Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
Представим выражения (4.15) и (4.16) в дифференциаль-
0
lim [(
S→
∫
В
хуz
xyz
еее
хyz
BBB
∇× =∂∂ ∂∂ ∂∂В
ной форме. С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора B к площади S, ограниченной контуром. Оказывается, такое отношение стремится к некоторому пределу
при S → 0, и этот предел зависит от ориентации контура
в данной точке пространства. Ориентация контура задается
вектором n нормали к плоскости контура, при этом направление n связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину. Данная величина ведет себя как проекция некоторого вектора на направление
нормали n к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля B и обозначают символом rot B. Таким образом,
d )/S] = (rot B)n, (4.17)
справа стоит проекция вектора rot B на нормаль n.
Итак, в каждой точке векторного поля B имеется вектор
rot B. Направление и модуль описываемого вектора связаны
со свойствами самого поля в данной точке. Направление вектора rot B определяется тем направлением нормали n площадки S, при котором достигается максимальное значение вели-
чины (4.17), являющееся одновременно модулем вектора rot B.
В математике получают выражение для rot B в координатном представлении. Для наших целей важно другое:
оказывается, формально rot B можно рассматривать как
векторное произведение оператора ∇ на вектор B, т. е. как
∇ × B. Ипользование последнего, более удобного обозначения сразу же позволяет записать векторное произведение
∇ х B с помощью определителя:
, (4.18)
81
где ех, еу, еz – орты осей декартовых координат. Данное вы-
0
lim [(
S→
∫
В
0
∇× =µВj
0∇× =Е
[]d dV=ρF uB
=ρju
[]d dV=F jB
ражение справедливо не только для ротора поля B, но и для
любого другого векторного поля, в частности для поля E.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора B.
Согласно (4.17), уравнение (4.16) можно представить в виде
d )/S] = µ0jn,
или (∇ × B) = µ
. Отсюда
0jn
.
(4.19)
Это и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора B. Видно, что ротор поля B совпадает по направлению с вектором j – плотностью тока в данной точке,
а модуль ∇ × B равен µ
j.
0
В электростатическом поле циркуляция вектора E рав-
на нулю, поэтому
.
(4.20)
Векторное поле с ротором, всегда равным нулю, является потенциальным, в противном случае поле считается соленоидальным. Значит, электростатическое поле есть поле
потенциальное, магнитное же поле – соленоидальное.
4.4.3. Действие магнитного поля на проводник с током
Магнитное поле действует с определенной силой на
проводник с током, по которому движутся носители заряда.
Выделим мысленно элемент объема dV проводника,
имеющий заряд ρdV. Тогда сила, действующая на элемент
dV проводника, может быть записана согласно (4.1):
но
, поэтому
Если ток течет по тонкому проводнику, то jdV = I d и
dF = I[d , B]. (4.22)
82
,
. (4.21)
Здесь d – вектор тока на элементе длины проводника. Фор-
0
( /2 ) / ( )Ir r a=µ π ≥В
мулы (4.21), (4.22) иногда называют законом Ампера, а силы –
силами Ампера. Интегрируя (4.21) и (4.22), получаем силу,
действующую на объем проводника или на его магнитный
участок.
4.5. Применения теоремы о циркуляции вектора B
Пример 1. Магнитное поле прямого тока. Пусть по-
стоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого
провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию B поля снаружи и внутри провода.
Из симметрии задачи следует, что линии вектора B
в данном случае должны иметь вид окружностей с центром
на оси провода, причем с одинаковым модулем вектора B
во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по
теореме о циркуляции вектора B для круглого контура Г
(рис. 4.2) [1]
1
В⋅2πr = µ
I,
0
откуда можно сделать вывод о том, что вне провода
.
Заметим, что решение этого вопроса непосредственно
(с помощью закона Био – Савара) оказывается гораздо более сложным.
Рис. 4.2 Рис. 4.3
83
Внутри провода, согласно симметрии, линии векто-
2
0
( /2 ) / ( )В Ir a r a=µ π ≤
ра B являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора B для B круглого контура Г2 (рис. 4.3)
[1] В⋅2πr = µ0Ir, где Ir = I(r/а)2 – ток, охватываемый данным контуром. Отсюда находим, что внутри провода
.
(4.23)
Зависимость В(r) показана на рис. 4.3.
Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция В
определяется формулой (4.22), а внутри магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы
о циркуляции вектора B.
Пример 2. Магнитное поле соленоида. Пусть ток I те-
чет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида
приходится n витков проводника. Если шаг винтовой линии
достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Предположим также, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. Как показывают опыт и расчет, чем длиннее соленоид, тем меньше
индукция магнитного поля снаружи его. Для бесконечно
длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует
вообще.
Из симметрии задачи ясно, что линии вектора B внутри
соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор B составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую
систему.
Поскольку нами выяснена
конфигурация магнитного поля
соленоида, необходимо выбрать
прямоугольный контур по аналогии с показанным на рис. 4.4 [5].
Рис. 4.4
Циркуляция вектора B по данно-
84
му контуру равна В , и контур охватывает ток n I. Согласно теореме о циркуляции, В = µ
n I, откуда следует, что
0
внутри длинного соленоида
В = µ
nI, (4.24)
0
т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но
этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение
n называют числом ампер-витков. При n = 2000 витков/м
и I = 2 А магнитное поле внутри соленоида В = 5 мТл.
Пример 3. Магнитное поле тороида. Тороид представ-
ляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму
тора (рис. 4.5) [5].
С учетом симметрии нетрудно понять, что линии век-
тора B должны быть окружностями, центры которых расположены на оси ОО′ тороида, поэтому в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.
Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток NI, где N – число витков в тороидальной катушке; I –
ток в проводе.
Пусть радиус контура r, тогда по теореме о циркуляции
В⋅2πr = µ
В = (µ
nI, откуда следует, что внутри тороида
0
/2π)NI/r. (4.25)
0
Как видно из сравнения (4.25) с (4.22), внутри тороида магнитное поле совпадает с полем прямого тока NI, текущего
вдоль оси ОО′. Устремив N и радиус тороида R к бесконечности
(при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (4.24) для магнитного поля
бесконечно длинного соленоида.
Если выбранный нами круглый
контур проходит вне тороида, токов он не охватывает, поэтому
Рис. 4.5
85
для такого контура В⋅2πr = 0. Таким образом, вне тороида
магнитное поле отсутствует.
В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т. е. в плоскостях, проходящих через ось ОО′ тороида. У реального
тороида линии тока (витки) не лежат строго в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси ОО′.
Эта составляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока.
Пример 4. Магнитное поле плоскости с током. Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой
течет равномерно распределенный ток одного направления.
На рис. 4.6 [5] показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено крестиками).
Введем понятие линейной плотности тока как вектора I,
направленного вдоль линий тока. Модуль этого вектора
представляет собой ток, приходящийся на единицу длины,
которая играет роль «поперечного сечения».
Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити, нетрудно сообразить, что результирующее поле B будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости – вниз, слева – вверх (рис. 4.6). Эти направления легко
установить по правилу правого винта.
Для определения индукции поля B воспользуемся теоремой о циркуляции вектора B. Зная, как расположены
в этом случае линии вектора B, выберем
контур в виде прямоугольника 1 2 3 4 (рис.
4.6). Тогда по теореме о циркуляции 2В =
µ0i , где – длина стороны контура, па-
раллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим
86
Рис. 4.6
В = 1/2µ
i. (4.26)
0
Как видно из формулы, магнитное поле
с обеих сторон плоскости является однородным. Этот результат справедлив и для
ограниченной плоскости с током, но лишь для точек вблизи
0
12
ед
24II
F
b
µ
=
π
плоскости и удаленных от ее краев.
Результаты, полученные в рассмотренных примерах,
можно было бы найти и непосредственно с помощью закона Био–Савара, однако теорема о циркуляции позволяет
сделать это значительно проще и быстрее.
Пример 5. Сила взаимодействия параллельных токов. Найти амперову силу, с которой взаимодействуют
в вакууме два параллельных бесконечно длинных провода
с токами I1 и I2, если расстояние между проводами равно b.
Расчет силы произведем на единицу длины этой системы.
Каждый элемент тока I2 находится в магнитном поле
тока I
, а именно в поле В1 = (µ1/4π)2I1/b согласно (4.23). Угол
1
между элементом тока I2 и вектором B прямой, поэтому, как
следует из формулы (4.22), на единицу длины проводника
с током I
действует сила Fед = I2В1, или
2
.
(4.27)
Для силы, действующей на единицу длины проводника
с током I
, получается, разумеется, то же выражение.
1
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные отталкиваются. Здесь речь идет только
о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме
магнитной имеется еще и электрическая сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников.
Поэтому, если говорить о полной силе взаимодействия между проводами, она может быть как силой притяжения, так
и силой отталкивания – все зависит от соотношения магнитной и электрической составляющих полнoй силы.
4.6. Сила, действующая на контур с током
Результирующая амперова сила, которая действует на
контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (4.20):
87
[]Id=∫F IB
d∫I
m
IS=pn
m
p
n
∂
=
∂
В
F
/ n∂∂В
, (4.28)
где интегрирование проводится по данному контуру с током I.
Если магнитное поле однородно, вектор B можно вынести из-под интеграла и задача сведется к вычислению векторного интеграла
. Этот интеграл представляет собой
замкнутую цепочку элементарных векторов dI, поэтому он
равен нулю. Значит, и F = 0, т. е. результирующая амперова
сила равна нулю в однородном магнитном поле.
Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (4.27) отлична от нуля и в каждом конкретном
случае определяется с помощью выражения (4.28). Для
дальнейшего рассмотрения особенно интересен случай,
когда контур с током плоский и его размеры достаточно
малы. Такой контур с током называют элементарным, и его
поведение удобно описывать с помощью магнитного момента pm. По определению
, (4.29)
где I – ток; S – площадь, ограниченная контуром; n – нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта (рис. 4.7). В
магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом p
Расчет по формуле (4.28) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей
на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле:
– модуль магнитного момента кон-
m
– производная вектора B по на-
Рис. 4.7
Здесь p
тура;
правлению нормали n или по направлению
88
.
m
. (4.30)
вектора pm. Последнее выражение аналогично силе, дей-
/ n∂∂В
[, ]d=∫М rF
m
[]=М pВ
m
IS=pn
m
Id=
∫
pS
ствующей на электрический диполь в электрическом поле.
Из формулы (4.30) видно, что в случае электрического
диполя:
1) в однородном магнитном поле F = 0, так как
= 0;
2) направление вектора F не совпадает ни с вектором
B, ни с вектором p
; вектор F совпадает лишь с направле-
m
нием элементарного приращения вектора B, взятого в на-
правлении вектора pm в месте расположения контура.
4.7. Момент сил, действующих на контур с током
Рассмотрим плоский контур с током I в однородном
магнитном поле B. Как описано выше, результирующая
сила, действующая на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. По законам механики известно,
что если результирующая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют моменты
этих сил. В нашем случае можно говорить о результирующем моменте амперовых сил.
По определению результирующий момент амперовых
сил
. (4.31)
При выполнении расчета по формуле (4.31) он довольно
громоздок и мало интересен, поэтому здесь не приводится.
Оказывается, что для произвольной формы контура с током
этот момент сил можно представить как
где p
– магнитный момент контура с током, для плоского
m
контура
момент
. Если виток не плоский, его магнитный
, при этом интеграл берется по поверх-
, (4.32)
ности S, натянутой на контур с током. Этот интеграл не за-
89
висит от выбора поверхности S, на него оказывает влияние
А Idδ= Φ
только контур, на который она натянута.
Из (4.32) видно, что момент M амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле,
перпендикулярен как вектору pm, так и вектору B. Модуль
вектора M равен М = рmB sin α, где α – угол между векторами pm и B. В тех случаях, когда p
↑↑M, момент сил M = 0
m
и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет
устойчивым. Если p
↓↑ B, то тоже M = 0, но такое положе-
m
ние контура является неустойчивым: малейшее отклонение
от этого положения приведет к появлению момента сил,
стремящегося отклонить контур еще больше от начального
положения.
В заключение необходимо отметить, что выражение
(4.32) справедливо и для неоднородных магнитных полей.
Необходимо только, чтобы размеры контура с током были
достаточно малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающийся момент M можно пренебречь. Именно это относится к элементарному контуру с током.
Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как и электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором p
↑↑M) и, кроме того, под
m
действием результирующей силы F втягиваться туда, где
индукция В больше.
поле (предположим, что оно постоянное), на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, поэтому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. Работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с током I, определяется как
90
4.8. Работа при перемещении контура с током
Когда контур с током находится во внешнем магнитном
, (4.33)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]