Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Абсолютно неупругий удар.
После удара тела движутся с одинаковой скоростью
v
В соответствии с законом сохранения импульса, импульс шаров
до удара будет равен их импульсу после удара.
.
()
vmmvmvmvmvm
+=+=+ .
2121202101
Отсюда
vmvm
v
=
+
202101
.
mm
+
21
Абсолютно упругий удар.
После удара скорости шаров
,vv
.
21
На основании законов сохранения механической энергии и
импульса:
+
=
2
vm
2
vm
202
=
202
2
vm
11
+
2
+
vm
11
2
vm
22
,
2
vm
.
22
2
vm
101
2
+
vm
101
Мы получили два уравнения с двумя неизвестными. Решая
эти уравнения, получим значения скоростей тел после удара:
2
v
=
1
2
v
=
2
()
mm
+
()
mm
+
vmmvm
−+
21
−+
1021202
vmmvm
2012101
21
,
.
Рассмотрим частные случаи.
а) Пусть массы шаров равны:
vv
= ,
201
vv
= . То есть шары после удара обмениваются ско-
102
mm = . В этом случае
21
ростями.
б) Столкновение со стенкой. В этом случае масса стенки
бесконечно большая. Разделив числитель и знаменатель в вы-
ражении для скорости на
m
и пренебрегая членами с множи-
2
31
m
телем
скорость стенки останется неизменной. Если стенка неподвижна (
воположное (
m
=v
20
1
, получим
2
0
), то скорость шара меняет направление на проти-
vv
−= ).
101
2 vvv
−= ,
10201
vv
= . Таким образом,
202
4. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
4.1. Силы инерции
Как отмечалось в разделе 2, законы Ньютона справедливы
только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех
инерциальных систем (они движутся относительно друг друга
прямолинейно и равномерно) тело обладает одинаковым ускорением
ся относительно инерциальной с некоторым ускорением, то ускорение
a
. Поскольку неинерциальная система отсчета движет-
′
a
тела в неинерциальной системе будет отлично от a.
Пусть разность ускорений тел в инерциальной и неинерциальной системах отсчета будет
- a
′
=
a
.
0
a
a
. Тогда:
0
Если тело в инерциальной системе отсчета движется под
действием результирующей силы
f
, то
f
a
. В этом случае
=
m
a
И если равнодействующая всех сил равна нулю, то тело
имеет ускорение -
′
= a-
a
= −
0
f
a
.
0
m
a
, т.е. словно на него действует сила -m
0
a
0
Таким образом, при описании движения в неинерциальной системе отсчета уравнения динамики останутся справедливыми,
если наряду с силами, обусловленными действием тел друг на
друга, учитывать так называемые силы инерции
f
, которые
in
.
32
следует полагать равными произведению массы тела на взятую
P
P
с обратным знаком разность его ускорений в инерциальной и
неинерциальной системах отсчета:
f
in
= -m(
′
a
a
-
) = -m
a
.
0
Тогда в неинерциальной системе отсчета второй закон
Ньютона имеет вид:
′
m
a
=
f
+
f
.
in
Таким образом, в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями движения в привычном виде,
введя в уравнения силы инерции. Задачу можно решить в инерциальной системе отсчета и не вводя сил инерции. Однако
часто в неинерциальной системе отсчета задача решается
проще.
Рассмотрим несколько примеров.
а) Тележка с кронштейном, на котором
груз массой m, движется с ускорением
на нити подвешен
a
. Нить отклонится от
0
вертикали на некоторый угол таким образом, чтобы результи-
рующая силы тяжести
жение груза с ускорением
и реакции нити
a
. Задачу можно решить в инерци-
0
f
обеспечивала дви-
r
альной системе отсчета. Уравнение движения груза будет выглядеть:
= m
a
.
0
f
+
P
r
В неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой,
отсутствие ускорения тела можно формально объяснить тем,
что кроме сил
f
= – m
in
где
a
f
+
r
f
in
f
и
на тело действуют еще и силы инерции
P
r
. Уравнение движения запишется:
0
+
f
= 0,
in
= – m
a
.
0
Для ускорения тела получим одинаковые выражения, решая задачу как в инерциальной, так и неинерциальной системе
отсчета.
33
б) Центробежная сила инерции. Рассмотрим диск, вра-
ω
ω
ω
щающийся с угловой скоростью
. Вместе с диском вращается
пружина, закрепленная в центре диска, на конце которой находится шарик массой m. Шарик занимает такое положение, при
котором реакция пружины
f равна произведению его массы
r
на центростремительное ускорение. В инерциальной системе
отсчета уравнение Ньютона можем записать:
ω
2
R.
f = m
r
В неинерциальной системе отсчета, связанной с диском:
f +
f =0,
r
in
где
f = – m
in
2
ω
R направлена вдоль радиуса от центра диска.
Силу инерции, возникающую во вращающейся системе
отсчета, называют центробежной силой инерции. В нашем случае центробежная сила инерции направлена от центра и по модулю равна
f = m
цб
ω
2
R.
в) Сила Кориолиса возникает во вращающейся системе отсчета при движении тела относительно этой системы. Рассмотрим диск, по которому от центра к периферии катится шарик.
Если диск неподвижен, траектория шарика на диске является
прямой линией. Приведем диск во вращение. В этом случае
шарик по отношению к лаборатории будет по-
прежнему двигаться прямолинейно. Но по отношению к вращающемуся диску его траектория искривляется. Во вращающейся системе ша-
рик ведет себя так, словно на него действует сила
f , перпенди-
k
кулярная к скорости шарика (так как она не меняет скорости
шарика). Эта сила и есть кориолисова сила инерции. В общем
случае для силы Кориолиса получается выражение
= vmf
2 ,
k
′
v
где
счета,
– скорость тела относительно вращающейся системы от-
– угловая скорость вращающейся системы (в формулу
′
[]
×
эти величины входят в виде векторного произведения).
34
Из-за вращения Земли на тела, движущиеся относительно
r
ее поверхности, действует сила Кориолиса. Например, при свободном падении тел влияние силы Кориолиса приводит к их
отклонению к востоку от линии отвеса. Сила Кориолиса действует на тело, движущееся вдоль меридиана, и направлена по
отношению к движению вправо в Северном полушарии и
влево
в Южном полушарии. Влияние силы Кориолиса следует учитывать при стрельбе из орудий и т.п.
4.2. Закон всемирного тяготения
Между материальными телами существует взаимное гравитационное притяжение. Закон, которому подчиняется это
взаимодействие, был установлен Ньютоном. Для материаль-
ных точек он формулируется:
Сила гравитационного притяжения тел прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
mm
f
γ
= .
Коэффициент пропорциональности
ционной постоянной.
Сила притяжения направлена вдоль прямой, проходящей
через взаимодействующие тела.
Для определения сил притяжения тел, которые не могут
рассматриваться как материальные точки, их следует разделить
на элементарные массы dm, которые можно принять за материальные точки. Затем провести суммирование всех сил (задача
сводится к векторному интегрированию). Доказано,
однородных шаров или шаровых оболочек силу притяжения можно рассчитывать как для материальных точек. Под r
следует понимать расстояние между центрами шаров (или оболочек).
Значение гравитационной постоянной определялось по
силе притяжения тел известной массы. В настоящее время наи-
21
2
γ
называется гравита-
что для
35
более точным из определенных различными методами значений
R
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
α
считается
γ
= 6,672 кгмН /10
211⋅⋅−
.
4.3. Зависимость ускорения силы тяжести
от широты местности
При рассмотрении движения тел относительно Земли не-
обходимо учитывать центробежную силу инерции
f = m
in
где r – расстояние тела до земной оси. Если высота тела над поверхностью Земли невелика, то r =
ли,
– широта местности. Наблюдаемое относительно Земли
ускорение свободного падения тел
действием силы тяготения
f
и центробежной силы инерции
g
cos
⋅ , зR – радиус Зем-
з
g
обусловлено суммарным
(эта суммарная сила P называется силой тяжести).
r
ω
2
f
r,
in
f
in
R
з
f
g
P
Так как центробежная сила инерции зависит от широты
местности
колеблется в пределах от нуля (на экваторе и полюсах) до 6 ми-
, то уголα между силой тяготения и силой тяжести
36
нут на широте 450, а значение ускорения силы тяжести g не-
g
много меняется при изменении широты местности. На значение
g
влияет также тот факт, что Земля по форме не является точ-
м
на полю-
2
меня-
ным шаром. В силу этих причин численное значение
ется с широтой от 9,780
сах. Значение g = 9,80665
м
на экваторе до 9,832
2
с
м
принято в качестве стандартного
2
с
с
значения.
4.4. Масса инертная и масса гравитационная
Масса фигурирует в двух различных законах: во втором
законе Ньютона (характеризует инертные свойства вещества) и
в законе всемирного тяготения (характеризует способность тел
к взаимному притяжению). Поскольку это совершенно различные свойства, то, естественно, возникает вопрос, следует ли
различать инертную массу
Для ответа на этот вопрос рассмотрим в гелиоцентрической
системе отсчета свободное падение тел. Тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле:
m и гравитационную массу
in
m
.
g
Mm
γ
= ,
f
М и зR – гравитационная масса и радиус Земли.
где
з
Под действием этой силы тело приобретает ускорение
а
g
Из экспериментального факта, что
зg
2
R
з
f
γ
== .
m
in
М
R
a
g
m
g
з
2
m
in
з
g
для всех тел в дан-
ной точке Земли равны по величине и по направлению, следует,
a
что и ускорение
всех тел, вызываемых силой тяготения,
g
37
также равны в этой точке (
g
равны
сosα) для всех тел. Множитель
для всех тел. Следовательно, и отношение
a
направлены к центру Земли и
g
М
з
γ
также одинаков
2
R
з
m
g
оказывается для
m
in
всех тел одинаковым. Равенство инертной и гравитационной
масс многократно проверялось экспериментально. В настоящее
12
−
10
время оно подтверждено с относительной точностью
. Та-
ким образом, опыт подтверждает, что инертная и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу. Это
позволяет при надлежащем выборе единиц измерения гравитационную и инертную массы сделать тождественными и не делать между ними различия, поэтому в физике говорят просто
о массе.
4.5. Законы Кеплера
Основанием для
установления закона всемирного тяготе-
ния Ньютону послужили три открытых Кеплером закона движения планет:
1) Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
2) Радиус-вектор планеты описывает за равные времена
одинаковые площади.
3) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца
относятся как кубы больших полуосей орбит.
Первый закон
Кеплера указывает, что планеты движутся в
поле центральных сил. Для простоты выкладок траектории планет будем считать окружностями (практически траектории всех
планет мало от них отличаются). Ускорение планеты
2
v
a
= ,
r
38
здесь v – скорость движения планеты, r – радиус орбиты. Так
π
r
r
2
как
v
r
=
, где Т – период обращения планеты вокруг Солн-
T
ца, то
2
4Tr
aπ= .
2
Отношение сил, действующих на планеты со стороны
Солнца:
2
f
1
f
2
am
11
== .
am
22
По третьему закону Кеплера
m
f :
f = .
1
1
2
2
r
1
Trm
211
2
Trm
122
2
3
r
T
2
2
= , тогда
2
3
r
T
1
1
m
2
:
2
r
2
Таким образом, сила, с которой планета притягивается к
Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату расстояния до Солнца:
m
.
kf =
2
Предположив, что k пропорционально массе Солнца, Ньютон получил закон всемирного тяготения:
mm
f
γ
= .
21
2
Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса (с. 52). Действительно, площадь, описываемая радиус-вектором планеты, равна площади треугольника:
39
l
vdt
dS
C
1
dtvldS ⋅⋅=
,
2
где l – высота треугольника. Умножив и разделив на массу
планеты
m
dS ⋅⋅=
2
m
где L= mvl – момент импульса планеты.
Отсюда
dS
dt
Момент импульса планеты в поле центральных сил оста-
ется постоянным следовательно
L
= .
m
2
L
=
dtvl
,
dt
2
m
dS
=
. То есть за равные
const
dt
промежутки времени радиус вектор планеты будет описывать
одинаковые площади.
4.6. Космические скорости
Для того чтобы двигаться вокруг Земли по круговой орбите с радиусом, мало отличающемся от радиуса Земли,
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]