравнение неразрывности струи
Описать движение жидкости можно методом Лагранжа
(составив уравнение движения для каждой частицы) и методом
Эйлера (наблюдать за скоростями частиц в определенной точке). Воспользуемся вторым методом, для чего укажем для каждой точки пространства вектор скорости точек жидкости как
функцию времени. В каждый момент времени получится
картина скоростей в жидкости,
которая называется полем
скоростей. Для наглядного представления о характере течения
жидкости воспользуемся понятием линия тока. Линией тока
75
называется линия, касательная к которой в каждой точке
совпадает по направлению с вектором скорости. Если проводить линии тока так, чтобы их густота была пропорциональна
модулю вектора скорости, то по картине линий тока можно
определить и направление скоростей, и их величины в различных точках пространства.
Течение называется стационарным, если
вектор скорости
в каждой точке пространства не меняется со временем. В этом
случае линия тока совпадает с траекторией частиц. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.
Скорость частиц v будет направлена по касательной к поверхности трубки тока и частицы жидкости не смогут пересекать
стенки трубки тока. Тогда через
сечение S трубки за время
tΔ пройдет объем жидкости, равный tSvΔ . Если жидкость не-
сжимаема, то объемы, прошедшие за единицу времени через
S
сечения
S
и
1
трубки тока, будут одинаковы (в противном
2
случае масса жидкости между сечениями изменялась бы во
времени, что противоречит предположению о несжимаемости):
vSvS = .
2211
Таким образом, для несжимаемой жидкости в любом сече-
нии одной и той же трубки тока произведение
Sv остается по-
стоянным:
Sv = сonst.
Эта формула называется уравнением неразрывности
струи. Она применима и к газам, когда их сжимаемостью мож-
но пренебречь.
7.4. Уравнение Бернулли
Рассмотрим малый объем
VΔ , занимающий положение
ABCD в трубке тока при стационарном течении жидкости,
в которой отсутствует внутреннее трение (такая жидкость называется идеальной).
76
B
B
A
B
C
P
P
1
A
S
1
′
′
P
C
S
2
′
h
1
D
D
′
P
2
h
2
За время
′′′′
DCBA
. При этом приращение энергии частиц жидкости, на-
tΔ объем ABCD переместится в положение
ходящихся в этом объеме, будет равно работе, совершаемой над
этим объемом внешними силами. Энергия частиц состоит из
потенциальной энергии в поле силы тяжести и кинетической
энергии. Так как в силу несжимаемости жидкости заштрихованные на рисунке объемы AB
приращение энергии объема
′′
A
и DC DC′′ будут равны, то
VΔ будет равно приращению
энергии точек жидкости, находящихся в этих объемах (вследствие стационарности течения, частицы в незаштрихованном объ-
′′
A
еме
CD не меняют своей энергии, так как их скорость и
положение в пространстве сохраняются). Если взять сечение
трубки тока и перемещение объема
VΔ настолько малым, что-
бы всем точкам каждого из заштрихованных объемов можно
было приписать одно и то же значение скорости v, давления P
высоты h, то приращение энергии объема
VΔ
будет равно:
=Δ
E
2
Δ
Vv
ρ
2
Δ+
ρ
2
Vgh
−
2
77
2
Δ
Vv
ρ
1
Δ+
ρ
2
Vgh
.
1
Здесь ρ – плотность жидкости, индексы 1 и 2 относятся
B
B
E
соответственно к объемам AB
′′
A
и DC DC′′.
Работа внешних сил над выделенным объемом будет равна
S
работе сил давления, приложенных к сечениям
1
и
S
2
(силы
давления P на боковые поверхности перпендикулярны перемещению частиц и работы не совершают; силы трения в идеальной жидкости отсутствуют):
A =
Здесь
lSP Δ –
111
lΔ соответствует перемещение B
1
Приравняв выражения для
2
ρ
1
ρ
2
ρ
=
Pghv++
11
()
lSP Δ =
222
2
2
ρ
2
21
Δ
и A, получим:
Pghv++
22
VPP Δ−
.
′
, а
lΔ – C C
2
′
.
.
Это выражение называется уравнением Бернулли. Оно оз-
начает, что в стационарно текущей идеальной жидкости
вдоль любой линии тока выполняется условие
2
v
ρ
gh P const
ρ
++= .
2
Уравнение Бернулли достаточно хорошо выполняется и
для реальных жидкостей, в которых внутреннее трение незначительно.
Примеры использования уравнения Бернулли для решения
задач.
1. Горизонтальная трубка тока. В этом случае
hh = ,
21
тогда
2
ρ
1
Pv+
2
1
=
2
ρ
2
2
.
Pv+
2
Полученное выражение показывает, что давление меньше
в тех точках, где скорость больше.
2. Истечение жидкости из отверстия в широком открытом
сосуде. В качестве первого сечения возьмем открытую поверхность жидкости, второе выберем в месте отверстия, через кото-
78
рое жидкость вытекает. Давление в обоих сечениях одинаково и
ρ
η
равно атмосферному. Скоростью перемещения открытой поверхности можно пренебречь. Тогда
2
ρ
v
=
2
+ .
2
ρ
gh
2
gh
1
Таким образом, скорость v истечения жидкости из отвер-
стия, расположенного на глубине h, равна
ghv 2= .
Она равна скорости, которую приобретает тело, падая с
высоты h. Полученная формула называется формулой Торричелли.
7.5. Вязкость жидкости
В реальной жидкости существуют силы внутреннего трения или вязкость. Вследствие этого, если поместить в жидкость
две пластины, одна из которых неподвижна, а другая движется
относительно первой со скоростью
v , то сила, тормозящая
0
движущуюся пластину, определится как:
v
0
f
= .
тр
S
η
d
Здесь d – расстояние между пластинами, S – площадь каждой из пластин,
– коэффициент пропорциональности, зави-
сящий от природы жидкости, называется коэффициентом вязкости или просто вязкостью (также коэффициентом внутреннего трения). Равная по величине и противоположно направленная сила действует и на вторую пластину.
В общем случае взаимного движения пластин сила внутреннего трения равна:
f
тр
dv
S
η
=
,
dz
79
где производная от скорости берется в направлении z, перпен-
η
ρ
дикулярном к пластинам. Производная
dv
называется гради-
dz
ентом скорости.
Единицей вязкости
секунда (
сПа ⋅ ), в системе СГС – пуаз (П).
ПсПа 101 =⋅
.
в системе СИ является паскаль-
Коэффициент вязкости зависит от температуры жидкости
или газа, причем характер этой зависимости разный: вязкость
жидкостей уменьшается, а газов – увеличивается с повышением
температуры.
7.6. Ламинарное и турбулентное течение
Если при движении слои жидкости скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, то такое движение жидкости
называется ламинарным. Ламинарное течение стационарно.
При достаточно
большой скорости (или значительных поперечных размерах потока) возникает энергичное перемешивание
жидкости. Такое движение жидкости называется турбулентным. В таком потоке скорость частиц меняется беспорядочным
образом и течение жидкости нестационарно.
Характер течения жидкости (ламинарный или турбулент-
ный) зависит от безразмерной величины:
= ,
e
vl
η
R
где
ρ
– плотность жидкости,η – коэффициент вязкости жидкости, v – средняя скорость потока, l – характерный размер потока
(сторона квадрата – при квадратном сечении потока, радиус –
при круглом сечении). Величина
R называется числом Рей-
е
нольдса. Изменение характера течения жидкости происходит
при некотором критическом значении
R . При значениях еR ,
е
меньших критического, движение жидкости будет ламинарным,
при больших – турбулентным.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]