Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основные законы физики и их изучение в лабораторных работах. Механика и молекулярная физика. Учебное пособие
.pdf
Для моля идеального газа pRTV
μ
μ
M
/= , продифференци-
ровав по T в предположении, что p=const, получим
V
∂
M
T
∂
R
=
p
.
p
Подставив в предыдущее уравнение, получим
RCC
+= .
Vp
Отношение теплоемкостей:
С
p
γ
C
V
== 1
C
V
R
=
1−
γ
RC
+
V
C
R
+=
;
C
VV
.
Подставим выражение для
энергии моля идеального газа ( TCU
U
RT
=
M
.
1−
γ
C в формулу для внутренней
V
= ):
VM
Получим выражение для внутренней энергии произвольной массы идеального газа, для чего умножим обе части равенства на
/m
и учтем, что
=
11−
γ
pVU
.
pVRTm =)/(
:
10.10. Уравнение адиабаты и политропы
для идеального газа
При любом равновесном процессе газ подчиняется уравнению состояния. В ходе некоторых процессов газ подчиняется
также некоторому дополнительному условию, например, остается постоянным объем газа (изохорический процесс) или дав-
ление (изобарический процесс). Если в ходе процесса остается
постоянной температура, то процесс называется
изотермиче-
121
ским. Для изотермического процесса уравнение состояния иде-
ального газа
m
рVμ=
RT
позволяет сделать вывод, что в этом случае
pV = const.
Это выражение называется уравнением изотермы.
Процесс, протекающий без теплообмена с окружающей
средой, называется адиабатическим. Для получения уравнения
адиабаты воспользуемся первым началом термодинамики:
′
pdVdUQd +=
.
Так как
m
U
= ,
TC
V
μ
то
m
dU
= .
Для адиабатического процесса
dTC
V
μ
′
0=
Qd , тогда
m
μ
V
0=+ pdVdTC
.
Подставим сюда значение p из уравнения состояния идеального газа:
р
RTm
= .
V
μ
Получим
RT
dTC
V
V
,
0=+ dV
или
dV
dT
R
C
T
V
0=+
.
V
122
Это уравнение можно записать как
γ
γ
R
Td
+ V
C
,
0lnln =
V
отсюда следует, что
ln ln .
C
V
Воспользовавшись выражением для
C
R
=
V
,
1−
γ
C
V
R
T V const
+=
получим
()
constVT =−+ ln1ln
.
Потенцируя, получим уравнение адиабаты в переменных
T и V:
−1
γ
constTV =
.
Заменив в этом выражении Т из уравнения состояния
идеального газа
T
pVm
= ,
R
μ
получим уравнение адиабаты в переменных p и V:
γ
constpV =
.
Из сопоставления с изотермой следует, что на графике
в p-V координатах адиабата при уменьшении объема опускается круче, чем изотерма (так как
)1>
.
При выводе уравнений мы предполагали, что в каждый
момент времени состояние газа характеризуется определенными значениями параметров, иными словами, процесс является
равновесным, т.е. очень медленным. Вместе с тем количество
теплоты, которым обменивается тело с окружающей средой,
будет тем меньше, чем быстрее протекает процесс. Так как совершенно не проводящих
теплоту тел в природе нет, реально
провести адиабатический процесс можно только очень быстро.
123
Это противоречие приводит к тому, что в реальных условиях
газы следуют уравнению адиабаты не совсем точно.
Политропическим называются процессы, в ходе которых
теплоемкость тела остается постоянной. Таким образом, при
политропическом процессе кроме уравнения состояния газ подчиняется дополнительному условию:
C = const.
Можно показать, что уравнение политропы записывается в
виде:
constpVn= ,
где
CC
−
P
n
=
.
CC
−
V
Рассмотренные в этом параграфе процессы являются политропическими. Для изобарического процесса n = 0, для изохорического процесса n = ∞ (это легко понять, извлекая корень
n-й степени из уравнения политропы и устремляя n → ∞). При
n = 1 получается уравнение изотермы, когда n = γ имеем урав-
нение адиабаты.
10.11. Работа, совершаемая идеальным газом
при различных процессах
Работа, совершаемая в ходе равновесного процесса из со-
стояния 1 в состояние 2, вычисляется путем интегрирования:
V
2
=
12
Изохорический процесс:
Изобарический процесс:
)(
V
dVVpA .
1
0
=A , (так как dV = 0).
12
)(
VVpA −= , (так как p =
1212
const).
Изотермический процесс. Заменим давление в формуле
для вычисления работы через другие величины, используя
уравнение состояния идеального газа:
124
V
μ
μ
2
RTm
A
12
V
1
dV
V
m
RT
V
2
dV
=== .
V
V
1
m
μμμ
RT
ln
V
2
V
!
Адиабатический процесс. Можно показать, что работа в
этом процессе вычисляется по формулам:
−1
γ
VVp
A
=
12
1
−
1
γ
−
V
111
2
или
−1
γ
VmRT
=
A
12
()
γμ
−
1
−
1
V
11
.
2
10.12. Барометрическая формула
Получим зависимость p(h) атмосферного давления от высоты. Известно, что давление убывает с высотой. Убыль давления при переходе от высоты h к высоте h+ dh равна весу воздуха, заключенного в элементе столба высоты dh:
-dp =
ρ
gdh,
ρ
– плотность воздуха на высоте h.
где
При условиях, близких к нормальным, воздух довольно
хорошо подчиняется уравнению состояния идеального газа. Из
этого уравнения получим выражение для плотности:
m
ρ
V
Подставив значение
dpμ−= .
p
== .
RT
pg
dh
ρ
в предыдущее уравнение, получим
RT
Разделив переменные, получим дифференциальное уравнение:
dp
p
g
dh
−= .
RT
125
Для случая, когда температура с высотой не меняется, ин-
μ
тегрирование дает выражение:
p lnln +−=
gh
C
.
RT
Потенцируя это соотношение, получим
μ
gh
Cp
−=
exp .
Положив h = 0, получим, что
ное давление на высоте, принятой за начало отсчета. Таким образом, получим зависимость давления от высоты в виде:
pp
которая называется барометрической формулой.
В реальности температура атмосферы меняется с высотой,
однако относительное изменение температуры (по сравнению с
температурой, равной примерно 300 К) с высотой не очень велико, и полученная формула позволяет довольно точно определять высоту, измеряя давление (приборы для измерения высоты
по этому принципу называются альтиметрами).
Поведение реальных газов хорошо описывается уравнением:
только при малых плотностях (малых давлениях) и достаточно
больших температурах. С повышением давления и уменьшением температуры наблюдаются значительные отступления от
уравнения состояния идеального газа.
Для описания поведения реальных газов было предложено
много уравнений. Наиболее простым, но дающим достаточно
хорошие результаты, является уравнение Ван- дер-Ваальса:
p
+
exp
0
10.13. Ван-
RTpVM=
a
()
2
V
M
RT
pC = , где 0p – атмосфер-
0
μ
gh
RT
,
дер-ваальсовский газ
.
RTbV
=−
−=
M
126
Здесь a и b – константы Ван-дер-Ваальса, имеющие для
разных газов различные значения, определяемые опытным
путем.
В реальных газах при больших плотностях молекулы находятся близко друг к другу и между ними действуют силы
взаимного притяжения. Газ как бы сжимается большим давлением, чем давление p, оказываемое газом на стенки
правка
a
учитывает эту добавку к внешнему давлению.
2
V
M
сосуда. По-
Так как молекулы обладают конечным объемом, то пространство, доступное для движения молекул, оказывается
меньшим, чем объем сосуда. Поправка b учитывает ту часть
объема, которая недоступна для движения молекул.
Для произвольной массы газа m следует учесть, что
ν
лей газа при тех же условиях занимают в
VVν= . Заменив MV на V/
M
2
p =
+
ν
V
a
−
2
ν
V
ν
, получим
.
RTb
Умножив это уравнение на
2
′
=
′
bbaa
νν
=
,
, получим уравнение Ван-дер-Ваальса для ν
раз больший объем:
ν
и обозначив
ν
мо-
молей:
′
a
p
+
2
V
′
()
−
RTbV
ν
=
.
Реальные газы следуют уравнению Ван-дер-Ваальса лишь
приближенно. Воображаемый газ, точно следующий приведенному уравнению, называется ван-дер-ваальсовским.
Внутренняя энергия ван-дер-ваальсовского газа. Взаимо-
действие молекул реального газа обуславливает их взаимную
потенциальную энергию, которая входит во внутреннюю энергию наряду с кинетической энергией. Для одного моля газа
EEU += .
pkM
Кинетическая энергия моля газа равна
TCЕVk= .
127
При расширении газа должна быть совершена работа против сил притяжения между молекулами. Эта работа идет на
увеличение потенциальной энергии системы (т.е. приращение
потенциальной энергии будет больше нуля). Для моля газа она
равна
dVpdA = ,
Mi
где
p – внутреннее давление, равное в случае ван-дер-
i
a
ваальсовского газа
.
2
V
M
Приравняв dA приращению взаимной потенциальной
энергии молекул
dVpdE
, получим
dE
p
a
== .
Mip
2
V
M
dV
M
Интегрируя, получим
a
E
p
V
M
const
+−= .
Постоянная интегрирования выбирается из условия, что
при стремлении объема к бесконечности силы взаимного при-
тяжения молекул стремятся к нулю, поэтому,
0=
E . Следова-
p
тельно, const = 0.
Таким образом, внутренняя энергия одного моля ван-дер-
ваальсовского газа будет равна
a
TCU −=
VM
Внутренняя энергия
ν
V
Здесь
′
.
V
M
ν
молей будет в ν раз больше:
′
a
−=
.
V
2
,
VVaa
νν
==
.
M
128
11. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ
K
K
K
ТЕОРИЯ ГАЗОВ
11.1. Давление газов
Простейшая модель поведения газа предполагает, что газ
представляет собой совокупность одинаковых молекул, движущихся хаотически и не взаимодействующих друг с другом на
расстоянии. Размеры молекул столь малы, что их суммарным
объемом можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда, в
котором газ находится. Большую
жется свободно, претерпевая иногда упругие соударения с другими молекулами и со стенками сосуда. Эта модель справедлива лишь для идеального газа, к которому более или менее приближаются реальные газы.
При ударе о стенку молекула сообщает ей некоторый импульс. Элемент поверхности
ный импульс
на стенку, равна
Δ
как
бранной оси движется N/3, причем половина, т.е. N/6, движется
к
имеют одинаковые скорости v. При упругом ударе о стенку
приращение количества движения молекулы равно
ленный по нормали к стенке.
ченные в объеме
/ tΔ SΔ .
Предположим, что из общего числа молекул N вдоль вы-
SΔ . Для простоты будем также считать, что все молекулы
Соответственно стенка получает импульс
За время
Δ , нормальный к SΔ . Тогда сила, действующая
Δ / tΔ , а давление газа на стенку определится
vmvmvm
2)( −=−− .
tΔ до площадки SΔ долетят молекулы, заклю-
SΔ v tΔ . Их число равно
1
tSvnN ΔΔ=Δ
,
часть времени молекула дви-
SΔ за время tΔ получает суммар-
vm2 , направ-
6
где n – число молекул в единице объема.
Умножив число ударов, произведенных этими молекулами, на импульс, сообщаемый каждой молекулой при ударе, по-
129
лучим суммарный импульс, сообщаемый элементу стенки SΔ
за время
tΔ
:
1
⋅=Δ mvK 2
6
1
tSvn ΔΔ
= tSnmv ΔΔ
3
2
.
А давление газа на стенки сосуда:
Δ
p =
=
St
ΔΔ
3
nmv
2
,
1
K
или
2
mv
2
np =
.
23
Более строгие вычисления, в которых учитывается тот
факт, что молекулы имеют разные скорости и двигаются хаотически, приводят к выражению, в которое входит среднее значе-
2
ние квадрата скорости молекул
2
vm
2
np =
,
v
:
23
т.е. вместо одинаковой для всех молекул энергии, в него входит
2
vm
средняя энергия
.
2
(Вычисления, учитывающие распределение молекул газа
по скоростям и направлениям, показывают, что численный коэффициент в выражении для число ударов молекул
1
вместо
4
1
, а сообщаемый стенке импульс равен mv
6
NΔ равен
4
3
вместо 2mv. При вычислении давления эти отличия взаимно
компенсируются и получается правильный результат.)
Приведенное выражение раскрывает физическую сущность давления газа: Давление равно двум третям кинетиче-
ской энергии поступательного движения молекул, заключенных
в единице объема.
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]