Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
Следовательно, поток вектора D через сферическую по-
,dq=
∫
DS
где
i
i
qq=
∑
верхность не зависит от радиуса сферы и определяется
только величиной заряда. Нетрудно убедиться, что этот результат справедлив не только для сферической, но и для
любой замкнутой поверхности и для любого произвольного расположения заряда внутри этой поверхности или их
суммы, т. е.
Если под q понимать источник, излучающий частицы,
ядра и фотоны во всех направлениях с постоянной скоростью, то интенсивность излучения будет уменьшаться обратно пропорционально квадрату радиуса (существует аналогия между D и интенсивностью потока частиц). Поток
частиц, ядер, фотонов через любую поверхность, полностью охватывающую заряд q, не зависит от радиуса и формы этой поверхности, так как является полным количеством частиц, ядер, фотонов, излучаемым в единицу времени. Следовательно, поток D через замкнутую поверхность
не должен зависеть от размеров и формы поверхности.
Полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для какого угодно числа произвольно расположенных зарядов.
Теорема Гаусса: поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности.
Данную теорему можно назвать и законом, поскольку она
фактически эквивалентна закону Кулона. Доказательство
теоремы основано на обратной пропорциональности взаимодействия квадрату расстояния и, конечно, на аддитивности взаимодействий, т. е. на принципе суперпозиций. Закон
Гаусса несправедлив для поля, сила которого обратно пропорциональна, скажем, кубу расстояния. В этом случае поток электрического смещения будет равен q/R, поэтому при
(1.13)
21
R → 0 Φ → 0, в то время как полный заряд внутри сферы
остается постоянным. Соотношение (1.13) является мощным аналитическим инструментом решения сложных задач.
1.8. Применение теоремы Гаусса
Рассмотрим некоторые простые применения вычисления электрического поля с помощью интегральной теоремы
Гаусса. Вообще говоря, для расчета электрических полей
произвольной системы зарядов теоремы Гаусса недостаточно, так как она определяет скалярные соотношения, а для
определения E
, Ey, Ez этого недостаточно. Необходима из-
x
вестная симметрия задачи, чтобы последняя свелась к решению одного скалярного уравнения. В таких случаях, но
далеко не всегда теорема Гаусса может оказаться достаточной для вычисления E. Приведем примеры.
1.8.1. Электрическое поле бесконечной
равномерно заряженной плоскости
Пусть поверхностная плотность электрического заряда
равна σ. Вектор D в силу симметрии перпендикулярен плоскости и направлен от плоскости, если заряд σ положительный, и к плоскости, если заряд отрицательный.
Поток D через поверхность параллельно плоскости
в силу симметрии равен нулю. Заметив это, построим цилиндр с основаниями, симметрично расположенными по
разные стороны плоскости, и с образующими, перпендикулярными к ней (рис. 1.1). Если S – площадь каждого из оснований, то поток вектора электрического смещения через
оба основания равен 2DS. Следовательно, по теореме Гаусса получим
2DS = σS,
22
Рис. 1.1
где σS – суммарный заряд, охватываемый цилиндром, откуда
D = σ/2,
а напряженность поля в вакууме равна Е = σ/2ε
. По раз-
0
ные стороны плоскости векторы E одинаковы по величине,
но противоположно направлены, поэтому при переходе через заряженную плоскость напряженность поля меняется
скачком на величину σ/εо.
1.8.2. Шаровой конденсатор
Рассмотрим электрическое поле между двумя шаровыми концентрическими электродами – шаровым конденсатором (рис. 1.2) [1]. В качестве замкнутой поверхности удобно выбрать сферу радиусом r, расположенную между элек-
тродами и имеющую с ними общий центр. Тогда из теоремы
Гаусса имеем
D⋅4πr
2
= q,
откуда
E = q/4πε
1.8.3. Цилиндрический конденсатор
r2. (1.14)
0
Вычислим напряженность электрического поля между
двумя коаксиальными металлическими цилиндрами. Из
симметрии следует, что заряды будут распределены равномерно по поверхности цилиндра плотностью σ, где σ –
плотность заряда на единицу
длины цилиндра. Тогда по теореме Гаусса
D⋅4πr = σ
.
Следовательно, напряженость
поля между электродами в точке, отстоящей на расстоянии r
от оси цилиндров, в вакууме
Рис. 1.2
23
0
1
2
E
r
σ
=
πε
q dV=ρ
∫
d dV=ρ
∫∫
DS
div dV dV=ρ
∫∫
D
у
х
z
D
D
D
хуz
∂
∂
∂
+ + =ρ
∂∂∂
. (1.15)
Это выражение справедливо для всех участков конденсатора, не слишком близких к его краям.
1.9. Дифференциальная форма
электростатической теоремы Гаусса.
Уравнение Пуассона. Свободные и связанные заряды
Соотношение (1.13) выражает теорему Гаусса в интегральной форме. Представим эту теорему в дифференциальной форме. Пусть
, где ρ – плотность заряда,
тогда, используя (1.13) и теорему Остроградского – Гаусса,
получаем
,
значит, div D = ρ или в проекциях на декартовы оси координат
. (1.16)
По заданному значению ρ(r), а также зная D
границах области, можем вычислить вектор электрического смещения. Отметим, что (1.16) является следствием теоремы Гаусса в интегральной форме. Формулу (1.16) называют уравнением Пуассона.
Заметим, что ρ в (1.16) означает плотность свободных за-
рядов. Под свободными зарядами будем понимать, во-первых, все электрические заряды, которые под влиянием электрического поля могут перемещаться на макроскопические
расстояния (электроны в металлах и вакууме, ионы в газах
и электролитах и т. п.), и, во-вторых, заряды, нанесенные извне
на поверхность диэлектрика и нарушающие электронейтральность. К ним относятся, например, заряды внутренней решетки
твердых диэлектриков, образовавшиеся благодаря недостатку
24
,
, Dy, Dz на
x
на данном участке диэлектрика ионов определенного знака, по-
cos ( ,
m
n
A q Ed
′
=
∫
E
L
А =∫E
этому участок в целом уже не является нейтральным.
Заряды, входящие в состав нейтральных молекул диэлектриков, равно как и ионы, закрепленные в твердых диэлектриках вблизи определенных положений равновесия,
будем называть связанными зарядами.
1.10. Электрический потенциал
1.10.1. Работа в электростатическом поле
К понятию разность потенциалов, или электрическое
напряжение, приходим, рассматривая работу сил электри-
ческого поля. Элементарная работа, совершаемая силой F,
действующей на точечный электрический заряд, находящийся в электростатическом поле напряженностью E:
dA = Fd cos(F, d) = q
′
Ecos(E, d )d ,
где d – элементарное перемещение заряда; Ed – угол
между направлениями векторов E и d . Полная работа при
конечном перемещении заряда q′ из точки n в точку m поля
d ). (1.17)
Работа сил отталкивания одноименных зарядов при
удалении их друг от друга положительна и при сближении
зарядов отрицательна. Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда q′ в поле, созданном q, не зависит от формы пути, а определяется лишь начальным и конечным положениями заряда – потенциальностью электростатических сил. Работа, которую совершают электрические
силы при перемещении единичного положительного заряда
по замкнутому пути L, численно равна циркуляции напряженности:
d
25
и в электрическом поле
∫
E
,,
xyz
UUU
EEE
xyx
∂∂∂
===
∂∂∂
k grad
UUU
U
xyx
∂∂∂
=++=
∂∂∂
Eij
arc cos ( / )Ur= kr
222
arc cos
x
U
xyz
=
++
22
)xyρ= +
d = 0 (1.18)
или в дифференциальной форме
rot E = 0. (1.19)
1.10.2. Потенциал и потенциальное поле
Согласно (1.18) и (1.19), работа потенциальной силы
вдоль произвольной замкнутой траектории движения ее
точки приложения тождественно равна нулю. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы
подынтегральное выражение в (1.18) было полным дифференциалом некоторой скалярной функции координат
U(x, y, z), т. е. силовой функции:
E
dx + Eydy + Ezdz = dU. (1.20)
x
Отсюда
или
. (1.21)
Считается, что определения (1.21) и (1.18) эквивалентны
между собой. Однако, как показано в [9], если выбрать по-
тенциал в виде
, или в декартовых коорди-
натах
или в цилиндрических координатах z, ρ, α (где
U = α, то поле, потенциальное в уравнении (1.21), не будет
потенциальным в смысле (1.18). Следовательно, для опреде-
26
,
,
ления силового поля как потенциального необходимо вы-
2
12
1
S
U E dS=
∫
2
0
1
44
rr
q dr q
U Edr
r
r
∞∞
===
πε πε
∫∫
полнение формулы (1.18).
Зная напряженность поля в каждой точке, можно вычислить и разность потенциалов любых двух точек. Если
dS – элемент перемещения заряда, ES – проекция вектора
напряженности поля на направление dS, то работа есть
ESdS. Поэтому разность потенциалов в точках 1 и 2 можно
выразить уравнением
, (1.22)
где интегрирование производится вдоль любого контура L,
соединяющего рассматриваемые точки, в направлении от
точки 1 к точке 2.
Отметим, что в переменном электрическом поле условие (1.19) уже не выполняется, поэтому формулу (1.21) использовать нельзя.
1.10.3. Потенциал в простейших электрических полях
Пример 1. Точечный заряд. Рассмотрим в поле точечного заряда точку на расстоянии r от заряда и найдем потенциал в этой точке относительно бесконечности. Разность
потенциалов не зависит от формы пути, поэтому предположим, что заряд перемещается из точки r в бесконечность
вдоль радиуса, т. е. вдоль линии напряженности электрического поля. Тогда
. (1.23)
Потенциал убывает обратно пропорционально первой
степени расстояния от заряда.
Пример 2. Шаровой конденсатор. В шаровом конденсаторе, изображенном на рис. 1.2, напряженность поля Е
между электродами выражается формулой (1.14). Следовательно, разность потенциалов между внутренней сферой
27
и какой-либо точкой внутри конденсатора, удаленной на
2
00
11
44
rr
aa
q dr q
U Edr
ar
r
===−
πε πε
∫∫
0
0
11
4
q
U
ab
=−
πε
0
1/ 1/
1/ 1/
ar
UU
ab
−
=
−
00
ln
22
r
a
dr r
U
ra
σσ
==
πε πε
∫
0
0
ln
2
b
U
a
σ
=
πε
0
ln ( / )
ln ( / )
ra
UU
ba
=
расстояние r от центра конденсатора:
, (1.24)
где а – радиус внутренней сферы. Из (1.24) следует, что разность потенциалов между электродами (шаровыми сферами радиусом а и b)
, (1.25)
откуда окончательно
Зная U
, легко вычислить U в любой точке поля.
0
. (1.26)
Пример 3. Цилиндрический конденсатор. Напряженность поля между двумя коаксиальными металлическими
цилиндрами определяется формулой (1.14), поэтому разность потенциалов между внутренним цилиндром радиусом а и произвольной точкой между электродами
где σ
– плотность заряда на единицу длины цилиндра; а –
, (1.27)
радиус внутреннего цилиндра. Полная разность потенциалов между цилиндрами
где b – радиус внешнего цилиндра. Отсюда
Таким образом, потенциал в цилиндрическом конденсаторе изменяется по логарифмическому закону.
28
, (1.28)
. (1.29)
Пример 4. Система точечных зарядов. Если имеется n
0
1
4
n
i
i
i
q
Ur=
πε
∑
точечных зарядов, то, согласно принципу наложения электрических полей (см. параграф 1.4), результирующее поле
равно сумме полей, создаваемых отдельными зарядами.
Поэтому и потенциал этого поля равен сумме потенциалов,
вызываемых отдельными зарядами:
. (1.30)
Здесь U – потенциал результирующего поля в рассматриваемой точке относительно бесконечности; ri – расстояние
этой точки до i–го заряда, а суммирование производится по
всем точечным зарядам.
Пример 5. Диполь в электрическом поле. Рассмотрим
два точечных заряда (+q и –q), жестко связанных между
собой и помещенных на расстоянии друг от друга, где –
вектор , направленный от отрицательного заряда к положительному. Такую пару зарядов называют электрическим диполем.
Диполи встречаются довольно часто в различных средах, так как многие молекулы построены из положительных и отрицательных ионов.
Найдем силу, действующую на диполь в электрическом
поле. Если поле однородно, то на концы диполя действуют
равные по модулю силы F = qE, направленные в противоположные стороны и образующие пару сил (рис. 1.3). Момент этой пары М = qE sin α, или в векторном виде M =
qE . Момент диполя p есть вектор p = q .
Рис. 1.3 Рис. 1.4
29
Вычислим электрическое поле, создаваемое диполем
12
2
0 2 1 0 12
0
1 1 cos
44
4
rr
q q qp
U
r r rr
r
−
α
= −= =
πε πε
πε
(рис. 1.4) [1]. Согласно (1.30), потенциал в некоторой точке
поля q
,
где р – модуль момента диполя; α − угол между направлением момента диполя р и направлением радиуса-вектора r,
при этом полагаем, что << r
и << r2, r1 – r2 = cosα,
1
r1r2 = r2.
1.11. Проводники и изоляторы
Уже первые эксперименты установили, что вещества
значительно различаются по своей способности сохранять
«нечто электрическое». Экспериментаторы начала XVIII в.
составили классификацию, согласно которой вещества разделяются на электрики и неэлектрики. В 1730 г. в Англии
С. Грэй произвел опыты с обычной веревкой длиной в сотни метров и установил, что «электрическое нечто» может
передаваться на значительные расстояния, если взять шелковую веревку. На выставках по электричеству того времени демонстрировался подвешенный на такой веревке мальчик, у которого вследствие электризации волосы вставали
дыбом. После работ Грэя электрики и неэлектрики стали
называть электрическими изоляторами и электрическими
проводниками.
Электрическая проводимость обычных хороших проводников, например металлов, превышает электрическую
проводимость изоляторов, подобных стеклу и пластмассе,
примерно в 10
20
раз.
Под действием внешнего электростатического поля заряды в проводнике (электроны проводимости в металлическом проводнике) перераспределяются таким образом, что
напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника равна нулю. В то же время на поверхности
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]