Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Запишем второй закон Ньютона, используя понятие им-
пульса тела. Для этого обе части уравнения закона умножим
на dt:
dtamdtf
= .
Так как
vddta= ,
то
vmddtf
= .
Считая массу m тела постоянной, можем записать
=
)( vmddtf
,
или
pddtf
=
.
Отсюда получим выражение для второго закона Ньютона
в виде:
pd
f
= .
dt
Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. Запишем для
каждого тела уравнение второго закона Ньютона:
pd
1
dt
pd
2
dt
pd
3
dt
Здесь используются обозначения:
щая на тело i со стороны тела k;
Fff
++= ,
Fff
++=
22321
Fff
++= .
33231
11312
,
f
– сила, действую-
ik
F – равнодействующая всех
i
сил, действующих на тело i со стороны тел, не принадлежащих
21
системе. Сложив три уравнения и учтя, что по третьему закону
A
Ньютона
f
= -
f
ik
d
()
dt
, получим:
ki
ppp
dt
pd
FFF
++==++ .
321321
При отсутствии тел, не принадлежащих системе
pd
0=
.
dt
Следовательно, для замкнутой системы
p
является по-
стоянной величиной:
p
=сonst.
Этот результат легко обобщить на систему, состоящую из
большего числа тел. Он представляет собой математическое
выражение закона сохранения импульса: импульс замкнутой
системы материальных точек остается постоянным.
Полученный результат будет справедлив и для незамкнутой системы, если внешние силы в сумме дают нуль. Легко показать, что в случае если
сумма внешних сил не равна нулю, но
проекция этой суммы на некоторое направление есть нуль, сохраняется составляющая импульса в этом направлении.
3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
3.1. Работа
Работой A называется скалярная величина, равная произ-
ведению проекции силы
f на направление перемещения и пути
s
s, пройденного точкой приложения силы:
sfA
⋅= .
s
Это выражение справедливо, если проекция силы на перемещение постоянная величина. Выражение для работы можно
записать в следующем виде:
fscos=⋅⋅ α,
22
где α – угол между направлением силы и перемещением.
α
α
α
π
Отсюда ясно, что работу также можно определять как произведение силы на проекцию пути на направление действия
силы.
В зависимости от угла
ной (
– острый), отрицательной (α – тупой) и равной нулю
работа может быть положитель-
(
равен
).
2
Если величина проекции силы
f на направление переме-
s
щения не остается постоянной, то необходимо разбить путь s на
элементарные участки ds, за время прохождения которых вели-
чины
f можно считать неизменными. Тогда работа на всем
s
пути будет равна
⋅=
dsfA .
s
s
Для примера получим выражение для работы при растяжении пружины внешним телом. Если k – коэффициент жесткости пружины, а x – удлинение пружины, то сила воздействия на
пружину равна
kxf = .
Работа в этом случае будет равна
xx
00
kxdxfdxA
2
kx
===
.
2
Единицы работы.
Система СИ: джоуль (Дж). Система СГС: эрг. Система
МКГСС: килограмм-сила-метр (
мкгс ⋅ ).
Используя определение скалярного произведения векторов, выражение для работы можно записать в виде
=
sdfA
.
s
23
Если на тело действуют одновременно несколько сил, то
результирующая будет равна
ff
Σ= . Тогда работа результи-
k
k
рующей силы равна
ss
)( .
k
k
k
k
ss
k
AdAsdfsdfsdfA Σ=Σ=Σ=Σ==
k
k
k
Итак, работа результирующей силы равна алгебраической
сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.
Так как элементарное перемещение
как
тогда работа за время от
dtvsd
=
,
t до 2t может быть вычислена по
1
sd
можно представить
формуле
t
2
s
==
dtvfsdfA
.
t
1
3.2. Мощность
Мощностью называется работа, совершаемая в единицу
времени:
dA
W
= .
dt
Так как
sdfdA
= ,
то
W
dA
dt
sd
f
vf
=== .
dt
Единицы мощности.
Система СИ: ватт (Вт). Система СГС: эрг/с. Система
МКГСС: лошадиная сила (л.с.), 1 л.с. соответствует 736 Вт.
24
3.3. Потенциальное поле сил. Консервативные силы
Если на тело в каждой точке пространства действуют другие силы, закономерно изменяющиеся от точки к точке, то говорят, что это тело находится в поле сил.
В качестве примера можно привести поле центральных
сил. В этом случае на тело в любой точке пространства действует
сила, проходящая через некоторый центр, а ее величина зависит
от расстояния до этого центра. Другой пример – поле силы тяжести, являющееся частным случаем поля центральных сил.
Если работа, совершаемая над телом силами поля, не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением тела в пространстве,
то такое поле сил назы-
вается потенциальным, а сами силы консервативными.
Если работа сил зависит от пути, по которому тело переходит из одного положения в другое, то силы называются не-
консервативными.
Из определения консервативных сил следует, что если тело при своем перемещении возвращается в исходную точку, то
работа консервативных
сил в итоге равна нулю. Верно и обратное положение: если работа сил поля на любом замкнутом
пути равна нулю, то поле сил будет потенциальным.
Поскольку работа в потенциальном поле сил равна нулю
на замкнутом пути, это означает, что на одних участках она положительна, а на других – отрицательна.
Примером
неконсервативных сил является сила трения.
Действительно, сила трения направлена противоположно скорости
fvdtdtvfdA −==
,
и, следовательно, всегда отрицательна. На замкнутом участке
она в сумме не равна нулю.
Поле силы тяжести является потенциальным. Действи-
тельно:
−=−==⋅=
hhmghhfdsfdsfA )()(
.
SS
ff
2121
25
Здесь учтено, что сумма проекций перемещений
ds на
f
направления действия силы mg равно перемещению тела по
вертикали
hh − . Таким образом, работа в поле силы тяжести
21
не зависит от пути, а определяется конечным и начальным положением тела.
Аналогично можно показать, что поле центральных сил
также является потенциальным.
3.4. Закон сохранения полной механической энергии
Физическая величина, характеризующая способность те-
ла совершить работу, называется энергией.
Тело способно совершить работу в силу своего положения
или же вследствие того, что оно обладает скоростью. Соответственно этому различают энергию положения – потенциальную
энергию и энергию движения – кинетическую энергию.
Потенциальная энергия.
Чтобы понять, какую
тать потенциальной энергией, рассмотрим способность совершить работу тела, находящегося в поле силы тяжести. Пусть
груз массой m опускается вниз и через блок перемещает по горизонтальной поверхности некоторое тело. Пусть при этом
груз опускается равномерно (для этого необходимо, чтобы сила
трения тела о поверхность равнялась mg
грузом, будет равна:
физическую величину следует счи-
). Работа, совершаемая
)(
hhmgsfA −=⋅= .
21
Эта работа совершается за счет изменения положения груза в поле силы тяжести, т.е. за счет уменьшения его потенциальной энергии:
EEA −= .
21 pp
Как видно из этих формул:
mghE
= ,
p
11
mghE
= .
p
22
26
Величина CmghE
p
+= , где C – некоторая константа, на-
зывается потенциальной энергией тела в поле силы тяжести.
Определяемая таким образом потенциальная энергия устанавливается с точностью до константы. Однако в физике важна
разность энергий, поэтому значение константы не существенно.
При решении конкретной задачи потенциальную энергию какого либо положения тела принимают равной нулю (например,
тела на поверхности Земли), а энергию других положений отсчитывают от этого положения тела.
Используя аналогичные соображения, легко прийти к выводу, что потенциальная энергия сжатой пружины равна работе,
затраченной на ее сжатие:
2
kx
E
= .
p
2
Кинетическая энергия.
Для выяснения, какую физическую величину следует считать кинетической энергией, рассмотрим следующий пример.
Пусть тело 1 толкает тело 2 с некоторой силой f, совершая при
этом работу
тела 2 скорость тела 1 уменьшится от
fsA = . Из-за действия силы реакции со стороны
v до 2v . Пусть в услови-
1
ях опыта f постоянна, соответственно, и a постоянно, тогда
2
2
−
2
2
1
asvv 2
=− , отсюда
2
kk
21
Отсюда видно, что
Величина
=
s
E
2
mv
= называется кинетической энергией.
E
k
2
vv
2
1
. Тогда
a
2
2
2
−
vv
2
====− .
1
mamasfsAEE
1
a
mv
= , а
k
1
2
1
E
k
2
2
2
mv
2
= .
2
2
2
mvmv
2
−=
222
Она определяется, так же как и потенциальная энергия, с точностью до константы. Однако из физических соображений ясно,
что для тела с нулевой скоростью имеет смысл его кинетическую энергию считать равной нулю.
27
Полная механическая энергия системы тел.
В общем случае тело может обладать и кинетической и
потенциальной энергией. Сумма кинетической и потенциаль-
ной энергии называется полной механической энергией тела.
Потенциальная и кинетическая энергия тела могут превращаться друг в друга. Например, при падении тела его потенциальная энергия уменьшается, в то время
как скорость и,
соответственно, кинетическая энергия возрастают. Действительно, в верхней точки траектории
0
E , а mghE
0=k
p=0
.
В нижней точки траектории, где h=0, а скорость
ghv 2= ,
потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая
k
2
=== 2/22/
. Таким образом, потенциальная
mghghmmvE
энергия, которой тело обладало в исходной точке траектории,
превратилась в эквивалентное количество кинетической энергии в нижней точке траектории, а полная механическая энергия
тела осталась неизменной. Соответствующий расчет показывает, что полная механическая энергия тела при его падении сохраняется в любой точке траектории.
Используя понятия энергии
и работы (т.е. основываясь на
законах Ньютона), можно в общем случае сформулировать это
положения в виде закона сохранения полной механической
энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел,
между которыми действуют только консервативные силы,
остается постоянной.
В том случае, когда на систему действуют внешние кон-
сервативные силы, приращение полной механической
энергии
системы тел равно работе внешних сил.
Если существуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия системы не сохраняется. В этом случае выполняется более общий закон сохранения: сохраняется сумма
всех видов энергии, включая и механическую энергию.
28
3.5. Связь между потенциальной энергией и силой
Пусть потенциальное поле сил перемещает точку на расстояние ds, совершая работу dA:
dsfdA
⋅= ,
s
где
f – проекция силы, действующей на точку, на направление
s
перемещения ds. В этом случае работа совершается за счет
убыли потенциальной энергии
dEdA −= .
p
Тогда
.
dsfdE
⋅=−
sp
Отсюда
dE
p
−= .
f
s
ds
Так как это выражение справедливо для любого направления, то можно записать для координатной оси x:
dE
p
−= (у =const, z = const).
f
х
dх
Выражение, стоящее справа, представляет собой производную от потенциальной энергии, вычисляемую в предположении, что переменные y и z не изменяются, изменяется лишь
переменная x. Такие производные называются частными,
и для отличия от производных одной переменной они обозначаются с использованием символа
∂ вместо d. Таким образом
∂
E
p
−=
f
x
.
x
∂
Аналогично для переменных y и z:
∂
E
p
−=
f
y
,
f
y
∂
∂
E
p
−=
z
.
z
∂
29
Эти выражения можно рассматривать как компоненты си-
ϕ
лы по координатным осям. Тогда для вектора силы получим
f
Используя определение градиента скалярной функции
(x,y,z)
grad
выражение для силы можем записать в виде:
дом части их кинетической энергии в другие виды энергии.
Существуют два предельных случая: абсолютно упругий удар
и абсолютно неупругий удар. При абсолютно упругом ударе
механическая энергия не переходит в другие виды энергии. После удара тела разлетаются со
ются законом сохранения полной механической энергии и законом сохранения импульса системы тел. В случае абсолютно
неупругого удара механическая энергия тел полностью или
частично переходит в другие виды энергии, тела после удара
двигаются с одинаковой скоростью. В этом случае закон сохранения полной механической энергии не соблюдается, выполня
ется лишь закон сохранения импульса системы тел.
ханической энергии и импульса на примере центрального удара
двух шаров (т.е. когда до удара шары движутся вдоль прямой,
проходящей через их центры), массы шаров
сти до удара соответственно
Соударение тел в общем случае сопровождается перехо-
Рассмотрим применение законов сохранения полной ме-
∂
E
−= k
ϕ
=
gradEf −=
+
i
∂
x
∂
i
∂
x
.
p
3.6. Центральный удар шаров
∂
E
+
j
∂
y
∂
j
+
∂
y
∂
E
.
ppp
∂
z
,
∂
ϕϕϕ
k
+
∂
z
скоростями, которые определя-
, mm , их скоро-
21
,vv
.
2010
-
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]