Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
узел i+1 перемещается на некоторое дополнительное рас-
0
hhvt
+
=+∆
( )
/thcv
+
∆=+
( )
0
/h h vh c v
++
=++
0
hhvt
−
=−∆
( )
/thcv
−
∆=−
( )
0
/h h vh c v
−−
=−−
0
( 1 / )hhvc
+
=+
0
( 1 / )hhvc
−
=−
,hh
+−
стояние v∆t, поэтому
где
,
,
.
б. Неподвижный наблюдатель находится в узле i, тогда
сигнал, посланный против потока, имеет суммарную скорость c – v и за время распространения сигнала ∆t из узла i
в узел i – 1 последний, т.е. узел i – 1, приближается к узлу i
на расстояние v∆t, поэтому
где
,
,
.
Отсюда
где
− размеры ячеек в системе отсчета Эйлера. Сле-
,
, (3.2)
довательно, для неподвижного наблюдателя, находящегося
в узле i, в эйлеровой системе координат происходит деформация первоначально равномерной сетки.
В разностной схеме будем использовать соотношения
(3.2), которые фактически приводят к деформациям эйлеровой расчетной области вследствие движения среды.
Размер ячейки (тела) не должен зависеть от знака скорости, поэтому при построении разностной схемы используем
условие независимости размеров ячейки от направления
и знака скорости движущейся среды. Это означает, что сигнал, посланный наблюдателем в момент времени j – 1 по
потоку (или против потока), должен быть воспринят в момент времени j + 1 в том же узле i, когда направление сигнала меняется на обратную величину, т. е. происходит
усреднение измерений во времени. Другими словами, с помощью данной процедуры осреднения измерений во времени отражается тот факт, что один и тот же узел в один и тот же момент времени является излучателем и приемником волн.
221
При построении разностной схемы полагаем, что волно-
/
x
hN=
( )
0
/1/hhvc=±
0
22
1
.
21 / 1 /
1/
hhh
h
vc vc
vc
=+=
−+
−
2
1/cη=
*
22
222
1
xx
PP
ctx
=
∂∂
=
∂∂
11jj
ttt
−+
≤≤
x
∗
( ) ( )
1
0,PtPt=
( ) ( )
2
,PtPt=
( )
( )
00
,Pxt Px=
( )
( )
0
*
,Pxt
Px
t
∂
=
∂
0 x≤≤
0
,h τ
Ω
22
,1 , ,1 , 1,1 ,1
1
22
,1
,
2
2 (1 ( ) )
2
ij ij ij ij i j ij
ij
ij
y y y vc y y
hh
c
+ − ++ +
++
−+ − −
=ϕ −
τ
вое уравнение (3.1) справедливо в покоящейся среде и в движущейся среде в локальной мгновенно сопутствующей системе отсчета Лагранжа для данной индивидуальной разностной ячейки с достаточно мелким шагом h
. Разрешив
0
(3.2) относительно h0, перейдем к переменным Эйлера
и, выбрав для удобства шаг по пространству
, по-
лучим
,
Вначале рассмотрим случай, когда
(3.3)
и k = 1. Исходное волновое уравнение запишем не для отрезка, а для
разностных пространственных узлов сетки:
где
− деформированные узлы, построенные в соответ-
,
, (3.4)
ствии с соотношениями (3.3). Граничные и начальные
условия:
Обозначим через y
в узлах сетки
,
приближенное значение функции P
i,j
,
,
, (3.5)
. (3.6)
. Уравнение (3.4) аппроксимируем схемой с учетом соотношения невзаимности (3.2) и независимости размеров шага сетки от направления движения среды (усреднение измерений во времени)
222
,11,1
1
,1
2
ij ij
ij
yy
h
+−+
−+
−
γ+
1,1 ,1 ,1 1,1
11
,1 ,1
22
i j ij ij i j
ij ii
yy yy
hh
+− − − −−
+− −−
−−
γ −ϕ
2, 1
x
iN=−
1 , 1
t
jN=−
1 /cvϕ=+
1 /cvγ=−
22 1
,,
( 1 / ) 2 ( ( 1 / )
ij ij
vc vc
−
−=++
11
,
( 1 / ) ) .
ij
vc
−−
−
( )
1 , 1jj
yPt=
( )
,2
x
Njj
vPt=
2 ,
t
jN=
( )
,0 0ii
yPx=
0 ,
x
iN=
( ) ( )
,
1,0 ,0 1,0 1,0
*
,1 0
2
ij
ii i
iii
c
yyyy
y Px Px
hh
+−
τ
−−
= +τ + −
1 , 1
x
iN=−
22
2
2PvP P
k
cx xx
t
∂∂∂∂
η+=
∂ ∂τ ∂ ∂
∂
( ) ( )
*
2
2
,, ,,
xx
PP
Pxt kPxt
xx
t
=
∂∂∂
η=
∂∂
∂
11jj
ttt
−+
≤≤
,
где
,
;
;
, (3.7)
Условия на границах:
,
,
. (3.8)
Начальные условия:
,
,
, (3.9)
.
Устойчивость алгоритма прогонки для разностной схе-
мы (3.7) − (3.9) выполняется при любых τ и h [9].
Когда скорость среды является постоянной величиной,
разностное уравнение (3.7) в предельном переходе совпадает с уравнением, полученным в [2, 3], и имеет вид
.
Далее рассмотрим более общее квазилинейное уравнение (3.1). Аналогично исходное волновое уравнение для
разностных пространственных узлов сетки запишется как
,
. (3.10)
223
Начальные и граничные условия определяются уравнения-
( )
( )
,1 , ,1 ,
,
2
1,1 ,1
1, 1
2
,,
2
ij ij ij ij
ij i j
i j ij
ij
yyy
y xt
h
yy
a
h
+−
++ +
++
φγ
−+
η =×
τ
−
−
, 1 1, 1 1, 1 , 1
, 1 1, 1
ij i j i j ij
ij i j
yy yy
bb
hh
+ −+ +− −
+ +−
−−
+−
,11,1
,1
ij ij
ij
yy
a
h
−−−
−
−
2, 1
x
iN=−
1 , 1
t
jN=−
( ) ( )
, , 1, 1, 1
,
,, ,,
2
ij ij i j i j i j i j
ij
ky xt ky x t
a
−−−
ϕ +ϕ
=
( ) ( )
,, 1,,
,
,, ,,
2
ij ij i j i j ij i j
ij
ky xt ky xt
b
−
γ +γ
=
( )
1 , 1 1jj
yPt
+
=
( )
,12
x
Njj
yPt
+
=
1 , 1
t
jN=−
( )
,0 0ii
yPx=
0 ,
x
iN=
( ) ( )
*
, 1 0iii
yPxPx= +τ
1 , 1
x
iN=−
ми (3.5), (3.6).
С учетом соотношения (3.2) и независимости размеров
шага сетки от направления движения среды представим
разностную схему для уравнения (3.10):
,
,
где
Граничные условия:
,
,
Начальные условия:
Разностная схема (3.11) реализуется следующим итерационным процессом:
224
,
, (3.13)
,
(3.11)
,
;
.
. (3.12)
. (3.14)
( )
( )
1
.1 , ,1
,
2
11
, 1,1,1
1, 1
2
,,
2
s
ij ij ij
s
ij i j
ss
ij i j ij
s
ij
yyy
yxt
yy
a
hh
+
+−
++
++ +
++
−+
η=
τ
ϕγ
−
−
11
, 1 1, 1 1, 1 , 1
, 1 1, 1
ss
ij i j i j ij
s
ij i j
yy yy
bb
hh
++
+ −+ +− −
+ +−
−−
−+−
,11,1
,1
ij ij
ij
yy
a
h
−−−
−
−
( )
1
1 , 1 1 1
s
jj
yPt
+
++
=
( )
1
,121
x
s
Nj j
yPt
+
++
=
( ) ( )
, , 1, 1, 1
,
,, ,,
2
ss
ij ij i j i j i j i j
s
ij
ky xt ky x t
a
−−−
ϕ +ϕ
=
( ) ( )
,, 1,,
,
,, ,,
2
ss
ij ij i j i j ij i j
s
ij
ky xt ky xt
b
−
γ +γ
=
1
,1,11,12
sss
ij ij ij
yyy
+
+++
− <ε +ε
τ
,
, (3.15)
, s = 0, 1, 2, ... ,
где, например,
,
.
Итерирование ведется до выполнения условия
, s = 0, 1, 2, ...
Значения каждого последовательного приближения находятся прогонкой. Нетрудно проверить, что алгоритм прогонки устойчив для любых
и h [9].
Численное решение волнового уравнения в движущихся средах. Рассмотрим следующую задачу. Плоская
неограниченная мембрана, совершающая колебательное
движение в газе, производит около себя периодические сжатие и разрежение газа и тем самым приводит к возникновению звуковых волн. Сначала мембрана совершает гармони-
225
ческие колебания вида
( )
sinAtω
( ) ( )
0, sinPtAt=ω
( )
1 , 0Pt=
( )
,0 0Px=
( )
0
,
0
t
Pxt
t
=
∂
=
∂
01x≤≤
2
1/Cη=
ние Р равно нулю. Под P подразумевается везде переменная
часть давления. Подобную задачу можно наблюдать при
распространении звуковых волн вдоль длинной узкой трубки постоянного сечения, ширина которой мала по сравнению с длиной волны. При данных условиях можно считать,
что в каждом поперечном сечении трубки все величины
(скорость, плотность, давление и др.) постоянны, а направление распространения волны совпадает с направлением
оси трубки. Разность давлений газа в конце трубки мала по
сравнению с разностями давлений внутри трубки. Поэтому
с достаточной степенью точности принимаем в качестве
граничного условия равенство нулю давления газа [10].
При наличии движения воздуха v (x, t) вдоль оси x давление удовлетворяет волновому уравнению (3.10) с граничными условиями
, а на расстоянии давле-
и начальными
Начальные условия соответствуют покоящейся среде
в начальный момент времени. В предложенном примере
уравнение (3.10) с коэффициентами
линейный вид. Гиперболическое уравнение в движущейся
среде в этом случае аппроксимировалось разностной схемой (3.15) при s = 0. Расчеты проводились при различных
шагах по пространству и времени.
Из зависимости амплитуды акустического давления от
времени при различной скорости среды (рис. 3.1) видно, что
с увеличением скорости газа нарастание амплитуды давления уменьшается. При этом наиболее сильное уменьшение
амплитуды, а следо
226
,
вательно, интенсивности излучения
,
,
.
, k = 1 примет
Рис. 3.1. Зависимость амплитуды акустического давления от времени
при ω = 800 с–1: а − x = 0,33 (1 − v = 0 м/с; 2 − 10); б − x = 0,66 (1 − v = 0 м/с;
2 − 10; 3 − 20). Штриховая линия − расчетное значение амплитуды;
сплошная − абсолютное значение амплитуды, осредненное по времени
наблюдается в точках, расположенных дальше от мембраны (рис. 3.1, б).
На рис. 3.2 показана зависимость давления от времени
в точке х = 0,66 при v = 0. При наличии скорости характер
зависимости сохраняется. В расчетах приняты следующие
значения параметров: А = 0,5 Па, = 20 м, C = 320 м/c, где
C − скорость звука.
Зависимости акустического давления от координаты
(рис. 3.3) также свидетельствуют об уменьшении амплитуды и как результат о снижении интенсивности излучения
звуковых волн с увеличением скорости газа, так как рассматриваемая среда не
диссипативна и рассеяние энергии обусловлено
только движением газа.
В соответствии с данными [5] при наличии ветра
слышимость звука
уменьшается. Конечно,
в реальной атмосфере
этот эффект может быть
связан с турбулентностью
атмосферы, но он наблю-
Рис. 3.2. Зависимость акустического
давления от времени при v = 0 м/с, x =
0,66, ω = 800 с
–1
227
дался и при слабом ветре
( )
1
,
0
x
Pxt
x
=
∂
=
∂
(1−2 м/c).
Рассмотрим задачу
о возникновении звуковых колебаний в резонаторе. Простейшими примерами таких резонаторов
являются трубы, откры-
Рис. 3.3. Зависимость акустического
давления от координаты: 1 − v =
10 м/с; 2 − 20 м/с при t = 0,4002 с, ω =
800 с
–1
тые с одного или с обоих
концов, резонаторы Гельмгольца (в виде бутылей)
и т. п. Все такого рода резонаторы легко заставить
звучать в потоке воздуха, обдувая их устье.
Открытый конец равносилен абсолютно мягкой крышке, когда давление практически равно нулю (звуковое, но не
атмосферное). На левой границе резонатора (х = 0) примем
условие P(0,t) = 0, на правой
.
Пусть трубка имеет собственный слабый шум с набором гармоник. Тогда при движении газа, скорость которого
направлена по оси резонатора, будет наблюдаться явление
резонанса, сопровождаемое сильным нарастанием амплитуды волн и усилением звука.
Описанная акустическая задача является частью общей
проблемы о влиянии движения среды на распространение
волн.
В заключение отметим, что результаты расчетов о затухании звука при движении газа и усиление звука в резонаторной трубке соответствуют опытным данным [2, 5]. Многочисленные расчеты показали отсутствие влияния движения среды на сдвиг фаз при наличии ветра. Более подробно
вопросы аэроакустики изложены нами в [7, 8].
228
3.2. Скорость электромагнитной волны
( )
0
i t uz
e
ω−
=EE
0
xy
uu==
/vk=ω
( )
0x 0 0
1 1/
yz x
c
vE H u E=+−ε
ε
( )
0y 0 0
1 1/
xz y
c
vE H u E=+−ε
ε
00z
E =
( )
0x 0 0
1 1/
yz x
vH cE u H=− + − ε
( )
0y 0 0
1 1/
xz y
vH cE u H=+−ε
00z
u =
( )
0
11/
z
vu c
= − ε = εε
nε=
2
/ ( 1 1 / )
z
vcn nu=+−
в медленно движущейся среде.
Коэффициент увлечения Френеля
Рассмотрим плоскую световую волну частотой ω в однородном изотропном немагнитном диэлектрике. Выберем
ось z по направлению распространения волны
при следующем допущении: скорость u совпадает с направлением волны, т. е.
няв во внимание, что скорость волны
Как следует из уравнений (3.17), если E
личны от нуля, то
– показатель преломления среды, окончательно за-
пишем
Проведя вычисления для случая произвольного угла
между v и u, можно убедиться, что (3.18) остается справедливой и в общем случае. Формула (3.18) впервые получена
О. Ж. Френелем в 1818 г. Согласно исследованиям Х. А. Лоренца (1895 г.), в формулу Френеля нужно ввести некоторую поправку, учитывающую дисперсию среды. Формула
Френеля подтверждена опытными данными А. И. Л. Физо
(1851 г.) и с особой точностью П. Зееманом (1914 г.).
(3.16)
, uz = ± u. В этом случае, при-
, получим [2]
,
,
, (3.17)
,
,
.
, E0y, u0x, u0y от-
0x
; поскольку
. (3.18)
229
3.3. Электромагнитные волны
/vc
( ) ( )( )
( )
2
22
0
2, , ,
,,
E
t
ct
tt
εµ ∂ ∂
−∇−∇∇+
∂
∂
∂∂
∇ +µ + ∇ =
∂∂
E
v vvE
vJ
E vJ
( )
( )
( )
11
grad div rot
nn
∆ − −∇ ×
µµ
EEE
2 2 22
0
22 22
21
EE JJ vE
vv
tx t t
ct cx
εµ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− + µµ + = −
∂∂ ∂ ∂
∂∂
в медленно движущейся среде
В дальнейшем изложении скорость волны v будем определять формулой Френеля (3.18). В высокочастотной электродинамике для учета движения среды, когда изменения в
состоянии потока достаточно медленны по сравнению с ча-
стотой распространяю
ной волны, а
щейся через среду электромагнит-
<<1, можно рекомендовать уравнение
«аэроакустики», выведенное Д. И. Блохинцевым [2, 3 ].
В этом случае телеграфное уравнение будет иметь вид
При наличии конвективного движения с постоянной
скоростью v в одномерном случае, если ε = const, µ = const,
λ = const, имеем
Отметим, что (3.19) справедливо, если скорость среды v
зависит от времени, но не зависит от координат. Когда
скорость среды определяется и координатами, то (3.19) не
имеет места. В этом случае для решения задачи можно рекомендовать численный метод, основанный на использовании локальных инвариантов Римана в разностной ячейке
аналогично параграфу 3.1, одновременно с условием Куранта, которое связывает шаг по времени и пространству:
230
. (3.19)
. (3.20)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]