Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Моделирование электрофизических и тепловых процессов в слоистых средах. Монография
.pdf
Из данного уравнения получим зависимость ε(ω), которая,
0
0
ì
( 1 )
1 i
µ µ−
= +µ
+ ωτ
BHH
2
2
2
,,
ddd
ii
dt dt
dt
=ω =−ω =ω
DDB
DDB
( )
( )
0ì
11iµ + µ − ωτ
2
00
11
11.
11
ie
EiE E
ii
µ− ε−
µ + −ω ε + + λω = ∆
+ ωτ + ωτ
как видим, является следствием нестационарного материального уравнения (2.34).
Использование (2.34) позволяет моделировать выделение тепла, а также вычислять D и B для электрических полей со сложной зависимостью от времени. Для гармонического поля введение τе и введение комплексного ε формально
совпадают. Однако параметр τе позволяет учесть микроструктуру вещества, поскольку определяется размерами
диполя, его моментом инерции и т. д.
Аналогичную формулу получим и для магнитной индукции:
. (2.43)
При этом справедливы обычные соотношения
. (2.44)
Анализ формул (2.42), (2.43) показывает, что величины
электрической и магнитной индукции определяются всей
предысторией изменения во времени электромагнитного
поля, т. е. поляризованные среды обладают наследственны-
ми свойствами.
Для монохроматической волны с учетом релаксационных процессов при помощи соотношений (2.44) можно непосредственно использовать уравнения Максвелла (2.1),
(2.2).
Умножим левую и правую части уравнения (2.1) на
и продифференцируем его по времени.
Применим к уравнению (2.2) операцию rot. В результате
с учетом (2.43), (2.44) после исключения магнитного поля
имеем
( 2 . 4 5 )
191
Если не делать указанных выше преобразований, а как
()
it
EExe
ω
=
it
e
ω
2
2
2
0
dE
kE
dx
+=
2
0
ì
2
0
e
1
1
1
1
1.
1
k
i
i a ib
i
µ−
=µ + ×
+ ωτ
ε−
ω ε + − λω = −
+ ωτ
(0, ) 0, ( , )
it
E t E t Ae
ω
==
(,)()
it
ExtExe
ω
=
(0) 0, ( )EEA==
( ) sinE x C kx=
обычно использовать в уравнениях (2.1) и (2.2) условия для
плоской монохроматической волны, возникает необходимость вычисления сдвига фаз между В и Н, что в диссипативной среде с временной дисперсией затруднительно.
В дальнейшем полагаем волну плоской, монохроматической, рассматриваем одномерный случай
После сокращения на
из (2.45) получаем дисперсион-
ное уравнение вида
.
, (2.46)
где
(2.47)
Пример 1. Распространение и затухание плоской
электромагнитной волны в однородной изотропной среде с учетом релаксационных процессов. Рассмотрим за-
дачу о распространении периодического граничного режима на промежутке (0, ) аналогично [38], но с учетом релаксации
Полагая
, имеем для уравнения (2.46)
. (2.48)
. (2.49)
Из уравнения (2.46) и граничных условий (2.48), (2.49)
находим
A sin(k ), так что [38]
192
. Уравнение при x = дает С =
12
sin
() () ()
sin
kx
E x A X x iX x
k
==+
[ ]
(1) ( 2 )
12
(,) () () (,) (,)
it
Ext X x iX x e U xt iU xt
ω
=+ =+
(1) ( 2)
12
12
( , ) ( ) cos ( )sin , ( , )
sin ( ) cos .
U xt X x t X x t U xt
X tXx t
= ω− ω =
ω+ ω
1
(0, ) ( )Ett=µ
2
(,) ()Ett=µ
(,)
it
E t Ae
ω
=
( )
/ExA
, Х2 – действительная и мнимая части Х(х). Искомое
где Х
1
, (2.50)
решение можно представить как [38]
,
где
Решение общей задачи без начальных условий, когда
и
, определяется в виде суммы
двух слагаемых, для каждого неоднородно одно из граничных условий [38].
Для задачи (2.48), (2.49), если на поверхности образца (x = )
действует периодическое электрическое поле
а на противоположной стороне образца (х = 0), Е(0, t) = 0
строились графики функций |E(x)|/A=|sin kx/sin k | для различных величин k, толщины , электропроводности λ и относительной диэлектрической проницаемости ε.
В данном случае равенство нулю напряженности электрического поля соответствует нулевому потоку заряда.
Действительно, поток заряда определяется суммой тока
проводимости и тока смещения. Если E(x,t) = Е(х)е
iωt
, то
при х = 0 должно обязательно выполняться условие Е(0) =
0, которое является строгим для полуограниченной диссипативной среды, поэтому в расчетах толщина образца принималась достаточно большой ( = 1 м) при несущественном влиянии геометрии на распределение Е(х).
На рис. 2.1 приведены зависимости безразмерной амплитуды электрического поля от толщины образца
для различных значений удельной электропроводности (а)
и магнитной проницаемости (б). При этом времена релаксации электрического и магнитного полей фиксированы. Вид-
,
193
Рис. 2.1. Распределение безразмерной амплитуды электрического поля
( )
/ExA
( )
/ExA
по толщине образца ( f = 2⋅109 Гц, = 1 м, ε = 15) для различ-
ных значений электропроводности (а) и магнитной проницаемости (б):
а – μ = 5, τе = 10–9 c, τм = 10–7 с, λ = 0 (кривая 1), 1 (2), 20 (3), [1/(Ом⋅м)];
б – τе = 10
–10
с, τм = 10–7 с, λ = 0, μ = 1 (кривая 1), 10 (2), 50 (3), 200 (4)
но, что увеличение электропроводности и магнитной проницаемости приводит к большему поглощению электрической волны, что соответствует экспериментальным данным.
Действительно, согласно экспериментальным данным
работы [39], электрическое поле в СВЧ-диапазоне затухает
по экспоненте. В то же время при использовании классического решения без введения времен релаксации [38] и при
λ = 0 решение носит линейный характер (график линейной
функции нами не приводится).
194
Рис. 2.2. Распределение безразмерной амплитуды электрического поля
по толщине образца (f = 2⋅109 Гц, = 1 м, ε = 15) для различ-
ных значений времени релаксации: а – μ = 10, λ = 0, τе = 10
10–7(кривая 1), 10–8 (2), 10–9 (3); б – μ = 10, λ = 0, τе = 10–7, τм = 0,5⋅10
(кривая 1), 10–8 (2), 10–9 (3), 10–8 (4)
–10
, τм =
–10
Зависимость безразмерной амплитуды электрического
( )
/ExA
ω→∞
ω→∞
( )
11
e
i− ωτ
( )
11
i
i− ωτ
ω→∞
поля
от толщины образца для различных значений времени релаксации электрического (а) и магнитного
(б) полей представлена на рис. 2.2. Заметим, что магнитное
время релаксации, как правило, на порядки меньше электрического. Анализ кривых рис. 2.2, а свидетельствует о том,
что уменьшение магнитного времени релаксации приводит
к большему затуханию сигнала. В то же время, как следует
из зависимостей на рис. 2.2, б, существует резонансная частота, при которой поглощение волны максимально.
Если время электрической релаксации достаточно мало,
то в среде могут появиться эффекты, характерные для стоячей волны с наличием максимумов и минимумов амплитуды электромагнитной волны. Отметим, что в диссипативной среде всегда имеется сдвиг фаз между Е и Н. Предлагаемый метод расчета не требует знания этого сдвига фаз
вследствие сведения уравнений поля к одному телеграфному уравнению для вектора напряженности электрического
поля. В пределе
функции ε(ω), μ(ω) стремятся к единице, поскольку при достаточно быстром изменении поля
процессы поляризации вообще не успевают происходить.
В то же время формула для k
2
в дисперсионном уравнении
дает зависимость от частоты поля для а и b при
(2.47). Данный парадокс связан с тем, что при нахождении
2
действительной и мнимой частей k
знаменатели умножаем
и делим на комплексно сопряженные величины
, являющиеся неопределенными при
Для сохранения физического смысла величин ε(ω) и μ(ω)
частота должна удовлетворять условию ω << с/а, где а – характерный атомный размер.
Таким образом, для моделирования распространения
и поглощения электромагнитных волн в поляризованной
среде и расчета диэлектрических потерь предлагается использовать телеграфное уравнение для вектора напряженности электрического поля и уравнение теплопроводности,
при этом ток поляризации полагается составной частью
195
,
.
тока проводимости. Для моделирования тепловых полей
в сплошной среде достаточно задания потоков заряда, потоков энергии на границах раздела, удельных теплофизических и электрофизических свойств, а также времен релаксации. В данном случае не требуется введения таких параметров, как емкость, поверхностная емкость, поверхностное
сопротивление, угол потерь, вещественные и мнимые части
относительной диэлектрической проницаемости, которые
дают только некоторые усредненные интегральные характеристики сплошной среды.
Запаздывание поля поляризации и внешнего электромагнитного поля обусловлено не только электрическими,
но и магнитными явлениями релаксации диполей. Получено решение задачи распространения периодического граничного режима с учетом наследственных характеристик
поляризованной среды, в качественном плане соответствующих экспериментальным данным.
Пример 2. Прохождение электромагнитной волны
через границу раздела двух сред. Электромагнитные яв-
ления, возникающие при падении плоских электромагнитных волн на поверхности раздела различных сред, играют
важную роль в технике, поскольку все реальные устройства
ограничены поверхностями и являются неоднородными
в пространстве. Проанализируем вариант распространения
плоской монохроматической волны через границу раздела
двух сред для одномерного случая, когда амплитуда Е
зависит
y
только от х.
Рассмотрим контакт неограниченной пластины толщиной h,
которая имеет постоянные электрофизические свойства εl, μ1 λ1,
с полуограниченной средой, име-
Рис. 2.3. Схема контакта
пластины с полуограничен-
ной средой
ющей свойства ε
, μ
2
Если на поверхности пластины
(х = 0) находится источник перио-
(рис. 2.3).
2, λ2
196
дического граничного режима с циклической частотой ω,
22
0
22 2
1
yy y
EE E
t
сt x
∂ ∂∂
ε
+µ λ =
∂µ
∂∂
( ) ( )
0, , , 0
it
yy
E t Ae E t
ω
= ∞=
12
12
11
yy
EE
xx
∂∂
=
µ∂µ∂
10x
Ey∂∂=
20x
Ey∂∂=
( )
it
yy
EExe
ω
=
y
EE≡
2
2
2
0
E
kE
x
∂
−=
∂
11
kx kx
−
22
222
kx kx
E Ce De
−
=+
12
,EE
x →∞
E →∞
то уравнение для напряженности электрического поля (2.7)
в каждой из сред имеет вид
. (2.51)
При этом
. (2.52)
На границе контакта x = h должны выполняться два
условия:
1) равенство тангенциальных компонент
E
= Ey2, (2.53)
y1
2) равенство тангенциальных проекций вихря электрического поля по (2.23), влияние поверхностного тока в данном случае не учитываем
В уравнении (2.23) учитывалось, что
. Пусть
. (2.54)
. Обозначим
и
, тог-
да уравнение (2.54) запишем в форме
2
где k
определяется из (2.45). Решение (2.51)–(2.54) ищем
, (2.55)
в виде суперпозиции бегущей и отраженной волн: Е1 =
(в пластине),
ограниченной среде);
(2.55). Учитывая, что при
удовлетворяют уравнению
, из граничных
(в полу-
условий (2.52) имеем С1 + D1 = A, C2 = 0.
197
Условия на контакте (2.53), (2.54) сводятся к системе ал-
( )
11 2
11 2
11 2
11
1 11 11 2 2 2
,
.
kh kh k h
kh kh k h
Сe De D e
Сke Dke k D e
−−
−−
−−
+=
µ − = −µ
( )
( ) ( )
12
1 1 21 1
11
11 2 2
1
11
11 2 2
,
kh k h
kh kh k h kh kh
Ae k k e
С
k e e ke e e
−−
−−
− −−
−−
µ −µ
=
µ + +µ −
112
, 0,DACC=−=
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1 1 21 1
1
11
1 1 21 1
11
22 22
11
11 22
2
2
11
11 22
11
11 22
1
kh
kh kh kh kh kh
kh
kh kh
kh kh kh kh kh
k ke
kee keee
D Ae
ek ke
kee keee
−
−−
−−−
−−
−
−−
−−
−−−
−−
µ−µ
+
µ + +µ −
=
µ−µ
+−
µ + +µ −
ii
E zH=
гебраических уравнений
Окончательно после преобразований выражения для
констант
(2.56)
(2.57)
Заметим, что условие (2.54) на границе контакта позволяет учесть влияние магнитных свойств вещества и получено нами в [45].
В настоящее время при задании граничных условий наиболее часто используются приближенные импедансные условия Щукина – Леонтовича [33], связывающие тангенциальные
составляющие электромагнитного поля на поверхности раздела двух сред посредством введения поверхностного импеданса z,
ция процесса, которая не является постоянной величиной и,
кроме того, может иметь тензорный интегродифференциальный операторный вид.
198
. В работе [33] подчеркивается, что z – функ-
.
При вычислении
11111
k a ib u iv=±− + = +
2
k =
22
a ib±−+=
22
u iv+
2uv b=
0b <
( )
2222
1
2
uaab=++
( )
2222
1
2
vaab=−++
3
2
00p
2
00
2 22
pp
11
ki
µµ εε τ ω
ω εε µ µ
= − + +λω
+ωτ +ωτ
,
необходимо иметь в виду, что знак
перед b определяет выбор знаков перед u и v согласно соотношению
. При
u и v имеют противополож-
ные знаки, причем
,
Для сред с релаксацией выражение (2.33) представляет-
ся в более сложном виде [48]:
В этом соотношении учитывается запаздывание диполей
и доменов во внешнем электромагнитном поле, обусловленное не только электрическими, но и магнитными явлениями релаксации. При выводе (2.58) использовались материальные уравнения вида (2.34).
Полагалось, что времена релаксации τ
и магнитного полей совпадают. Для магнитных материалов
это не обязательно. В дальнейшем планируется принимать
во внимание общий случай, когда времена релаксации полей различаются.
В работе [40] для моделирования слоистых сред искусственно вводят толщину переходного слоя, в котором изменение электрофизических свойств является непрерывной
функцией координат. При данном подходе решение задачи
во многом определяется видом сглаживающего полинома
и толщиной переходного слоя.
Проведенное численное моделирование распространения плоской монохроматической волны через границу раздела двух сред для одномерного случая показало, что характер изменения амплитуды электрического поля вдоль
оси x определяется не только различием электрофизиче-
.
. (2.58)
электрического
р
199
ских свойств контактирующих сред, но и релаксационными
( )
/ExA
процессами.
Зависимость безразмерной амплитуды электрического
поля от глубины проникновения электромагнитной волны
9
(ω = 10
) в двухслойной среде с учетом релаксации электри-
ческого и магнитного полей иллюстрируется кривыми на
рис. 2.4 (варьируется µ) и рис. 2.5 (варьируется λ). Среда 1 –
пластина толщиной 0,1 м; среда 2 – полуограниченное пространство. Электрофизические свойства первой среды считались постоянными: λ
= 0, ε1 = 15, µ1 = 1, τр1 = 0.
1
Анализ поведения кривых, представленных на этих рисунках, показывает: если магнитные проницаемости смежных сред одинаковы, то кривые, характеризующие зависимость безразмерной амплитуды электрического поля от
глубины проникновения электромагнитной волны, есть непрерывные гладкие линии (рис. 2.4, а). При µ
1
2
кривые имеют изломы (рис. 2.4 и 2.5).
200
Рис. 2.4. Зависимость безразмерной амплитуды электрического поля
от глубины проникновения электромагнитной волны (ω =
109) в двухслойной среде: ε1 = 15, τp1 = 0, μ1 = 1, λ1 = 0, ε2 = 20, τр2 = 10
λ2 = 10 (кривая 1), 100 (2), 1000 (3); μ2 = 1 (а); 10 (б); 100 (в)
–10
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]