Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
получили зависимости напряженности электрического поля
в функции времени на различном расстоянии от поверхности (рис. 2.9).
Из результатов моделирования видно (рис. 2.10), что при
распространении электромагнитной волны в среде с высокой частотой происходит быстрое затухание электромагнитной волны в слоистой среде. В то же время при распространении электромагнитной волны в слоистой среде с более низкой частотой глубина проникновения увеличивается.
Кроме того, с помощью разработанной модели рассчитывалось распространение в слоистой среде модулированного сигнала при частоте модуляции 20 кГц. В результате
моделирования (рис. 2.11) получили изменения напряжен-
Рис. 2.11. Изменение напряженности электрического поля во времени на
различном расстоянии от поверхности: 1 – 1 мкм; 2 – 5; 3 – 10 мкм
211
Рис. 2.12. Распределение амплитуды напряженности электрического
1
15ε=
2
2 0 ,ε=
6
1
10
−
λ=
2
10λ=
12
1µ=µ=
9
10ω=
поля в двумерной среде (а) и по глубине (б) при
,
,
212
,
Гц (закрашенный фон – среда 1,
прозрачный – 2)
,
ности электрического поля на различной глубине в слоистой среде, которые говорят об эффективности использования данной модели для расчета распространения полигармонических волн в слоистых средах, что невозможно
промоделировать на основании уравнения Гельмгольца.
Разработанную физико-математическую модель можно
эффективно применять и при моделировании распространения электромагнитных волн в средах со сложными геометриями с сильными разрывами электромагнитного поля
(рис. 2.12).
Поперечный разрез ячеистой структуры – набор параллелепипедов различного сечения изображен на рис. 2.12, а в виде
квадратов. Свойства материалов в «большом» параллелепипеде обозначены индексом 1, а свойства материалов в малых параллелепипедах (квадраты на рисунке) – индексом 2.
Электромагнитная волна распространяется поперек направления параллелепипедов (каналов).
Из рис. 2.12, б видно, что в ячеистой структуре имеются
«области молчания», где амплитуда сигнала близка к нулю,
а также области внутри образца, где сигнал имеет заметную величину за зоной «молчания», которая образуется
вследствие интерференции.
Заключение. Впервые построена согласованная физикоматематическая модель распространения электромагнитных волн в слоистых средах без использования поверхностных матриц импедансов для наведенного поверхностного
заряда, базирующаяся на уравнениях Максвелла, законах
сохранения электрического заряда, непрерывности полного
тока и теореме Дирихле. Проведенные численные исследования показали, что предложенная физико-математическая
модель может эффективно применяться для моделирования
прохождения высокочастотной электромагнитной волны
через слоистую среду с различными электрофизическими
свойствами слоев.
213
2.5. Пондеромоторные силы
dVV=∫Ff
в неоднородных слоистых средах с поглощением
Как известно, напряженность электрического поля Е
равна рассчитанной на единицу заряда пондеромоторной
(механической) силе, действующей в данной точке поля на
пробный заряд (заряженное тело). Вопрос о силе, действующей на поверхностные заряды на границах раздела, остается открытым, так как нет замыкающих уравнений для σ
и на самой поверхности раздела заряд не определен. Согласно [46], тензор напряжений пондеромоторных сил для
сред с дисперсией и поглощением вследствие релаксации
диполей вообще не может быть найден в общем виде макроскопическим путем. На наш взгляд, решение данной
проблемы заключается в вычислении заряда двойного электрического поля на границах раздела, а также равнодействующих всех натяжений, приложенных извне к поверхности, без необходимости сведения объемных пондеромоторных сил к натяжениям. Сведение объемных сил к натяжениям не всегда возможно, поэтому данный вопрос
рассмотрим более подробно.
Сведение объемных пондеромоторных сил к натяжениям. Если f – объемная плотность пондеромоторных сил,
то равнодействующая всех сил, приложенных к телам, находящимся внутри объема V, есть
. (2.62)
С другой стороны, если объемные силы вообще могут
быть сведены к натяжениям, то той же величине должна
быть равна и совокупность натяжений, действующих извне
на замкнутую поверхность S. Обозначим через T
силу, дей-
n
ствующую извне на единицу поверхности, внешняя нормаль к которой направлена по n; компоненты этой силы по
осям координат Tхn , Tyn и Tzn. Тогда равнодействующая всех
натяжений, приложенных извне к поверхности:
214
. (2.63)
xy
xx xz
x
T
TT
f
xyz
∂
∂∂
=++
∂∂∂
yx yy yz
y
TTT
f
xyz
∂∂∂
=++
∂∂∂
zy
zx
zz
z
T
T
T
f
xyz
∂
∂
∂
=++
∂∂∂
dV=
∫
N Rf
()()
( ).
x z y zn yn
VS
yz zy
V
N yf zf dV yT zT dS
T T dV
=−=−+
−
∫∫
∫
Используя теорему Остроградского – Гаусса и приравнивая (2.62) и (2.63), получаем
,
, (2.64)
.
Для эквивалентности объемных сил и натяжений необходимо, чтобы остались неизменными не только равнодействующая сил, приложенных к произвольному объему, но
и момент этих сил [2]. Данное обстоятельство накладывает
дополнительное ограничение на компоненты тензора натяжений. Момент объемных сил, приложенных к произвольному объему V:
, (2.65)
где R есть расстояние от точки О, относительно которой
определяется момент сил, до элемента dV. Следовательно,
составляющая N
должна удовлетворять соотношению (2.65):
x
Поверхностный интеграл справа равен моменту сил натяжения Т
, приложенных к поверхности S объемом V. Мо-
n
мент этих сил натяжения будет равняться моменту сил объемных только в том случае, если последний интеграл справа равен нулю. Ввиду произвольности объема V это будет
(2.66)
215
иметь место только при равенстве нулю подынтегрального
12
()
S
ij ij ij
FEE=σ −
S
ij
F
ij
dS=∫FF
,,
xyz
fff
x
f =
[ ]
x
t∂∂
EH
ó
f =
[ ]
ó
t∂∂
EH
выражения
T
Повторив те же рассуждения для N
= Tzy.
yz
и Nz, получим Tzx =
y
Txz, Txy = Tyx. Следовательно, для эквивалентности объем-
ных сил и поверхностных пондеромоторных сил тензор натяжений должен быть симметричен. В анизотропных средах тензор натяжений несимметричен, поэтому целесообразно непосредственное вычисление равнодействующей
сил через натяжения по формуле (2.63). Отметим, что впервые пондеромоторные силы поля были сведены к натяжениям Максвеллом. Замена пондеромоторных сил эквивалентной системой натяжений весьма облегчает определение
сил, приложенных к объему электрического поля.
Сила, приложенная к заряженному слою, если известен
нескомпенсированный поверхностный заряд, имеет вид
Если слой не заряжен, то σ = 0 и
. (2.67)
= 0. Результирую-
щая сила, приложенная к границе ячейки или клетки:
Проекции f
, fy, fz определяются согласно (2.64), и в пе-
x
. (2.68)
ременном электромагнитном поле необходимо учитывать,
что fx, fy, fz затрачиваются на изменение плотности потока
импульса как вещества, так и электромагнитного поля.
Если понимать под
силы, действующие только
на вещество, то, согласно [2], имеем
216
fx – (εµ–1)
fу – (εµ–1)
,
, (2.69)
z
f =
[ ]
z
t∂∂
EH
[ ]
t∂∂
EH
S
ij
F
fz – (εµ–1)
.
Выражение (εµ–1)
, как известно, называют силой
Абрагама [2].
Если среда неоднородная, а прохождение электромагнитной волны сопровождается поглощением и ее разогревом, то предлагается следующая схема расчета пондеромоторных сил:
1) исследуемую область разбиваем на N ячеек («клеток»)
с постоянными свойствами;
2) для каждой из ячеек по методу, изложенному в гл. 2,
вычисляем поверхностный заряд σ и поверхностную пондеромоторную силу
;
3) поглощение вследствие джоулева разогрева и релак-
сации диполей вычисляем с использованием (2.33), (2.34).
При данном подходе не учитывается влияние стрикционных сил и натяжений, воздействующих только на распределение сил по объему тела, но не оказывающих влияния
на величину равнодействующей всех сил и на их момент
[2]. Учет пондеромоторных сил важен, например, для задач
биомеханики.
В истории проблемы пондеромоторных сил сложилось
парадоксальное положение, в результате которого до последнего времени дискутируются вопросы, касающиеся некоторых базисных положений классической электродинамики [35].
Основные результаты исследований, изложенные в этой
главе, опубликованы нами в [31, 44–49].
Глава 3
0
11
1
c
=−−
εε εµ
u
EDB
11
1
c
=−−
µ εµ
u
HBD
q
c
=λ +
u
IEB
ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД
В предыдущих главах исследовалось электромагнитное
поле неподвижных тел. Последовательная теория электромагнитных явлений в движущихся средах может основываться только на теории относительности Эйнштейна [1].
Однако нами будет рассмотрен случай медленно движущихся сред, когда u/c << 1, т. е. в пренебрежении всеми эффектами, пропорциональными квадрату и старшим степеням отношения u/c. Из теории относительности заимствуем
только два соотношения [2]:
,
а также выражение для тока проводимости без учета эффекта Холла [2]
Условие медленности движения материальных сред выполняется в большинстве практически интересных явлений
и процессов. Условием применимости указанных выше соотношений является не только достаточная медленность
движения среды, но и требование постоянства u [2]. Эффекты, связанные с зависимостью u(x, τ), не учитываются.
В частности, эффект Толмена, проявляющийся при внезапном ускорении проводников, не может быть объяснен на
основе изложенной теории. В гл. 1, 2 (ч. II) уравнения поля
218
,
.
сводились нами к телеграфному уравнению для напряжен-
( ) ( )
2
2
,, ,,
PP
Pxt kPxt
xx
t
∂∂∂
η=
∂∂
∂
2
1 / cη=
( 1 / )cvc+
( 1 / )cvc−
ности электрического поля. Влияние движения среды на
распространение волн имеет место также и в более простой
ситуации, например в задачах аэроакустики, поэтому вначале рассмотрим моделирование аэроакустических задач
(см. параграф 3.1), затем особенности электродинамической
задачи с учетом коэффициента увлечения Френеля для скорости электромагнитной волны в движущейся среде (см.
параграфы 3.2 и 3.3).
3.1. К аэроакустике движущихся сред
В технологических установках при наличии акустических колебаний и теплопроводности с интенсивным тепловыделением распространение импульсов, как правило,
сопровождается движением среды и соответствующие гиперболические уравнения необходимо решать с учетом движения среды. Данная задача важна также, например, при
локации подводных объектов, когда необходимо принимать
во внимание влияние на распространение звука океанских
течений. Исследуемые процессы описываются волновым
уравнением вида
с учетом движения среды. Модифицированное линейное
волновое уравнение, когда
среды, при некоторых ограничениях рассмотрено Д.И. Блохинцевым [2, 3]. В работах [4–6], например, получены уравнения, обладающие более широкой областью применимости, однако они достаточно сложны для расчетов.
Рассмотрим моделирование распространения звука в движущейся неоднородной среде путем построения разностной схемы, учитывающей движение среды [7, 8].
Известно [2], что возмущения по потоку и против потока происходят с разной скоростью:
(3.1)
, k = 1 для движущейся
и
219
.
Множители
( 1 / )vc±
00
,hhττ
Ω =Ω ×Ω
0
{
hi
xΩ==
0
, 0,1, 2, ..., ,
x
ih i N=
0},x
hNl=
{,
j
tj
τ
Ω==τ
0,1, 2, ..., ,jN
τ
=
}.
tm
Ntτ=
в дальнейшем определим как соотношение невзаимности. Этот эффект учтем при построении
разностной схемы для волнового уравнения (3.1) с помощью
деформаций разностных ячеек, которые отражают влияние
движения среды. Скорость потока, а также градиенты скорости должны удовлетворять акустическому приближению.
Определим взаимосвязь пространственных и временных измерений в движущейся среде. Введем равномерную
сетку в покоящейся среде
, где
В случае движения среды каждый узел перемещается
относительно неподвижного наблюдателя со скоростью v
поэтому за время распространения сигнала, в течение которого наблюдатель постоянно регистрирует амплитуду и частоту изменения давления или скорости потока, узел перемещается на некоторое дополнительное расстояние. Для
неподвижного наблюдателя в узле i, посылающего или принимающего сигнал (изменение давления или скорости) по
потоку и против потока, пути его прохождения для ячейки
длиной h
(h0 – ячейки в системе отсчета Лагранжа) будут
0
различны.
Рассмотрим два случая распространения сигнала: а) справа от узла i; б) слева от узла i. Полагаем, что скорость потока в пределах разностной ячейки, а также скорость волны
являются постоянными величинами. Зависимость скорости
движения среды v и скорости распространения звука с от
координаты и времени будет принята во внимание при построении разностной схемы.
Согласно [2], аналитический вид гиперболического
уравнения [1] известен лишь для v(τ) или v = const, для об-
щего случая v(х, τ) в дифференциальной форме решение
уравнения (3.1) отсутствует.
а. Неподвижный наблюдатель находится в узле i, тогда
сигнал, посланный по потоку, имеет суммарную скорость с
+ v и за время движения ∆t сигнала из узла i в узел i+1 сам
220
,
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]