Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
Глава 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
2.1. Постоянный электрический ток
в проводниках первого рода
Электрическим током называется всякое упорядоченное
движение электрических зарядов в пространстве. В проводниках первого рода, например металлах, могут свободно
перемещаться только электроны. Упорядоченное движение
свободных электронов, возникающее в проводнике под действием электрического поля, называется током проводимости. Отметим, что упорядоченное движение зарядов может
быть осуществлено путем перемещения в пространстве заряженного тела (проводника или диэлектрика). Такой электрический ток называется конвекционным.
Направлением электрического тока принято считать направление движения положительных зарядов. В действительности в металлических проводниках электрический
ток создается движением электронов в направлении, обратном току. В проводниках второго рода, например электролитах, ток создается движением ионов, сопровождается
электролизом и будет рассмотрен нами отдельно. В диэлектриках при не очень больших напряженностях электрического поля ток утечки обусловлен движением электронов.
Перейдем к рассмотрению стационарного движения зарядов. Для количественной характеристики электрического
тока служат две основные величины: плотность тока j
и сила тока I.
Плотность тока j равна заряду, проходящему в единицу
времени через единицу поверхности, перпендикулярной
к линиям тока, вдоль которых движутся заряженные частицы,
51
j = nev, (2.1)
d iv 0 ,x=j
0.
y
x
z
j
j
j
xyz
∂
∂
∂
++=
∂∂∂
/IUR=
где n – концентрация заряженных частиц; е – заряд одной
частицы; v – скорость движения заряженных частиц.
Для постоянного тока пространственное распределение
j не зависит от времени и подчиняется уравнению
(2.2)
Электрическое поле, существующее внутри проводника, тоже постоянно, поэтому имеет потенциал и удовлетворяет условию
rot E = 0. (2.3)
К уравнениям (2.2), (2.3) должно быть присоединено
еще уравнение, связывающее между собой j и E. Эта связь
зависит от свойств вещества проводника и в большинстве
случаев ее можно считать линейной (закон Ома).
Если проводник однороден и изотропен, то линейная
зависимость сводится к простой зависимости
j = λE. (2.4)
Коэффициент электропроводности λ (иногда его называют просто проводимостью тела) зависит от рода и состояния проводника, например температуры. Если состояние
проводника остается неизменным (не меняется его температура и другие параметры), то существует однозначная зависимость между напряжением U и силой тока I. Количество заряда, проходящее в единицу времени через все сечение проводника, и есть сила тока I.
Зависимость I = f(U) является вольт-амперной характеристикой данного проводника и во многих случаях имеет
вид
где R – электрическое сопротивление. Единицей сопротивления служит Ом – сопротивление такого проводника,
52
, (2.5)
в котором при напряжении между его концами 1В течет постоянный ток силой 1А:
1 Ом = 1В/1А.
По определению, единицей электрической проводимости является Сименс (См), 1 См = Ом
–1
. Для измерения
больших сопротивлений употребляют более крупные еди-
3
ницы: 1 килоом (1 кОм) = 10
Ом и 1 мегаом (МОм).
Сопротивление проводников зависит от их формы и размеров, для обычных цилиндрических проволок с постоянным сечением
R = ρ /S, (2.6)
где – длина проводника; S – его поперечное сечение. Коэффициент пропорциональности ρ зависит от рода вещества, его состояния и называется удельным электрическим
сопротивлением данного вещества. Величина, обратная
удельному сопротивлению, λ = 1/ρ, получила название
удельной электрической проводимости вещества.
Единица удельного сопротивления есть Ом⋅м. В табл.
2.1 приведены удельные сопротивления некоторых веществ
при комнатной температуре.
Таблица 2.1
Вещество
Серебро (1,66–1,63)⋅10
Медь тянутая 1,78⋅10
Платина 11⋅10
Константан (сплав
60% Cu, 40% Ni)
Нихром (67,5% Ni,
15% Cr, 16% Fe,
1,5% Mn)
Графит 3⋅10
Удельное сопро-
тивление ρ, Ом⋅м
–8
–8
–8
49⋅10
–8
110 ⋅10
–5
Вещество
10%-ный водный
–8
раствор NaCl
Химически
чистая вода
Стекло ~ 10
Фарфор ~ 10
Янтарь,
плавленый кварц
Удельное сопротив-
ление ρ, Ом⋅м
0,0825
6
~ 10
9
13
18
> 10
53
Зависимость удельного сопротивления от температуры
1 ddTρ
α=
ρ
можно охарактеризовать температурным коэффициентом
сопротивления данного вещества:
. (2.7)
Он дает относительное приращение сопротивления при
увеличении температуры на 1°. Температурный коэффициент сопротивления для данного вещества зависит от температуры и является нелинейным. Однако для многих проводников, к которым относятся все металлы, изменение α с
температурой не очень важно и поэтому полагаем
ρ = ρ
(1 + αt). (2.8)
0
Температурный коэффициент сопротивления может
быть как положительным, так и отрицательным. У всех металлов сопротивление увеличивается с ростом температуры (α > 0). У электролитов (проводники второго рода) со-
противление при нагревании всегда уменьшается. В табл.
2.2 приведены средние значения α.
Таблица 2.2
Вещество
Серебро 0–100 40⋅10
Медь 18 43⋅10
Платина 0–100 38⋅10
Константан
10%–ный водный раствор NaCl 18 –0,021
Графит 18 –5⋅10
Стекло 100 –0,1 … –0,2
Температура,
°С
18
Температурный
коэффициент α
–4
–4
–4
(–0,4 … +0,1)⋅10–4
в зависимости
от образца
–4
Как видно из таблицы, α у константана весьма мал.
При очень низких температурах в некоторых веществах
возникает состояние сверхпроводимости, когда сопротивление исчезает вовсе.
54
2.2. Уравнение непрерывности
n
S
j dS
∫
n
S
dq
j dS
dt
−=
∫
div
t
∂ρ
−=
∂
j
y
x
z
j
j
j
txyz
∂
∂
∂
∂ρ
−=++
∂∂∂∂
0t∂ρ ∂ =
Рассмотрим внутри проводника с током какую-либо
замкнутую поверхность S и будем понимать под j
проек-
n
цию вектора плотности тока j на внешнюю нормаль к элементу поверхности dS. Тогда из определения плотности
тока следует, что заряд, уходящий в единицу времени через
замкнутую поверхность S, есть
.
Вместе с тем, согласно закону сохранения электрического заряда, полная сумма возникающих положительных
и отрицательных зарядов равна нулю, поэтому
. (2.9)
Уравнение (2.9) можно записать в дифференциальной
форме:
, (2.10)
где ρ – удельная плотность заряда, или
Если токи постоянны, то
. (2.11)
и выполняется урав-
нение (2.2), при этом линии тока непрерывны.
2.3. Квазистационарные токи
Законы постоянного тока можно применять и к изменяющимся токам, если изменение силы тока происходит не
слишком быстро. Для того чтобы электрический процесс
был квазистационарным, необходимо выполнение двух
условий. Первое из них относится к процессам внутри проводника и связано с релаксацией объемного электрического
заряда.
55
Пусть объемная плотность возникшего заряда в какой-
0
=εεDE
0
div
z
y
x
z
E
E
E
xy
∂
∂
∂
ρ
=++=
∂ ∂ ∂ εε
Е
1
z
y
xz
E
EE
xyt
∂
∂ ∂ ∂ρ
+ + =−
∂ ∂ ∂ λ∂
0
t
∂ρ
λ
=− ρ
εε
∂
либо точке среды равна ρ, тогда вызванное им электрическое поле E определяется уравнением Пуассона (1.15). Полагая в нем
и учитывая, что в однородной среде ε
не зависит от координат, имеем
. (2.12)
Это поле вызывает электрические токи, плотность которых
по закону Ома равна
j = λE. (2.13)
Появляющиеся токи уменьшают заряд ρ. Скорость
уменьшения заряда выражается уравнением непрерывности (2.11). Подставляя в него для j уравнение (2.13) и учитывая, что в однородной среде λ, как и ε, постоянно, получаем
Левые части уравнений (2.12) и (2.14) одинаковы, поэтому
справедливо уравнение
.
Интегрируя это уравнение при начальных условиях t =
0, ρ = ρ
ρ = ρ
где τ
ции Максвелла; τ
, находим
0
exp(–t/τм),
0
– мгновенное время релаксации, или время релакса-
м
= εε0/λ; ρ0 – объемная плотность заряда
м
в момент времени t = 0. Время релаксации Максвелла определяет порядок времени, в течение которого восстанавливается стационарность электрических процессов.
56
. (2.14)
Чтобы токи можно было считать квазистационарными,
характерное время рассматриваемого неустановившегося
процесса Т (периода колебаний, если процесс периодический, или времени переходного процесса при импульсных
токах) должно удовлетворять условию
τ
<< T или ωτм << 1, (2.15)
м
где ω – круговая частота колебаний: ω = 2π/Т.
При рассмотрении электрических контуров следует наложить еще одно условие, которое связано с прохождением
возмущения вдоль контура. Время прохождения электриче-
ского возмущения вдоль контура
с – скорость света в вакууме, с ≈ 3⋅10
8
м/с; ε и µ – диэлек-
, где
трическая и магнитная проницаемости среды, поэтому второе условие квазистационарности токов
τ
<< T или ωτк << 1. (2.16)
к
При выполнении этого условия мгновенные значения
всех электрических величин в каждой части контура будут
такими же, как и в случае постоянного тока. Отметим, что
длиной контура необходимо считать всю длину радиотех-
нической цепочки – от входного до выходного сигнала. Не
может быть характерным размером , например, толщина
двойного электрического слоя ~ 10
–7
см или только область
p–n-перехода полупроводника [10]. Невозможно представить контур длиной как набор дифференциальных контуров в силу электромагнитного взаимодействия между ними.
Следует иметь в виду, что τм изменяется в широчай-
ших пределах: в диэлектриках в течение многих минут;
в металлах вследствие их большой электропроводности
τм ≈ 10
–17
с.
2.4. Закон Джоуля – Ленца
С прохождением тока через проводник, обладающий
сопротивлением, непрерывно связано выделение теплоты.
Если сила тока в проводнике равна I, то за время dt через
57
каждое сечение проводника пройдет заряд dq = Idt. Так как
1212
()()A dq I dtδ = ϕ−ϕ = ϕ−ϕ
2
P =ρj
распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным (ток постоянный), то весь процесс эквивалентен
непосредственному переносу заряда с потенциалами ϕ
и ϕ2. Следовательно, совершенная при таком переносе работа сил поля
1
.
Согласно закону сохранения энергии, эквивалентная
этой работе энергия должна выделяться в иной форме. Если
проводник неподвижен и в нем не происходят химические
превращения, то энергия должна выделяться в форме внутренней тепловой энергии, в результате чего проводник нагревается. Механизм такого превращения достаточно прост:
носители тока в результате работы сил поля приобретают
дополнительную кинетическую энергию и затем расходуют ее на возбуждение колебаний решетки при столкновении с ее узлами–атомами.
Итак, согласно закону сохранения энергии, элементарная работа δА = Pdt, где Р – тепловая мощность. Следовательно,
Р = I(ϕ
– ϕ2). (2.17)
1
Используя закон Ома, имеем
P = RI
2
. (2.18)
Данная формула выражает известный закон Джоуля –
Ленца, в локальной форме:
. (2.19)
Таким образом, удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока
и удельному сопротивлению среды в данной точке. Уравнение (2.19) представляет собой наиболее общую форму закона Джоуля – Ленца, применимую к любым проводникам
независимо от природы сил, возбуждающих электрический
58
ток. Если на носители заряда действуют только электрические силы, то
P = jE. (2.20)
Уравнение (2.20) отличается менее общим характером, чем
(2.19).
В заключение заметим, что (2.17) справедливо только
при условии потенциальности электрического поля (см. подпараграф 1.10.2). В то же время (2.19) справедливо не только
для потенциального, но и для вихревого электрического
поля.
2.5. Ток в слоистом материале
и поверхностный заряд
Рассмотрим прохождение постоянного тока через плоский конденсатор, заполненный двумя диэлектрическими
материалами с относительными диэлектрическими проницаемостями ε
, ε2 и проводимостями λ1, λ2. К обкладкам
1
конденсатора приложено постоянное напряжение U, общее
сопротивление конденсатора R (рис. 2.1). Требуется вычислить наведенный электрический поверхностный заряд, обусловленный прохождением тока на границах раздела смежных материалов.
Из закона сохранения электрических зарядов следует
постоянство потока в контуре, поэтому выполняется уравнение
λ
= λ2 Е2 = U/R, (2.21)
1Е1
Рис. 2.1
59
где Е1, Е2 – нормальные составляющие вектора напряженности электрического поля.
В электрическом поле на границе раздела диэлектриков
нормальная составляющая вектора электрической индукции испытывает скачок, равный величине наведенного поверхностного (нескомпенсированного) заряда:
ε
– ε0ε2Е2 = σ. (2.22)
0ε1Е1
Из решения уравнений (2.21), (2.22) получим выражение
для величины наведенного заряда:
σ = (U/R)ε
[(ε1/λ1) − (ε2/λ2)]. (2. 23)
0
Как следует из (2.23), наведенный электрический заряд
σ определяется величиной тока, а также множителем, учитывающим свойства среды. Если
[(ε
) – (ε2/λ2)] = 0,
1/λ1
то наведенный заряд на границах раздела не возникает.
В последнее время все большее распространение получают
микромашины, двигатели из пластмасс, когда появление σ
нежелательно. В настоящее время для конструирования деталей таких машин рекомендуют использовать для смазки
масло с диэлектрической проницаемостью ε
и удовлетво-
м
ряющее соотношению
ε
< εм < ε2. (2.24)
1
Выбор такого масла позволяет уменьшить эффект электризации в машинах, выполненных из движущихся диэлектрических материалов. Кроме наведенного электрического
поверхностного заряда σ существует также и контактная
разность потенциалов, которая имеется всегда и не зависит
от наличия тока.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]