Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
а) переход от системы k′ к системе k:
z
z
z
z
tvx
−
′
x
=
′
′
=
′
t
=
0
,
2
v
0
−
1
2
c
,yy =
,
v
0
t
x
−
2
c
;
2
v
0
1
−
2
c
б) переход от системы k к системе
′
′
tvx
+
x
=
=
=
t
=
0
,
2
v
0
1
−
2
c
′
,yy
′
,
v
0
′
t
+
1
′
x
2
c
.
2
v
0
−
2
c
′
k
:
Из приведенных формул следует, что при cv <<0преобра-
зования Лоренца переходят в преобразования Галилея. При
v >c выражения для txtx
0
′′
,,, становятся мнимыми. Это нахо-
дится в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно.
6.3. Следствия из преобразований Лоренца
Из преобразований Лоренца следуют необычные для классической механики эффекты.
61
1. Одновременность событий в разных системах отсче-
та.
Пусть в системе отсчета k в точках с координатами
и xx
одновременно происходят два события в момент време-
21
btt ==
ни
системе
′
x
1
. В соответствии с преобразованиями Лоренца, в
21
′
k
этим событиям будут соответствовать координаты:
bvx
−
=
01
2
v
0
1
−
2
c
,
′
x
=
2
bvx
−
02
2
v
0
1
−
2
c
и моменты времени:
v
0
−
b
′
=
t
1
x
1
2
c
2
v
0
−
1
2
c
,
′
t
2
v
0
−
b
=
x
2
2
c
.
2
v
0
−
1
2
c
Из этих уравнений можно сделать следующие выводы. Если события в системе отсчета k происходят в одном месте
(
xx = ), то и в системе отсчета k
21
′
xx′=
странстве (
) и во времени (
21
отсчета k они происходят в разных местах (
теме отсчета
′
xx′≠
(
′
(
), но не будут одновременны (
21
tt′−
) будет определяться знаком выражения
12
′
k
они также будут пространственно разобщены
′
они будут совпадать в про-
′
tt′=
). Если же в системе
21
xx ≠ ), то в сис-
21
′
tt′≠
). Знак разности
21
()
xxv − . Это
210
означает, что в одних системах отсчета событие 1 будет предшествовать событию 2, в других системах – наоборот. Более
глубокое рассмотрение этого вопроса показывает, что сказанное относится лишь к тем событиям, между которыми отсутствует причинно-следственная связь. События, причинно связанные между собой (например, выстрел и попадание в мишень),
не
будут одновременны ни в одной системе отсчета, и во всех
системах отсчета событие, являющееся причиной, будет предшествовать следствию.
62
2. Длина тел в разных системах отсчета.
Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси x и по-
коящийся относительно системы отсчета
′
′
xxl
−
системе будет равна
стержень движется со скоростью
= . Относительно системы k
120
v . Для определения его дли-
0
′
k
. Его длина в этой
ны в этой системе необходимо отметить координаты концов
стержня
Их разность
и xx в один и тот же момент времени btt ==
21
xxl −= и даст длину стержня, измеренную в
12
21
системе k. Тогда:
bvx
bvx
−
′
x
=
1
01
,
2
v
0
1
−
2
c
′
x
2
−
02
=
1
.
2
v
0
−
2
c
Отсюда:
xx
−
′
′
xx
=
−
12
12
.
2
v
0
−
1
2
c
Или:
2
ll −=
v
1
0
.
2
c
.
(В этой формуле скорость системы отсчета
равную ей скорость
v стержня.)
v заменена на
0
Отсюда следует, что длина стержня l, измеренная в систе-
ме, относительно которой он движется, оказывается меньше
длины
l , измеренной в системе отсчета, относительно которой
0
стержень покоится (собственная длина стержня). В силу равноправности систем отсчета k и k
′
полученные выводы останутся
в силе, если поменять местами системы отсчета. Следует отметить, что в направлении осей y и z размеры стержня одинаковы
во всех системах отсчета.
63
Таким образом, у движущегося тела размеры его в направлении движения сокращаются тем больше, чем значительнее
скорость движения. Это явление называется лоренцовым сокращением. Однако визуально или на фотографии это сокращение даже для тел, скорость которых сравнима со скорость света,
обнаружить невозможно. Наблюдая или фотографируя, мы регистрируем импульсы света
от разных участков тела, которые
достигают сетчатки глаз одновременно. Испускаются же эти
импульсы неодновременно. Импульсы от более удаленных участков были испущены раньше. Таким образом, на сетчатке глаза получается искаженное изображение тела. Расчеты показывают, что вследствие указанного искажения будет компенсировано лоренцово сокращение. Следовательно, тело сферической
формы при
больших скоростях движения будет восприниматься
визуально как тело сферического очертания.
3. Длительность событий в разных системах отсчета.
Рассмотрим точку, неподвижную относительно системы
′
отсчета
ностью
мент времени
чем
k
, в которой происходит некоторое событие длитель-
′
′
=Δ0t
tt
. Координата точки в этой системе в мо-
−
12
′
t
равна
1
′
′
x
=
x
= а. Относительно системы отсчета k точка, в кото-
1
2
′
x
, в момент времени
1
′
t
равна
2
′
x
2
. При-
рой происходит событие, перемещается. В соответствии с преобразованиями Лоренца началу и концу событий в системе k
соответствуют временные координаты:
v
0
′
+
t
1
t
=
1
а
2
c
2
v
0
−
1
2
c
,
t
=
2
v
0
′
+
t
2
а
2
c
.
2
v
0
−
1
2
c
Отсюда:
′
′
−
tt
tt
=−
12
12
.
2
v
0
−
1
2
c
64
Или:
t
Δ
0
t
=Δ
1
(В этой формуле скорость системы отсчета
равную ей скорость
Здесь
.
2
v
−
2
c
v заменена на
0
v частицы.)
tΔ – длительность событий, измеренная по часам
системы, относительно которой движется точка, в которой
происходит рассматриваемое событие. То есть промежуток вре-
мени
tΔ , измеренный по часам, неподвижным относительно
0
точки, где происходит событие, оказывается меньше, чем промежуток времени
tΔ , измеренный по часам, движущимся отно-
сительно этой точки (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого
тела).
Полученное соотношение получило экспериментальное
+
подтверждение. Быстрые частицы, называемые
μ
и
μ
−
-мезо-
нами, образующиеся в результате взаимодействия космических
лучей с верхними слоями атмосферы Земли на высоте 20-30 км,
в значительных количествах достигают поверхности планеты.
Среднее время жизни этих частиц, когда они неподвижны, при-
мерно
6
102−⋅ с. Двигаясь со скоростью света, эти частицы
смогли бы пройти путь, равный 600 м. Тот факт, что экспериментатор наблюдает значительно больший пробег, объясняется
6
тем, что
−
102
⋅ с это собственное время жизни
μ
-мезона. Время,
отсчитанное по часам экспериментатора, находящегося на Земле, оказывается значительно большим. А с позиции наблюдателя, движущегося вместе с мезоном, расстояние, пролетаемое им
до поверхности Земли, сокращается до 600 м, так что мезон ус-
певает пролететь это расстояние за
6
102−⋅ с.
65
6.4. Интервал
Какое-либо событие можно охарактеризовать местом, где
оно произошло (координаты x, y, z), и временем t, когда оно
произошло. Таким образом, указанному событию можно поставить в соответствие четыре числа: x, y, z, t. Введем воображаемое четырехмерное пространство, на координатных осях
которого будем откладывать пространственные координаты и
время. Пусть одно событие имеет
,,, tzyx
гое –
. Величину
2222
2
()( )( )( )
2
12
координаты
2
12
,,, tzyx , дру-
1111
2
12
2
zzyyxxttcS −−−−−−−=Δ
12
называют интервалом между двумя событиями. Введя расстояние между точками обычного двухмерного пространства:
2
zzyyxxl −−−−−=Δ ,
12
и обозначив
()( )()
2
12
2
()
ttt −=Δ , выражение для интервала можно
12
2
12
2
записать:
222
ltcS Δ−Δ=Δ .
Покажем, что величина интервала между двумя событиями инвариантна при переходе от системы к системе (из преобразований Лоренца следует, как мы убедились, что
lΔ или tΔ не
являются таким инвариантом). Запишем квадрат инварианта в
системе к:
22
В системе
()( )( )( )
2
12
′
k
квадрат интервала между теми же события-
2
12
2
12
2
zzyyxxttcS −−−−−−−=Δ .
12
ми равен
22
′
Δ .
()( )( )( )
=
2
′
′
−
12
′
−
2
′
−
12
′
−
2
′
−
12
′
−
2
′
zzyyxxttcS
−
12
Воспользовавшись преобразованиями Лоренца, произведем замену переменных:
66
[
]
()()
2
2
′
c
=
Δ
S
()()
v
0
ttc
12
c
2
1
2
v
0
−
2
c
()()( )()
v
0
tt
12
2
c
2
1
()
−−−
v
0
−
2
c
yy −
12
2
xx
12
–
()
2
2
12
2
xx
−−−
12
2
()
–
()()
[]
zz − =
v
0
−
1
c
()()
[]
–
2
zz −
=
12
−−−
2
1
2
12
2
2
v
0
−
2
c
2
v
xxvttttc
0
12012
2
с
()()()()
2
2
12
2
1
v
0
−
2
c
()
2
zz − =
12
() ()
xx
2
2
12
2
()( )( )( )
v
0
−−
1
2
c
2
v
0
−
1
2
c
2
12
2
2
()
12
2
12
2
−−+
vctt
0
–
2
12
2
−+−−−−
ttvttvxxxx
122012012
()
2
ttvxx
−−−
12012
yy − –
12
-
2
yy − –
12
zz − =
12
2
Szzyyxxttc Δ=−−−−−−− .
–
2
2
2
v
0
−
1
2
c
2
ttvxx
12012
()
–
2
xx
−+−−−−
12
()
–
2
yy − –
()
12
2
12
67
Таким образом, инвариантность интервала доказана.
Если интервал между событиями мнимая величина, то
222222
′
Δ=Δ−Δ ltcltc .
Это означает, что расстояние
в которых происходят события, превышает
′
0
<
Δ−
′
(или
Δ
l
) между точками,
lΔ
tcΔ (или tc′Δ ). Та-
кие события ни в какой системе отсчета не могут влиять друг
на друга и, следовательно, не могут быть причинно связанными
(не существует воздействий, распространяющихся со скоростью, большей с; т.е. это не события типа выстрел – попадание
пули в мишень).
Если интервал вещественный, то
222
0
>Δ−Δ ltc .
′
Δ
Записав
t
, воспользовавшись преобразованиями Ло-
ренца:
v
()()
t′Δ =
0
tt
12
2
c
v
1
−
c
xx
−−−
12
2
0
2
=
v
0
t
1
x
Δ−Δ
2
c
2
v
0
−
2
c
и разделив на tΔ , получим:
v
x
Δ
0
1
−
′
Δtt
=
Δ
Так как для вещественного интервала
2
t
Δ
c
1
−
.
2
v
0
2
c
tcl Δ≤Δ , кроме того
lx Δ≤Δ (мы обозначили
2
zzyyxxl −−−−−=Δ
), то tсx Δ≤Δ .
12
Следовательно,
()( )()
Δ
2
12
не превышает скорости света с, и, незави-
2
12
txΔ
симо от знака
вательно,
xΔ , правая часть равенства больше нуля, следо-
t′Δ и tΔ имеют одинаковые знаки. Это означает, что
во всех системах отсчета событие–причина происходит раньше
события – следствия.
68
6.5. Эффект Доплера
ν
ν
ν<ν
ν
Для световых волн существует эффект Доплера, т.е. изменение частот вследствие движения источника или приемника
света относительно друг друга. Если
′
ме
k
, где находится источник, ν – частота волны в системе k ,
′
частота волны в систе-
то:
v
0
−
11+
c
,
v
0
′
ν
=
c
v – скорость источника по отношению к приемнику. На-
где
0
пример, при удалении источника
v >0 и
0
′
. Это так назы-
ваемый продольный эффект Доплера. Из релятивистской механики следует, что существует поперечный эффект Доплера. Он
заключается в уменьшении принимаемой приемником частоты
в том случае, когда вектор относительной скорости направлен
перпендикулярно прямой, проходящей через приемник и источник. В этом случае
2
v
′
1
=
−
ν
.
2
c
6.6. Релятивистская динамика
1. Преобразование скоростей.
Компоненты скорости частицы в системе
k и k
′
опреде-
ляются выражениями:
dx
, … (аналогично для остальных компонент)
=
v
x
dt
′
xd
′
v
′
x
,… (аналогично для остальных компонент).
=
′
td
69
Из этих определений на основании преобразований Ло-
α
α
α
ренца можно получить формулы, связывающие компоненты
скоростей в системах
движется параллельно осям
k и k
′
. В частном случае, когда частица
′
xx
и
в направлении скорости
v ,
0
формула для преобразования скоростей имеет вид:
′
vv
+
v
=
0
.
′
vv
0
1
+
2
c
Эта формула представляет собой закон сложения скоро-
′
стей. Если cv =
v =
=
+
, то
vc
+
0
c
.
2
ccv
/1
0
Естественно, мы получили результат, который заложен в
преобразования Лоренца: скорость света в вакууме одинакова
во всех системах отсчета.
Пусть
′
cv =
, а где,
−= cv – сколь угодно малая
0
величина. Подстановка этих значений в закон сложения скоростей дает:
()
сc
v =
=
−+
()
−+
/1
α
c
.
2
ccс
То есть результирующая скорость не может превысить с.
2. Релятивистский импульс.
Выражение для релятивистского импульса находится из
условий:
а) при малых скоростях релятивистское выражение для
импульса должно переходить в ньютоновское выражение
rd
mvmp
== ,
dt
где m – масса тела, v – его скорость;
б) закон сохранения импульса должен соблюдаться во всех
системах отсчета.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]